Вакарчук І.О. Квантова механіка

Таку систему частинок тепер називають EPR-парою (абревiатура походить вiд перших лiтер прiзвищ в англiйськiй мовi авторiв парадокса). Суть парадокса полягає в тому, що, вимiрюючи iмпульс однiєї з частинок, ми моментально знаємо в той самий момент значення iмпульсу другої частинки, “не торкаючись її”, якою великою не була б вiдстань мiж ними x0. Таким чином, iнформацiя

поширюється зi швидкiстю бiльшою, нiж швидкiсть свiтла (маємо суттєву нелокальнiсть квантової теорiї), i вимiр величини для однiєї з частинок впливає на детермiнованiсть вiдповiдних величин iнших частинок. Крiм того, стверджують, що вимiрювання координати та iмпульсу, наприклад першої частинки, дає змогу отримати певнi значення координати та iмпульсу другої частинки, не вимiрюючи їх безпосередньо. Тобто цi величини iснують одночасно, а це заборонено принципом невизначеностей Гайзенберґа. Ми ще не раз будемо повертатись до цього EPR-парадокса, детальне вивчення якого врештi-решт привело до експериментальної реалiзацiї так званої квантової телепортацiї.

§ 5. Хвильова функцiя вiльної частинки

На основi гiпотези де Бройля ми встановили, що хвильовою функцiєю вiльної частинки є плоска хвиля. У цьому параграфi ми докладно вивчимо умови нормування плоских хвиль та їхнi властивостi. Розгляд будемо вести як для обмеженого об’єму простору, так i для необмеженого об’єму простору, у якому рухається частинка.

Почнемо з одновимiрного випадку, коли

ψ(x, t) = Cei(kx−ωt),

де хвильовий вектор k та частота ω пов’язанi з iмпульсом та енер-

ґiєю частинки:

В одновимiрному випадку величину k точнiше було б називати

хвильовим числом, а не хвильовим вектором, але сподiваємось, що це не буде приводити до непорозумiнь.

71

Розглядаємо нерелятивiстський випадок, коли енерґiя вiльної частинки

E = p2 .

2m

Оскiльки частинка вiльна, то енерґiя та iмпульс зберiгаються i мають певнi значення p = const, E = const. Координата частинки x повнiстю невизначена: всi положення є рiвноймовiрними,

|ψ(x, t)|2 = |C|2 = const.

Розiб’ємо простiр, у якому рухається частинка, на рiвнi об’єми (скриньки) величиною L, i нехай рух частинки в дiлянцi −L/2 ≤ x ≤ L/2 повторюється у всiх решта дiлянках (див. рис. 15).

Рис. 15. Розбиття простору на скриньки об’ємом L.

Тобто, якщо частинка переходить у сусiдню дiлянку, то вона поводиться так само, як i в попереднiй. Це означає, що ми накладаємо на хвильову функцiю граничнi умови перiодичностi

ψ(x, t) = ψ(x + L, t).

Ми накладаємо цю умову лише для зручностi математичного опису. Хоча, взагалi кажучи, i насправдi частинка рухається в деякому обмеженому об’ємi простору, який є значно бiльшим, нiж характернi атомнi масштаби, наприклад, це лабораторiя, у якiй проводять дослiди. Нас цiкавлять властивостi частинки як такої, а не її властивостi, пов’язанi з поверхневими ефектами, тобто наявнiстю стiн у лабораторiї. Тому невизначена величина об’єму L

повинна бути достатньо великою, щоб забезпечити її “фiзичну безмежнiсть”. При таких розрахунках ми завжди маємо на увазi, що L → ∞. Зрозумiло, що пiд час обчислення, наприклад, перерiзiв

розсiяння частинок чи будь-якої iншої спостережувальної величини довжина L повинна випасти з остаточних формул. Зауважимо,

72

що ми не можемо замiнити граничних умов перiодичностi на умови ψ(0) = ψ(L) = 0 це iнша задача: частинка, яка рухається

в потенцiальнiй ямi з безмежно високими стiнками, i отже, вона вже не є вiльною.

З граничної умови перiодичностi з урахуванням явного вигляду хвильової функцiї знаходимо:

де α довiльний фазовий множник. Хвильова функцiя визначає-

ться з точнiстю до довiльного фазового множника, який не впливає на фiзичнi висновки ця неоднозначнiсть є принциповою, i її не можна усунути. Отже, оскiльки α не входить в остаточнi результати, тому покладемо α = 0.

Таким чином, нормована хвильова функцiя вiльної частинки

ψ(x, t) ψ (x, t) = 1 ei(kx−ωt),

≡ k √

L

де k вказує значення iмпульсу (iндекс стану).

У тривимiрному випадку об’єм перiодичностi вибираємо у формi паралелепiпеда з ребрами L1, L2, L3 вздовж осей x, y, z

та величиною

V = L1L2L3.

