Вакарчук І.О. Квантова механіка

Нарештi зауважимо, що взагалi хвильовим пакетом називають добуток плоскої хвилi на функцiю ϕ(x, t), яка в певний момент

часу локалiзована у просторi:

ψ(x, t) = e−(i/~)Et+(i/~)pxϕ(x, t).

Приклад 2. Молекулярний йон водню H+2 . Ця система склада-

ється з двох протонiв, мiж якими рухається електрон (рис. 11).

Рис. 11. Молекулярний йон водню.

Нехай ψ1 це хвильова функцiя електрона на протонi 1 при вiдсутностi протона 2, а E0 його енерґiя. На протонi 2, коли вiдсутнiй протон 1, вiдповiдно маємо хвильову функцiю ψ2 й енерґiю, очевидно, також E0. Коли ми запускаємо в гру обидва протони,

то електрон реалiзує суперпозицiйний стан

ψ= C1ψ1 + C2ψ2.

Зумов симетрiї випливає, що

|C1|2 = |C2|2,

а з умови нормування

|C1|2 + |C2|2 = 1.

Iз цих рiвнянь, обмежуючись дiйсними розв’язками, знаходимо

Решта розв’язкiв, вiдповiдно до пункту 5◦ зауважень до принципу

суперпозицiї, описують той самий стан. Таким чином, ми отримаємо два розв’язки:

1

ψI = √ (ψ1 + ψ2),

2

61

1

ψII = √ (ψ1 − ψ2).

2

Якщо Ω частота “перескокiв” електрона мiж протонами, то

виявляється, що вiдповiднi значення енерґiї (див. рис. 12)

EI = E0 − ~Ω,

EII = E0 + ~Ω.

Величину A = ~Ω називають обмiнною енерґiєю.

Рис. 12. Енерґетичнi рiвнi H+2 .

Реалiзується стан з мiнiмальною енерґiєю, тобто стан iз симетричною хвильовою функцiєю ψI. У цьому станi маємо молеку-

лярний йон водню. З умов симетрiї випливає, що посерединi мiж

√

протонами ψ1 = ψ2. У цiй точцi ψI = 2ψ1, i ймовiрнiсть перебування електрона в нiй |ψI|2 = 2|ψ1|2 є максимальною. Отже, електрон у станi ψI знаходиться переважно мiж протонами й екранує

їхнi заряди. У результатi протони, хоч i слабо, але притягуються, утворюючи зв’язаний стан H+2 з виграшем енерґiї величиною A. У станi ψII для точки, що лежить посерединi мiж протонами, маємо ψII = 0. Це означає, що електрон здебiльшого перебуває поза цiєю

дiлянкою простору, тобто ймовiрнiсть знаходження електрона в цiй точцi дорiвнює нулевi. Отже, мiж протонами немає екрануючого заряду, кулонiвське вiдштовхування розводить їх i робить

62

систему нестабiльною. У цьому станi програємо в енерґiї на величину A. Маємо зв’язок мiж принципом суперпозицiї та принципом

мiнiмальностi енерґiї при утвореннi стабiльних систем.

Як приклад систем з двома станами в теорiї сильних взаємодiй наведемо обмiн π-мезонами мiж нуклонами, що приводить до зв’я-

заного стану нуклонiв у ядрi, а також обмiн ґлюонами мiж кварками, який приводить до зв’язаного стану й утворення адронiв.

Приклад 3. Етилен. Розглянемо молекулу етилену C2H4, у якiй

атоми вуглецю зв’язанi подвiйним зв’язком (див. рис. 13).

Рис. 13. Молекула C2H4.

Один iз подвiйних зв’язкiв, так званий π-зв’язок, є “рухливим”,

на ньому є два електрони з протилежно напрямленими спiнами. Саме цей зв’язок ми й вiзьмемо до уваги. Iнший, σ-зв’язок, що

сильно зв’язує електрони, тут, з погляду принципу суперпозицiї, нас не цiкавитиме. Ми також не будемо брати до уваги ефекти мiжелектронної взаємодiї. Якщо на π-зв’язок помiстити один еле-

ктрон, то вiн може розташуватись або бiля першого атома вуглецю з хвильовою функцiєю ψ1, або бiля другого з хвильовою функцiєю ψ2. Насправдi електрон реалiзує обидвi можливостi одноча-

