Найбільший спільний дільник

4

Спільний дільник многочленів f(x) та g(x), який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів, називається їх найбільшим спільним дільником (НСД) і позначається (f,g). НСД многочленів визначається однозначно з точністю до сталого множника (оскільки, якщо d(x) – НСД , то й c·d(x), де ,теж НСД).

Многочлени f(x) та g(x) називаються взаємно простими, якщо кожний їхній спільний дільник є ненульовою константою, тобто (f,g)=1.

Розглянемо спосіб знаходження НСД (алгоритм Евкліда).

Нехай дано многочлени f(x) та g(x), причому . Виконаємо послідовне ділення з остачею:

Тут оскільки послідовність степенів многочленівg(x), r₁(x), r₂(x),... є монотонно спадною. Оскільки степінь r₁(x) не вищий за m-1, де m=deg g, то кількість кроків в алгоритмі не перевищує m.

Оскільки (f,g)=(g,r₁)=(r₁,r₂)=(r₂,r₃)=…=(r_n-1,r_n)=(r_n,0)=r_n, то остання відмінна від нуля остача r_n(x) в алгоритмі Евкліда і є НСД многочленів f(x) і g(x).

Приклад.

З допомогою алгоритму Евкліда знайти НСД многочленів

f(x)=x³–3x²+3x–1, g(x)=x³–1.

x³–3x²+3x–1=(x³–1)·1+(-3x²+3x)

x³–1=(-3x²+3x)·()+(x–1)

-3x²+3x=(x–1)·(-3x).

Отже, (f,g)=x–1.

НСД більшої кількості многочленів, зокрема, f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) шукають так:

d₁(x)=(f₁,f₂), d₂(x)=(d₁,f₃), d₃(x)=(d₂,f₄), …, d_n-1(x)=(d_n-2,f_n).

d_n-1(x) і є НСД многочленів f₁(x), f₂(x),…, f_n(x).

Якщо хоча б два многочлени із системи f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) взаємно прості, то НСД усіх цих многочленів дорівнює одиниці.

Якщо позначити d(x)=r_n(x), то, піднімаючись вгору рівностями алгоритму Евкліда, можна отримати вираз

d(x)=f(x)·u(x)+g(x)·v(x),

тобто такі що(f,g) виражається через f(x) і g(x).

Найменше спільне кратне

Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) та g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x), на яке ділиться довільне інше спільне кратне цих многочленів. Позначається [f, g].

Теорема. Для довільних ненульових многочленів f(x), g(x) НСК існує і

визначається з точністю до сталого множника.

Доведення. Для доведення розглянемо многочлен який, очевидно, є спільним кратним f(x) та g(x), оскільки ділиться на кожний з них. Нехай s(x) –довільне інше спільне кратне многочленів f(x) і g(x). Тоді і , звідкиs(x)=s₁(x)·f(x), а також тобто

Замінимо f(x)=(f,g)·f₁(x), g(x)=(f,g)·g₁(x), де (f₁,g₁)=1. Звідси

.

Із (f₁,g₁)=1 випливає, що тобто s₁(x)=g₁(x)·t(x), звідки Отже,

Це означає, що q(x) – найменше спільне кратне многочленів f(x) та g(x).

Якщо q₁(x) – інше НСК, то і, тобтоq_l(x) та q(x) відрізняються тільки сталим множником.▲

Г) Звідність многочленів

Многочлен f(х)Р[x] називається незвідним у полі Р, якщо він не є константою і не має дільників, відмінних від константи та асоційованих з ним многочленів (аналог простого числа). В іншому випадку многочлен називають звідним (аналог складеного числа). Поняття звідності є відносним і залежить від поля Р, над яким розглядається многочлен.

Приклад.

Многочлен f(х)=x незвідний у полі Q, але звідний у полі R:

f(x)= (x-)(x+);

многочлен f(x)= x+3 незвідний в полях Q, R, але звідний у полі С:

f(x)= (x-i)(x+i).

Якщо многочлен f(х) незвідний у полі Р, то він вже є добутком незвідних в даному полі многочленів (один співмножник). Якщо многочлен f(х) звідний у полі Р, то, розклавши його і всі його співмножники в добуток незвідних многочленів у даному полі, отримаємо зображення многочлена, яке називають розкладом многочлена f(х) на незвідні множники:

f(x)=р(х)р(х)...р(х), де р(х) – незвідні в полі Р, і=1,2,...,l.

Звідси випливає ще один запис многочлена f(x):

f(x)=[p(x)][p(x)]…[p(x)],

де р(х) – попарно різні (неасоційовані) многочлени, незвідні в полі Р.

Таке зображення називають канонічним розкладом многочлена f(x) в полі Р.