3. Формирование уравнений состояния нелинейных

динамических цепей

Уравнения состояния нелинейных динамических цепей могут быть сформированы с использованием регулярных процедур, например, на основе параметров линейного многополюсника.

Рассмотрим цепь, содержащую:

- независимые источники напряжения тока;

- линейные индуктивности и емкости;

- нелинейные резистивные элементы двух типов:

1) Z– ветви с однозначной зависимостьюu_z(i_z);

2) y– ветви с однозначной зависимостьюi_y(u_y).

Выделим из общей схемы независимые источники тока и напряжения, индуктивности, емкости и нелинейные резисторы (рис.33.4).

Рис.17.4

Оставшаяся часть представляет собой линейный резистивный многополюсник.

Наличие нелинейных элементов приводит к увеличению числа совместно решаемых уравнений и переменных (наряду с переменными состояния i_L, u_cв их число следует включить аргументыi_z,u_yнелинейных функцийu_z(i_z),i_y(u_y), описывающих нелинейные элементы).

С использованием уравнений линейного многополюсника запишем:

i_c=h_ccu_c+h_cLi_L+h_cZu_Z(i_Z) +h_cyi_y(u_y) +h_cUU +h_cjJ,

u_L=h_Lcu_c+h_LLi_L+h_LZu_Z(i_Z) +h_Lyi_y(u_y) +h_LUU +h_LjJ,

i_Z=h_Zcu_c+h_ZLi_L+h_ZZu_Z(i_Z) +h_Zyi_y(u_y) +h_ZUU +h_ZjJ,

u_y=h_ycu_c+h_yLi_L+h_yZu_Z(i_Z) +h_yyi_y(u_y) +h_yUU +h_yjJ, (17.4)

где h_yj – параметры линейного многополюсника.

Выразив с помощью компонентных уравнений емкости и индуктивностипроизводные в левой части первых двух уравнений, получим уравнения состояния:

(17.5)

где

Алгебраические уравнения, выражающие аргументы нелинейных функций (третье и четвертое уравнения системы (33.4)), дополняют уравнения состояния до полной системы уравнений.

Иллюстрация методасоставления уравнения состояния нелинейный цепей.

Пример 2. Пользуясь приведенным методом, составить уравнения состояния для цепи с источником напряженияU(t) = 1 (t) и полупроводниковым диодомVD(рис.17.5).

Рис.17.5

Решение.

1. Представим ВАХ диода моделью Эберса-Молла:

(17.6)

где _т,I₀– паспортные параметры диода (температурный потенциал и ток насыщения перехода).

2. В соответствии с принципом компенсации заменив напряжение на емкости источником напряжения, ток в индуктивности – источником тока и напряжение на диоде – источником напряжения, получим эквивалентную резистивную схему замещения (рис.17.6)

Рис.17.6

3. Составим уравнение баланса токов для уравнения 1 (по закону Кирхгофа для токов) и уравнения баланса напряжений для левого и правого независимых контуров (по закону Кирхгофа для напряжений:

(17.7)

4. Исключаем избыточную переменную – ток i. Для этого выражаем его из второго уравнения и подставляем в первое уравнение системы (17.7). Полученное уравнение разрешаем относительно токаi_cи напряженияu_L:

(17.8)

5. Подставляем компонентные уравнения а также уравнение ВАХ диода (17.6) в уравнения системы (17.8), разрешаем их относительно первых производных и получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений состояния:

Нелинейное алгебраическое уравнение для аргумента нелинейной функции (тока i) получим с помощью эквивалентной схемы замещения (рис.17.6):

Уравнения (17.5) представляют собой систему двух нелинейных дифференциальных уравнений. При большем числе накопителей (емкостей и индуктивностей) уравнения следует записывать в матричной форме.