2.2. Условия применения уравнений состояния

для описания нелинейных цепей

При использовании дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы в нелинейных цепях, для расчетов как переходных, так и периодических процессов, возникает необходимость выяснить, при каких условиях нелинейные цепи можно описывать с помощью переменных состояния, а также определить способы формирования уравнений состояния этих цепей.

Напомним, что в линейной цепи переменные состояния i_Lиu_cоднозначно определяют токи и напряжения всех остальных ветвей.

Можно установить, что в нелинейной цепи с неоднозначными (немонотонными) характеристиками элементов такой однозначности может не быть.

Рассмотрим в качестве примера простую цепь, состоящую из конденсатора с параллельно включенным нелинейным резистором (рис.17.2,а). Пусть нелинейный элемент имеет S-образную характеристикуu_н (i_н), управляемую током (рис.17.2,б).

Рис. 17.2

Тогда уравнение цепи имеет вид:

т.е. содержит две переменные: u_cи ток нелинейного резистораi_н.

Анализ физических процессов в такой цепи позволяет сделать следующие выводы:

1) напряжение u_cнельзя принять за переменную состояния, поскольку оно не определяет однозначно токi_н(рис.17.2,б);

2) поскольку при заряде конденсатора наблюдается скачок тока i_ни его производнаяdi_н/dtв момент скачка бесконечна, то использование переменнойi_нв качестве переменной состояния также невозможно.

Таким образом, динамические процессы в цепях с контурами из конденсаторов и управляемых током нелинейных резисторов не могут быть описаны переменными состояния.

Согласно принципу дуальности, аналогично в цепях, включающих последовательное соединение катушек индуктивности и управляемых напряжением резисторов, также нельзя пользоваться уравнениями состояния. Простейшая такая цепь – это последовательное соединение катушки индуктивности и резистора сN-образной характеристикой (например, тоннельного диода) (рис.17.3,а,б).

Рис.17.3

Уравнение такой цепи имеет вид

т.е. содержит две переменные: i_Lи напряжение на нелинейном резистореu_н.

Анализ физических процессов в такой цепи позволяет сделать следующие выводы:

1) ток i_Lнельзя принять за переменную состояния, поскольку он не определяет однозначно напряжениеu_н(рис.17.3,б);

2) для такой цепи с индуктивностью характерны скачки напряжения и_L, а следовательно и напряженияu_н, в переходных процессах; поскольку производнаяdи_н/dtв момент скачка бесконечна, то использование переменнойи_нв качестве переменной состояния также невозможно.

Таким образом, динамические процессы в цепях с последовательным соединением катушек индуктивностей и управляемых напряжением нелинейных резисторов не могут быть описаны переменными состояния.

В связи с полученными выводами в дальнейшем будем рассматривать нелинейные цепи, в которых нетперечисленныхособых контуров и ветвей, и для их описания цепи можно использовать полную совокупность напряженийu_с(или зарядовq_c) на конденсаторах и токовi_L(или потокосцеплений_L) катушек индуктивности цепи, через которые все остальные переменные выражаютсяоднозначно.