Вакарчук І.О. Квантова механіка

або

µ = µ0n,

де квант елементарного магнiтного заряду (монополь)

µ0 = e/2α,

α = e2/~c 1/137 стала тонкої структури. Експериментально

монополя до цього часу не виявлено.

Приклад 4. Квантування вихрових лiнiй у надплинному 4He.

Надплинний гелiй, як i надпровiдник, можна, внаслiдок сильної скорельованостi атомiв, описувати макроскопiчною хвильовою функцiєю. Надплинний гелiй-4 є прикладом iдеальної рiдини, для якої має силу теорема Гельмгольца про збереження вихрового руху ω = rot v/2, v швидкiсть рiдини в точцi r. З умови однозначностi хвильової функцiї її фаза m v dr/~, (m маса атома

Отже, циркуляцiя швидкостi квантується, а елементарний квант:

ZZZ

v dr = 2 ω dS = 2mπ~ ,

dS елемент поверхнi, що охоплена вихровою лiнiєю. Звiдси

випливає, що для кругового руху мiнiмальний радiус вихрового кiльця a = (~/mω)1/2, ω вихрова швидкiсть.

Приклад 5. Ефект Джозефсона. (Б. Д. Джозефсон, 1962 р.) Вiзьмемо два куски надпровiдника i з’єднаємо їх через тонкий шар iзолятора, створюючи тунельний бар’єр (див. рис. 9).

Фази хвильових функцiй спарених електронiв (куперiвських пар) δ1 та δ2 “утворюються” разом зi створенням надпровiдникiв.

Вирiвнювання фаз унаслiдок тунельного ефекту викликає тунельний струм:

Якщо до контакту прикласти рiзницю потенцiалiв V , то фа-

за хвильової функцiї змiнюється. У класичнiй електродинамiцi

51

Рис. 9. Ефект Джозефсона.

включення поля зi скалярним потенцiалом ϕ враховують замiною E → E − e ϕ, i вiдповiдно до цього фаза

нестацiонарний ефект Джозефсона7. Отже, бар’єр може ґенерувати випромiнювання з частотою ω = 2eV/~. Прецизiйнi вимiрю-

вання частоти та рiзницi потенцiалiв дали змогу визначити фундаментальну константу e/~ з точнiстю, яка привела до узгодже-

ння теоретичних розрахункiв й експериментальних вимiрювань лембiвського зсуву енерґетичних рiвнiв атома водню з точнiстю до одинадцяти значущих цифр.

Приклад 6. Тотожнi частинки. Тотожнi частинки за однакових умов у всiх випадках поводяться однаково. Тому при перестановцi цих частинок мiсцями ми не повиннi помiтити рiзницi:

|ψ(x1, x2)|2 = |ψ(x2, x1)|2,

7Б. Д. Джозефсон зробив своє вiдкриття як студент-дипломник у Кембрi-

джi (Нобелiвська премiя 1973 р. спiльно з Л. Есакi та I. Живером за дослiдження тунельних ефектiв у твердих тiлах).

52

x1, x2 координати частинок. Ця умова значно слабша, нiж умова

однозначностi хвильової функцiї. Тут ми маємо дещо iншу ситуацiю, нiж у попереднiх прикладах, коли при обходi по певному шляху ми повертали частинку у вихiдну точку: тут ми переставляємо частинки. Отже, хвильова функцiя з переставленими частинками може вiдрiзнятись вiд вихiдної фазовим множником:

ψ(x1, x2) → ψ(x2, x1) = eiδψ(x1, x2).

Повторна перестановка повертає все на свої мiсця:

ψ(x2, x1) → ψ(x1, x2) = eiδψ(x2, x1) = e2iδψ(x1, x2).

З однозначностi хвильової функцiї знаходимо, що 2δ = 2πn, n = 0, 1, 2, . . . або δ = πn. Таким чином, фазовий множник дорiвнює (+1) для парних n i (−1) для непарних n:

ψ(x2, x1) = ±ψ(x1, x2).

Симетрична хвильова функцiя описує бозе-частинки (бозони), а антисиметрична фермi-частинки (фермiони). Цей “невинний” знак “±”, що не змiнює квадрата модуля хвильової функцiї, “тя-

гне” за собою глибокi наслiдки: властивостi бозонiв i фермiонiв радикально вiдрiзняються. Яскравим прикладом цього є рiдкий 4He, який складається з бозе-частинок, та рiдкий 3He, атоми якого

є фермi-частинками. Черговий раз переконуємось, що фундаментальною величиною є хвильова функцiя, а не квадрат її модуля.