сно, тобто вiн поводить себе, як всюдивстигаючий герой комедiї Карло Ґольдонi, а не як нерiшучий “осел Буридана”9. Отже, як i в Прикладi 2, маємо суперпозицiйну хвильову функцiю, для якої отримаємо два розв’язки ψI та ψII з енерґiями EI та EII. I в цьому

випадку реалiзується суперпозицiйний стан, коли на енерґетичний

9“Осел Буридана” оповiдання, що приписують французькому фiлосо-

фовi i природодослiдниковi Жановi Буридану (1300–1357), про осла, який, перебуваючи посерединi мiж двома однаковими оберемками сiна, приречений на голодну смерть, оскiльки внаслiдок рiвноймовiрних можливостей вiн, керуючись класичною логiкою “або–або”, не може зробити будь-який вибiр. Протилежну “квантову” поведiнку “i–i” демонструє Труфальдiно з Берґамавеселий герой знаменитої комедiї “Слуга двом панам” iталiйського драматурга Карло Ґольдонi (1707–1793).

63

рiвень EI = E0 − A “сiдають” два електрони з протилежними спiнами. Тут E0 енерґiя, що вiдповiдає станам ψ1, ψ2; A = ~Ω, Ω

частота перескокiв електрона мiж атомами вуглецю.

Приклад 4. Маса частинки в нерелятивiстськiй квантовiй механiцi. У нерелятивiстськiй квантовiй механiцi не iснує станiв, якi є суперпозицiєю станiв частинок з рiзними масами (теорема В. Барґмана, 1954 р.). Справдi, згiдно з принципом вiдносно-

стi Ґалiлея, закони фiзики у всiх iнерцiальних системах вiдлiку є однаковими. Це означає, що хвильовi функцiї в системах вiдлiку K та K′ (K′ рухається щодо K зi швидкiстю v) можуть вiдрiзня-

тись хiба що фазовим множником. Для вiльного руху частинки масою m маємо:

нештрихованi величини належать до системи K, штрихованi до K′. Вони пов’язанi перетвореннями Ґалiлея

i вiдповiдними перетвореннями для iмпульсу та енерґiї:

p = p′ + mv,

E = E′ + vp′ + mv2 2 .

Легко показати, що

ψ = eiδψ′,

де фаза

δ = m2~v (r + r′).

Якщо ми маємо лiнiйну суперпозицiю станiв частинок iз рiзними масами m1 та m2 в системi вiдлiку K,

ψ = C1ψ1 + C2ψ2,

64

то в системi вiдлiку K′

ψ′ = C1eiδ1 ψ1′ + C2eiδ2 ψ2′,

iндекси у величин δ1 та δ2 позначають рiзнi маси у виразi для δ. Отже, ψ та ψ′ вiдрiзнятимуться лише фазовим множником за умови, що m1 = m2; якщо ж m1 6= m2, то ψ та ψ′ фiзично рiзнi ста-

ни, а це суперечить принциповi вiдносностi Ґалiлея. Таким чином, маса частинки в нерелятивiстськiй теорiї величина фiксована.

У релятивiстськiй теорiї така суперпозицiя можлива тому, що величина pµxµ = Et − pr = inv є скалярним добутком 4-векторiв

координати та iмпульсу i при перетвореннях Лоренца є iнварiантою. Отже, при переходi вiд K до K′ функцiя ψ = ψ′ без додатко-

вої фази. Як приклад такої суперпозицiї можна навести систему K0 та K0 мезонiв, якi є суперпозицiйним станом KL0 та KS0 мезонiв,

що мають рiзнi маси ( m 3.6 · 10−6 eV). Приклад цiкавий тим, що в розпадах довгоживучого KL0 мезона на π+ +π− та π0 +π0 мезони (2π-канал) маємо єдиний поки що спостережуваний випадок порушення CP -iнварiантностi. Другий приклад це осциляцiя

сонячних нейтрино: кiлькiсть нейтрино, що реєструється на Землi, становить приблизно 1/3 вiд того, що вимагає теорiя циклiв ядерних реакцiй на Сонцi. Припускається, що стани нейтрино це суперпозицiйнi стани електронного нейтрино νe, мюонного нейтрино νµ та тау-нейтрино ντ i на шляху вiд Сонця (особливо в його