73

Хвильова функцiя

iмпульс p = ~k, а частоти ωj = ~kj 2/2m. Таким чином, нормована хвильова функцiя вiльної частинки, що рухається в об’ємi V

ψk(r, t) = √1 ei(kr−ωt), V

Переходимо до вивчення властивостей плоских хвиль. Надалi розглядаємо стацiонарний випадок, опускаючи часовий множник:

Отже,

Z L/2

ψk′ (x)ψk(x)dx = δk′,k,

−L/2

74

де δk′,k символ Кронекера. Узагальнення на тривимiрний випа-

док очевидне:

Змiст Ck: згiдно з принципом суперпозицiї, |Ck|2 дорiвнює ймовiрностi того, що частинка має iмпульс p = ~k. Отже, Ck дорiвнює

хвильовiй функцiї частинки, яка має своїм арґументом можливi значення iмпульсу ~k. Ця хвильова функцiя еквiвалентна ψ(x).

Нехай ψ(x) хвильова функцiя вiльної частинки з iмпульсом p0 = ~k0

75

тобто, як i повинно бути, для вiльної частинки ймовiрнiсть мати iмпульс ~k дорiвнює одиницi для k = k0 i дорiвнює нулевi для всiх решти значень k.

Функцiї Ck повиннi задовольняти умову нормування

дельта-функцiя Дiрака. За означенням δ-функцiї

Отже, умова нормування задовольняється.

Покажемо тепер, що ми справдi маємо справу з δ-функцiєю:

76

−(π/L)(2N+1)a

= f(0) Z +∞ sin ξ dξ = f(0),

−∞ πξ

тому що

Z +∞ sin ξ dξ = 1.

−∞ πξ

Це i доводить твердження, що

i також, що

X

ψk(x′)ψk(x) = δ(x − x′).

k

12Термiн “хороша”, або “цивiлiзована”, функцiя означає, що вона сама та її

похiднi (хоча й не всi) є неперервними.

77

Узагальнення на тривимiрний випадок:

X

ψk(r′)ψk(r) = δ(r − r′),

k

де скорочено позначено

δ(r − r′) = δ(x − x′)δ(y − y′)δ(z − z′).

Розглянемо тепер хвильову функцiю вiльної частинки, що рухається в необмеженому об’ємi. Почнемо з розгляду одновимiрного випадку

ψ(x, t) = Cei(kx−ωt),

k неперервна величина, тому що немає граничних умов, якi

квантують iмпульс. Надалi зосередимо увагу на просторовiй змiннiй, опускаючи час t (для фiксованого часу ωt = const довiльний

фазовий множник). Отже,

78

Тут

δ(k − k′) = lim sin[(k − k′)L]

L→∞ π(k − k′)

дельта-функцiя Дiрака. Справдi, для довiльної функцiї f(k)

(звичайно вона є “цивiлiзованою” i задовольняє всi потрiбнi нам умови) маємо

−∞

як i повинно бути за означенням δ-функцiї.

√

Виберемо сталу нормування C = 1/ 2π й отримаємо

ψk(x) = √1 eikx,

2π

тодi хвильовi функцiї нормуються на δ-функцiю вiд хвильових

векторiв:

Z +∞

ψk′ (x)ψk(x)dx = δ(k − k′).

−∞

А якщо в записi через iмпульс p = ~k, то

Z +∞

ψp′ (x)ψp(x)dx = δ(p − p′),

−∞

79

ψp(x) = √ 1 eipx/~

2π~

хвильова функцiя, що нормується на δ-функцiю вiд iмпульсiв.

Узв’язку з повнотою системи функцiй {ψp(x)} для “будь-якої” функцiї ψ(x) iснує iнтеґральний розклад Фур’є

Z +∞

ψ(x) = C(p)ψp(x)dp,

−∞

Z +∞

C(p) = ψp(x)ψ(x)dx.

−∞

Величина |C(p)|2 це густина ймовiрностi того, що частинка має iмпульс в околi значення p.

Узагальнення на тривимiрний випадок випишiмо без зайвих пояснень. Хвильова функцiя нормована на δ-функцiю вiд iмпуль-

сiв:

eipr/~

ψp(r) = (2π~)3/2 ,

Z

ψp′ (r)ψp(r)dr = δ(p − p′),

Z

ψp(r′)ψp(r)dp = δ(r − r′).

Для довiльної функцiї ψ(r) маємо розклад

Z

ψ(r) = C(p)ψp(r)dp,

обернене перетворення

Z

C(p) = ψp(r)ψ(r)dr.

Повернемось тепер до граничного переходу L → ∞ i розгляне-

мо його докладнiше. В одновимiрному випадку маємо амплiтуду

80