На завершення цього параграфа обговоримо питання про зникнення iнтерференцiйної картини для електронiв, якщо за ними спостерiгати або, iнакше кажучи, визначати, через яку щiлину проходить електрон. При вимiрюваннi положення електрона, скажiмо, за допомогою фотонiв бiля щiлини 1 у дослiдi 3 початкова фаза збивається i виникає випадкова фаза θ, яка залежить вiд

конкретного акту взаємодiї електрона з фотоном (навiть iз “мiкрохвильовим” фотоном, що має незначний за атомними масштабами iмпульс):

ψ1 → eiθψ1.

У результатi iнтерференцiйний доданок у квантовомеханiчному законi додавання ймовiрностей “самоусереднюється” за цiєю випадковою фазою:

1 Z 2π

2π 0

cos(δ + θ) dθ = 0.

53

Отже, iнтерференцiя зникає внаслiдок багатократного накладання амплiтуд iз випадковими фазами, зникає i будь-яка мiстика щодо впливу спостережень на поведiнку електронiв.

§ 3. Принцип суперпозицiї

Закон додавання амплiтуд iмовiрностей є частковим випадком загального квантовомеханiчного принципу суперпозицiї:

Якщо квантовий об’єкт може перебувати у станах з хвильовими функцiями ψ1, ψ2, . . . , ψn, . . ., то вiн може перебувати i в станi

з хвильовою функцiєю

ψ = C1ψ1 + C2ψ2 + . . . + Cnψn + . . . , C1, C2, . . . комплекснi числа.

Це основний принцип квантової механiки. Зробимо до нього декiлька зауважень у виглядi тверджень.

1◦. Кiлькiсть членiв у виразi для ψ може бути як скiнченною,

так i необмеженою.

2◦. Якщо iндекси, що нумерують стани, вiдрiзняються один вiд

одного безмежно мало, то замiсть суми будемо мати iнте-

ґрал:

Z

ψ = Cf ψf df.

3◦. Якщо функцiї ψ1, ψ2, . . . задовольняють деякi рiвняння, то i ψ задовольняє цi рiвняння. Звiдси випливає важливий на-

слiдок принципу суперпозицiї: всi рiвняння, яким задовольняють хвильовi функцiї у квантовiй механiцi, є лiнiйними рiвняннями.

4◦. Коефiцiєнти C1, C2, . . . дають “вагу” станiв ψ1, ψ2, . . . в повному станi ψ, тобто визначають мiру їх участi у формуваннi ψ. Для ортонормованих функцiй ψ1, ψ2, . . . величина |Cn|2 дорiвнює ймовiрностi реалiзацiї стану ψn, причому пов-

на ймовiрнiсть

X

|Cn|2 = 1.

n≥1

54

5◦. Якщо хвильову функцiю домножити на довiльне комплексне

число, яке не дорiвнює нулевi, то нова хвильова функцiя буде описувати той самий стан.

Таким чином, суть квантовомеханiчного принципу суперпозицiї полягає в тому, що квантова система з можливих станiв обирає не “той або той” стан, а всi зразу, тобто “i той, i той”. Така квантовомеханiчна логiка “i–i” радикально вiдмiнна вiд класичної арiстотелiвської логiки “або–або”8.

Найкраще проiлюструвати дiю принципу суперпозицiї на конкретних прикладах.

Приклад 1. Хвильовий пакет. Питання про хвильовий пакет, тобто про просторове утворення, що складається з набору хвиль де Бройля, виникло з намагань надати класичної наочностi фiзичному трактуванню хвильової функцiї.

Розгляньмо групу хвиль де Бройля з близькими значеннями iмпульсiв p = ~k бiля значення p0 = ~k0. Нас цiкавитиме одновимiрний випадок, причому будемо вважати, що хвильовий вектор k змiнюється неперервно в промiжку: k0− /2 ≤ k ≤ k0+Δ/2,

8Вона спiвзвучна так званому постмодернiстському трактуванню дiяльно-

стi людини, явищ та подiй з характерними для постмодернiзму мiждисциплiнарнiстю й визнанням рiвноправностi всiх можливих складових. Цiкаво навести ще деякi паралелi до квантовомеханiчної логiки “i–i” з iнших сфер дiяльностi людини, що, можливо, пiдштовхне читачiв до дискусiї.

Одним iз засадничих постулатiв громадянського суспiльства з його ненасильницькими принципами своєї органiзацiї є гасло, що немає “гiршого” чи “лiпшого”, а є “iнше” (наприклад, немає малої чи великої нацiї є iнша), тобто рiвноприйнятним є i одне, i друге. Культура Сходу не є гiршою, нiж захiдноєвропейська культура чи культура Заходу, вона є iншою. Тут логiка “або–або” приводить, як демонструє iсторiя, до малих i великих трагедiй як однiєї людини, так i спiльноти.

Формула “i–i” є також у фундаментi християнської релiгiї щодо сутностi Христа як Боголюдини. Непротиставлення антиномiй (як протирiччя мiж двома судженнями, що однаково доводяться засобами класичної логiки), а їх накладання, тобто iнтерференцiя, уможливлює виникнення чогось якiсно нового.