надрах) до Землi вiдбуваються взаємнi перетворення нейтрино за умови, що їхнi маси спокою не дорiвнюють нулевi10. Прилад реє-

10Наявнiсть маси у нейтрино частково розв’язує вiдому проблему темної

речовини Всесвiту. Сучаснi спостереження аномалiй у поведiнцi зiр i галактик дозволяють зробити висновок про iснування у Всесвiтi темної матерiї (речовини, невидимої в електромагнiтних променях) i “розмазаної” по всьому простору темної енерґiї, частина якої породжена квантовими флюктуацiями речовини. Кiлькiсть цiєї схованої матерiї в декiлька разiв перевищує видиму речовину. Претендентами на роль невидимих частинок є гiпотетичнi слабковзаємодiючi масивнi частинки, так званi вiмпи i супервiмпи (назва походить вiд абревiатури WIMP weakly interacting massive particle). Тут цiкаво навести паралель iз тим, як у 40-х роках XIX ст. французький астроном Урбен Левер’є прийшов до висновку, що аномальна поведiнка планети Уран зумовлена iснуванням невидимого масивного об’єкта, який збурює орбiту Урана так було вiдкрито планету Нептун.

Щодо темної енергiї, на яку, з огляду на її мализну, не може претендувати космологiчний член в рiвняннях загальної теорiї вiдносностi, то, можливо, її, насправдi, i немає потреби вводити взагалi, а натомiсть “вiдпустити” гравiтацiйну сталу i дати їй можливiсть змiнюватись у просторi i часi, пiдкоривши її деяким рiвнянням так, щоб пояснити спостережуванi явища. Це, очевидно,

65

струє один тип нейтрино, наприклад, νe.

У 1998 роцi питання нейтринних осциляцiй знайшло, здається, вiдповiдь в експериментi групи японських i американських фiзикiв з реєстрацiї нейтрино, народжених в атмосферi Землi. Iдея експерименту проста. Якщо нейтрино народжуються рiвномiрно по всiй поверхнi атмосфери, то народженi “над головою” експериментатора проходять коротший шлях до детектора на поверхнi Землi, нiж тi, що приходять з будь-якого iншого напрямку. Найбiльший шлях проходять нейтрино, народженi з другого боку Землi “пiд ногами” експериментатора. Звiдси випливає, що якщо є такi осциляцiї, то повинна спостерiгатись кутова залежнiсть кiлькостi зареєстрованих нейтрино. Саме це i виявив експеримент.

Приклад 5. Перехiд до класичної механiки. Розглянемо рух частинки з точки 1 до точки 2 (див. рис. 14).

Згiдно з принципом суперпозицiї, амплiтуда ймовiрностi потрапляння частинки з точки 1 у точку 2

Тут пiдсумовування вiдбувається за всiма траєкторiями, що сполучають точку 1 з точкою 2. Виявляється, що амплiтуда пере-

ходу по певнiй траєкторiї eiS/~, де S = R12 L dt класична дiя.

Це вперше зауважив П. А. М. Дiрак, а остаточно встановив та розвинув цю iдею P. Фейнман. Отже, частинка потрапляє з точки 1 до точки 2, випробовуючи всi можливi траєкторiї, це той самий рецепт, що ми мали для пiдрахунку ймовiрностей при дифракцiї електрона на двох щiлинах.

Чому ж у класичнiй механiцi частинка рухається по однiй траєкторiї? Ми ж це знаємо i щодня спостерiгаємо вiзуально! Уся тонкiсть полягає в тому, що стала Планка ~ 10−27 г · см2/сек, а дiя у класичнiй механiцi S 1 г · см2/сек, тобто S/~ 1027 це дуже

велике число, фактично ми маємо справу з прикладом “фiзичної

безмежностi”, S/~ → ∞. Тому функцiя eiS/~ є швидко осцилюю-

чою функцiєю при переходi вiд однiєї траєкторiї до iншої, причому

означає вiдмову вiд застосовностi загальної теорiї вiдносностi на великих космологiчних вiдстанях. Такий пiдхiд передбачає малi поправки до загальної теорiї вiдносностi, але такi, що можна виявити експериментально i в межах Сонячної системи.

66

Рис. 14. Можливi траєкторiї руху частинки.

