2. Уравнения состояния нелинейных

динамических цепей

2.1. Уравнения состояния произвольной цепи

Анализ переходных процессов в сложных электрических цепях выполняют методом переменных состояний, основанном на интегрированииуравнений состояния цепи, а также использованииматричных методов и алгоритмов.

Под уравнениями состояния цепи понимают любую систему уравнений, описывающую процессы (токи и напряжения) в цепи.

Каноническими уравнениями состояния в математике называют систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных (в форме Коши).

Полная система дифференциальных уравнений, описывающих токи и напряжения электрической цепи, формируется на основе топологических(на основе законов Кирхгофа) икомпонентных (соотношений между токами и напряжениями элементов) уравнений. Затем система уравнений цепи приводится к уравнениям в форме Коши, т.е. к системе канонических дифференциальных уравнений первого порядка. Выбор различных наборов переменных приводит к неоднозначности, т.е. к возможности записи нескольких вариантов уравнений состояния.

В качестве основных переменных состояний, характеризующих электрическую цепь, целесообразно применять токиi_Lиндуктивных элементов и напряженияи_семкостных элементов. Указанные величины в соответствии с законами коммутации изменяются непрерывно, и для них начальные условия записываются непосредственно на основе анализа предшествующего режима.

Система уравнений состояния линейной электрической цепи второго порядка с одним емкостным и одним индуктивным элементом при выборе в качестве переменных i_Lии_симеет следующий вид:

(17.1)

где а_СС,а_CL,а_LC,в_CV,в_LV– постоянные коэффициенты уравнений, зависящие от структуры схемы и элементов;

V₁,V₂– известные функции воздействий (источников).

Решение системы дифференциальных уравнений (33.1) позволяет получить ток индуктивности i_L(t) и напряжениеu_c(t) на конденсаторе.

Искомые переменные, т.е. подлежащие определению токи (напряжения) резисторов и источников, можно выразить через полученные переменные состояния в виде уравнений резистивной цепи, в которой производная тока i_Lзаменена напряжениемu_jисточника тока, а производная напряженияu_c заменена токомi_Uисточника напряжения. Указанные уравнения представим в форме системы линейных алгебраических уравнений:

(17.2)

где a_UC,a_UL,a_JC,a_JL,в_UV,в_JV– постоянные коэффициенты уравнений;

V₃,V₄– известные функции воздействий (источников).

Во многих типовых программах анализа электрических цепей в качестве выходных переменных выбирают токи i_Uисточников напряжений и напряженияu_jисточника тока, что не ограничивает общности рассмотрения, так как всегда можно положитьU= 0 иJ= 0.

В общем случае для разветвленной цепи порядка nуравнения состояния удобно представить в матричной форме:

(17.3)

где - вектор переменных состояния;

- вектор выходных переменных;

-вектор входных воздействий (источников);

А₁,В₁,А₂,В₂– матрицы коэффициентов.

Алгоритм расчета методом переменного состояниясодержит следующие операции:

1) расчет цепи до коммутации с целью определения начальных условий u_L(0),u_с(0);

2) составление уравнений состояния электрической цепи после коммутации и соотношений для выходных величин;

3) решение канонических дифференциальных уравнений и определение переменных состояния;

4) расчет искомых переменных.

Составление уравнений состояниябазируется на записи и преобразовании полной системы уравнений цепи. Часть преобразований целесообразно проводить непосредственно на наиболее трудоемкой стадии составления уравнений.

Способы составления уравнений состояния зависят от сложности схемы. Для не слишком сложных схем применяют:

- запись уравнений по законам Кирхгофа;

- метод наложения с использованием коэффициентов многополюсника.

Уравнения состояния на основе законов Кирхгофаможно получить в следующем порядке:

1) записать уравнения по закону Кирхгофа для токов, из них выразить токи емкостей и искомые токи источников напряжения;

2) записать уравнения по закону Кирхгофа для напряжений, из них выразить напряжения индуктивностей и искомые напряжения источников тока (при необходимости определения других токов и напряжений выразить их через u_с,i_L);

3) заменить токи емкостей и напряжения индуктивностей в соответствии с компонентными соотношениями:

получить уравнения состояния, разделив полученные соотношения на CиL.

Иллюстрация способа составления уравнения состояния.

Пример. Составить уравнение состояния для цепи второго порядка (см. рис.17.1).

Рис.17.1

Решение.

Уравнение состояния формируют для цепи после коммутации.

Запишем уравнения по законам Кирхгофа:

-i_L – J + i_c + i_r2 = 0,

u_r1 + u_L + u_c = U.

Выразим i_cиз первого уравнения иu_Lиз второго. С учетом компонентных соотношенийu_r1=r_L+i_Lзапишем:

u_L= - r_Li_L-u_c+U.

Подставив в левые части компонентные соотношения и разделив их наL иC, получим уравнения

В рассматриваемом примере выходные переменные совпадают с переменными состояния: i_U=i_L,u_J=u_c.