Можливо, що механiзми нашого мозку, якi запускають iнтуїтивно-образне або евристично-логiчне мислення, що i є причиною так званої проблеми двох культур, можуть творити в особливо обдарованiй людинi i суперпозицiйний образно-логiчний стан мислення. Читач сам наведе яскравi приклади людей iз цим переплетенням двох культур, творчiсть яких зґенерувала щось зовсiм нове, що не розкладається на складовi, а є iнтерференцiйним ефектом.

55

k0. Суперпозицiйний стан iз хвильовою функцiєю

будемо називати хвильовим пакетом. Не фiксуючи явно залежнiсть частоти ωk вiд хвильового вектора k i з огляду на нерiвнiсть k0, скористаємось розкладом:

×exp {i(k − k0)x − iv(k − k0)t} dk

56

Графiк функцiї |ψ(x, t)|2 зображений на рис. 10.

Рис. 10. Хвильовий пакет.

Отже, ймовiрнiсть перебування частинки, що описується хвильовим пакетом, є найбiльшою в околi його центра

x − vt = 0.

У зв’язку з цим були спроби трактувати хвильовий пакет як розподiл густини, наприклад, електрона у просторi за законом |ψ(x, t)|2. Справдi, центр хвильового пакета пересувається у просторi з груповою швидкiстю v = (dωk/dk)k=k0 . Для вiльної час-

тинки

57

Отже, групова швидкiсть хвиль де Бройля збiгається зi швидкiстю частинки.

Таким чином, центр хвильового пакета рухається рiвномiрно за класичним законом зi швидкiстю, що дорiвнює класичнiй швидкостi частинки:

x = pm0 t.

Здавалось би, можна говорити, що частинка є утворенням з групи хвиль де Бройля i цим надати фiзичного змiсту хвильовiй функцiї. Однак такий “наочний” опис стану частинки хвильовим пакетом виявляється неадекватним у квантовiй механiцi. Хвильовий пакет, як буде показано пiзнiше на основi точних рiвнянь, розпливається з часом. Це зрозумiло, тому що хвилi де Бройля мають дисперсiю: фазова швидкiсть дорiвнює ω/k i залежить вiд довжини хвилi λ = 2π/k. Тут ми не вловили цього “розпливання” внаслiдок розкладiв величин ωk та Ck. Зауважимо, мiж iншим, що електромагнiтнi

хвилi у вакуумi дисперсiї не мають.

Розпливання хвильових пакетiв можна “вхопити”, якщо формувати їх з точним виразом для частоти ωk = ~k2/2m (для вiльної

частинки) i з необмеженим промiжком змiни хвильового вектора k, але зi швидкоспадаючими коефiцiєнтами Ck при великих вiдхиленнях k вiд значення k0:

Ck = Ce−(k−k0)2/4Δ2 ,

C стала нормування, а , як i в попередньому випадку, встановлює промiжок актуальних значень хвильових векторiв бiля k0, тобто тих, якi визначають головний внесок в iнтеґрали за k. Отже,

тепер

Z∞

ψ(x, t) = C dk e−(k−k0)2/4Δ2 eikx−i~k2t/2m.

−∞

Зробiмо замiну змiнної iнтеґрування q = k − k0 i пiсля простих

перетворень отримаємо:

58

−∞

Iнтеґрування виконуємо з використанням вiдомого iнтеґрала Пуассона:

величину комплексно спряжену до знаменника i знайдемо, що

59

а середньоквадратичне вiдхилення

З умови нормування, знову використовуючи iнтеґрал Пуассона, знаходимо сталу

C =

1

(2π)3/4 1/2

i остаточно хвильовий пакет

e−(x−vt)2/4h(Δx)2i

ψ(x, t) = eipx/~−iEt/~ei(α−ϕ/2) [2πh(Δx)2i]1/4 .

Густина ймовiрностi |ψ(x, t)|2 має вигляд ґауссiвської кривої зi середньоквадратичним вiдхиленням h(Δx)2i, а центр хвильового

пакета, як i в попередньому прикладi, пересувається зi швидкiстю v. Однак тепер пакет розпливається, як це видно з формули для h(Δx)2i. Якщо в нiй покласти t = 0, то матимемо середньоквадра-

тичне вiдхилення в початковий момент часу

h(Δx)2i0 = 1/4Δ2

i ширину пакета

p

h(Δx)2i0 = 1/2Δ.

Ширина хвильового пакета в будь-який момент часу t дорiвнює

i, як бачимо, при великих t збiльшується з часом лiнiйно. Отже,

Наприклад, якщо електрон у момент часу t = 0 локалiзувати в p

˚

областi h(Δx)2i0 1 A, то через одну секунду вiн “розпливеться” на область з лiнiйними розмiрами 1000 км! Це розвiює будь-якi

нашi iлюзiї щодо трактування хвильового пакета як частинки.

60