траєкторiя q˜ = q+δq, що є безмежно близькою до траєкторiї q, дає лише змiну знака eiδS/~ амплiтуди. У результатi, внески сусiднiх траєкторiй у K(2, 1) взаємно “гасяться”. Є лише одна траєкторiя, що визначається з умови δS = 0, сусiди якої не дають цiєї змiни знака саме тому, що δS = 0. Умова δS = 0 є не що iнше, як

варiацiйний принцип найменшої дiї, з якого випливають класичнi рiвняння руху частинки та її оптимальна траєкторiя. Таким чином, маємо зв’язок принципу суперпозицiї та принципу найменшої дiї. Мабуть, цi принципи самi собою є наслiдками глибшої симетрiї Всесвiту.

Приклад 6. Полярони, екситони, магнони. Розглянемо рух електрона в йонному кристалi (наприклад, NaCl). Нехай ψn хвильова функцiя електрона на йонi з номером n. Реалiзується су-

перпозицiйний стан електрона

ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + · · · + Cnψn + · · · ,

тобто електрон колективiзується йонами. Така квазiчастинка, електрон плюс поляризована ним кристалiчна ґратка, називається “полярон”.

Нехай у молекулярному кристалi (типу O2) збуджена молекула пiд номером n, стан якої описується хвильовою функцiєю ψn.

Унаслiдок диполь–дипольної взаємодiї це збудження мандрує по

67

кристалу, стан якого описується також суперпозицiйною функцiєю, записаною вище. Такий збуджений стан кристала називають екситоном.

Основний стан феромагнiтного кристала вiдповiдає орiєнтацiї в одному напрямку власних магнiтних моментiв атомiв. Якщо на n-тому атомi перевернути магнiтний момент i описувати такий збуджений стан кристала хвильовою функцiєю ψn, то реалiзується стан ψ, що є лiнiйною суперпозицiєю станiв ψ1, ψ2, . . . . Цей суперпозицiйний стан ψ описує поширення перевороту магнiтного

моменту з назвою “магнон”.

Приклад 7. Явище биття. Цiкаво розглянути часову залежнiсть iмовiрностi перебування частинки в тому чи iншому станi, мiж якими можливi переходи квантовомеханiчне явище биття. Прикладом є молекула амiаку NH3, яка має форму пiрамiди. Азот

у нiй може знаходитись з одного або з iншого боку площини атомiв водню (з усiх можливих станiв молекули нас цiкавлять саме цi). Внаслiдок цього енерґiя може набувати два значення: E0 − A та E0 + A, де A обмiнна енерґiя. Причому амплiтуди C1, C2 ймовiрностей того, що азот перебуває вiдповiдно у станах ψ1, ψ2,

залежать вiд часу суперпозицiйно,

C1 = 12 e− ~i (E0−A)t + 12e− ~i (E0+A)t,

C2 = 12 e− ~i (E0−A)t − 12e− ~i (E0+A)t,

а самi ймовiрностi

|C1|2 = cos2 Ωt,

|C2|2 = sin2 Ωt,

де Ω = A/~ частота “перетiкання” ймовiрностi зi стану ψ1 у стан ψ2. Якщо в момент часу t = 0 атом азоту є у станi ψ1, то через час T = π/(2Ω) вiн “пробереться” у стан ψ2.

Такi ж перетворення вiдбуваються в системах K0- та K0-ме-

зонiв; це також стосується проблеми сонячних нейтрино приклади, якi ми розглянули вище.

Цiкаво навести приклад явища биття з класичної фiзики, а саме, з музичної акустики. Скрипкова група iнструментiв має добре

68

вiдомий недолiк так званий “вовчий тон”. Тобто є одна нота в iнструмента (високої якостi), якiй важко надати тривале стiйке звучання: вона стрибком змiнюється за тембром то до низьких, то до високих гармонiк. Виявляється, що на цiй “вовчiй нотi” основний тон коливань струни майже збiгається з резонансною частотою корпусу. Енерґiя при цьому з частотою биття переходить вiд струни до корпусу (струна звучить тодi на другiй гармонiцi оскiльки смичок рухається) i навпаки. Це явище експериментально дослiдив iндiйський фiзик Ч. Раман (1918 р.), спостерiгаючи одночасно коливання струни та корпусу11.

§ 4. Парадокси квантової механiки

Велику роль у пiзнаннi мiкросвiту мали дискусiї мiж ученими, якi створили квантову теорiю або вiдiграли важливу роль у її розвитку. Кожен iз цих великих людей так i не досягнув того “добротного” розумiння квантової механiки, на яке нас штовхає повсякденний досвiд. Вони по-рiзному висловлювали своє незадоволення та здивування з приводу того, якої форми врештi-решт набула квантова механiка. Цi дискусiї породжували рiзнi парадокси. Для iлюстрацiї атмосфери, у якiй велись дискусiї, наведемо тут лише три з багатьох парадоксiв.

Парадокс iз котом Шрединґера. Парадокс, який запропонував Е. Шрединґер, полягає ось у чому. Всерединi скриньки, стiнки якої не пропускають нi свiтла, нi звуку, знаходиться кiт. У скриньцi є отвiр, що може бути вiдкритий на час, необхiдний для пропускання одного фотона. На шляху фотона в скриньцi є напiвпосрiблене дзеркало, що з iмовiрнiстю 1/2 вiдбиває фотон i з iмовiрнiстю 1/2 пропускає його. Якщо фотон проходить крiзь дзеркало, то вiн приводить у дiю пристрiй (рушниця, ампула з синильною кислотою, . . . ), який позбавляє бiдолашного кота життя. Якщо фотон вiдбивається вiд дзеркала, то нiчого не вiдбувається. Вважається, що фотон перебуває в суперпозицiйному станi: “пройшов крiзь дзеркало” та “вiдбився вiд дзеркала”. Вiдповiдно до цього i кiт перебуває в суперпозицiйному станi мiж живим та мертвим,

11Ч. Раман, як вiдомо, у 1930 роцi отримав Нобелiвську премiю за вiдкриття

явища комбiнацiйного розсiювання свiтла.

69

тобто маємо живомертвого кота:

1

|стан котаi = √ {|живий кiтi + |мертвий кiтi} ,

2

де замiсть ψ ми ввели дужки | i, що позначають амплiтуду ста-

ну. Суть парадокса полягає в тому, що пiсля потрапляння фотона в скриньку стан кота є недетермiнованим, тобто таким, що принципово не має певного значення (живомертвий кiт). Виходить, що опис ситуацiї залежить вiд того, вiдкрили ми скриньку, щоб побачити стан кота, чи не вiдкривали її. Насправдi, недетермiнованiсть i зникає саме в момент взаємодiї фотона з пристроєм.

Парадокс де Бройля. У Парижi знаходиться закрита скринька. У нiй є одна частинка, яка дзеркально вiдбивається вiд стiнок. У скриньку вставляється перегородка також iз дзеркально вiдбиваючими стiнками, яка дiлить її на двi рiвнi скриньки, що вiдокремлюються. Одну з них вiдправляють до Львова, а другу залишають у Парижi. У якiй зi скриньок знаходиться частинка, повнiстю не детермiновано: це не означає, що частинка десь є, а нам просто невiдомо де. Це означає, що не iснує певного мiсця перебування частинки, тобто немає сенсу запитувати, де ж все-таки вона є. У Львовi ставиться експеримент з виявлення частинки. Парадокс полягає в тому, що результат експерименту у Львовi миттєво впливає на ситуацiю в Парижi, тобто детермiнованiсть миттєво поширюється до Парижа (безвiдносно до того, чи є про це iнформацiя в Парижi, чи її там немає).

Якщо аналiзувати цю ситуацiю з позицiї класичної фiзики, то частинка десь знаходиться, але нам невiдомо де саме. Тобто стан частинки є детермiнований i вiдкривання скриньки лише iнформує нас про те, чи є вона у Львовi, чи немає. Квантова механiка стверджує повну недетермiнованiсть стану частинки.

Парадокс Айнштайна–Подольського–Розена. З метою довести, що квантова механiка дає неповний опис фiзичних систем, А. Айнштайн, Б. Подольський i Н. Розен 1935 року опублiкували статтю, в якiй запропонували ситуацiю, подiбну до парадокса де Бройля. Зауважимо, що парадокс Шрединґера з його живомертвим котом був реакцiєю на цю статтю. Отже, нехай маємо двi частинки, вiдстань мiж якими дорiвнює сталiй величинi x0, а їхнiй повний iмпульс дорiвнює p. Величина x0 може мати будь-яке значення.

70