Вакарчук І.О. Квантова механіка

та b, то їх сумою є вектор c = a + b, квадрат довжини якого

Чи це не нагадує квантовомеханiчний закон додавання ймовiрностей? Якщо цi вектори є паралельними, тобто знаходяться “у фазi” (для простоти нехай вектори мають однакову довжину |a| = |b|), то квадрат довжини |c|2 = 4|a|2. Якщо вони у протифазi (антипаралельнi), то квадрат довжини |c|2 = 0. Тобто ми маємо тут також певний перерозподiл залежно вiд кута мiж a та b. Якщо цей кут є випадковою величиною, то усереднення за ним дає |c|2 = |a|2+|b|2 й iнтерференцiя зникає. Аналогiя виразу для |c|2 з виразом для |ψ|2 з дослiду 3 є, без сумнiву, повною. Тому часто амплiтуду ймовiрностi ψ називають вектором стану.

Рис. 5. Ефект пiдсилення при iнтерференцiї. E0 порiг чутливостi спостерiгача; площi пiд кривими E1(ω) та E2(ω) однаковi.

Отже, саме цей спосiб для пiдрахунку ймовiрностей явищ мiкросвiту вибрала Природа. Використовуючи невеликий арсенал можливостей, вона блискуче розв’язує питання “бухгалтерiї мiкросвiту”. Причому її не турбує те, що нам не вистачає уяви для розумiння iнтерференцiї електрона, на шляху якого є двi щiлини.

Звернiмо увагу на те, що наш уявний експеримент демонструє хвильовi властивостi частинок на мiкроскопiчних об’єктах. Дифракцiя електронiв на макроскопiчних щiлинах, а не на кристалiчнiй ґратцi з її атомними масштабами довжин вимагає спецiальної демонстрацiї. Незвично й цiкаво спостерiгати прояв квантовомеханiчних закономiрностей наочно. Такi експерименти були проведенi в 60-х роках XX ст. Вони пiдтвердили результати розрахункiв, виконаних на основi рiвняння Шрединґера: як i для свiтла, наявна дифракцiя Фраунгофера на двох щiлинах. Мiж iн-

41

шим, цi розрахунки вперше виконав ще в 30-х роках XX ст. Войцех Рубiнович, який працював у Львовi.

Обговорюючи дивну для нас квантову поведiнку частинок мiкросвiту, ми весь час пiдсвiдомо тримаємо в головi питання: а де проходить межа мiж мiкрочастинками з їх хвильовими властивостями та макротiлами з їх, звичною нам, поведiнкою. З виразу для довжини хвилi де Бройля λ = 2π~/p випливає, що корпускулярнi властивостi домiнують при великих значеннях iмпульсу p, тобто у

макротiл важко виявити хвильовi властивостi. Пiзнiше ми детально вивчимо умови, за яких квантовi рiвняння руху переходять у класичнi. А тут зауважимо, що останнi дифракцiйнi експерименти пiдтвердили хвильову природу таких великих об’єктiв як бiомолекула C44H30N4 (тетрафенiлпорфирiн з вагою 614 а.о.м.), яка є

частиною багатьох складних бiомолекул i “обслуговує” центри забарвлення в хлорофiлi та гемоглобiнi. У молекули фулерену C60

˚

з атомною вагою 720 а.о.м. i лiнiйними розмiрами 10 A також

виявлено корпускулярно-хвильовий дуалiзм з довжиною хвилi де

−2 ˚

Бройля λ 2.5 · 10 A. Але рекордом на сьогоднi є встановлення дебройлiвської iнтерференцiї флуорофулерену C60F48 з атомною

вагою 1632 а.о.м. 5 Видається, що вже в недалекому майбутньому можна очiкувати експериментального виявлення хвильових властивостей такого утворення як вiрус. . .

Вiдступ 1. Детермiнiзм Лапласа.

Лапласiвський детермiнiзм насправдi не реалiзується, оскiльки вiн впирається в таке поняття, як безмежнiсть: претензiя на стовiдсоткове передбачення вимагає, щоб початковi умови були заданi з безмежною точнiстю. Розгляньмо просте рекурентне рiвняння

xn+1 = 2xn,

яке описує детермiновану поведiнку деякої класичної системи. Розв’язок цього рiвняння

xN = 2N x0,

x0 початкове значення, N кiлькiсть крокiв. Якщо задати x0 з точнiстю до тисячної долi: x0 = 1.001 замiсть 1, то вже через N = 10 крокiв ми дiстанемо не xN = 1024, а xN 1025. А якщо N є значно бiльшим, то наше

передбачення через те, що початкова умова задається з певною точнiстю, дає зовсiм неточну iнформацiю. Крiм того, слiд пам’ятати, що початкових умов для передбачення поведiнки Всесвiту практично є безлiч i їх необхiдно знати в певний момент часу. Цей простий приклад iлюструє iлюзорнiсть класичного лапласiвського детермiнiзму.

5L. Hackerm¨uller, S. Uttenthaler, K. Hornberger, E. Reiger, B. Brezger, A. Zeilinger, M. Arndt, Phys. Rev. Lett. 91, 090408 (2003).

42

Вiдступ 2.

Щодо iнтерференцiї, то її можна не тiльки спостерiгати вiзуально на поверхнi води, про що мова йшла в дослiдi 2, але й чути при дзвонi кришталевих келихiв. Келих не лише дзвенить, вiн також спiває (явище биття) це є не що iнше, як явище iнтерференцiї.

Прямий стосунок до питань, якi ми обговорюємо тут, має також задача про траєкторiю блукань п’янички. Якщо п’яничка має крок ai (нехай за

довжиною всi кроки однаковi), то за напрямком вони є цiлком випадковими, отже, середнє haii = 0. Середня квадратична вiдстань для N крокiв дорiвнює

Унаслiдок того, що кроки зовсiм не скорельованi (центральна нервова система зайнята внутрiшнiми проблемами), то haiaj i = haiihaj i = 0, для i 6= j, а

для i = j: haiaj i = ha2i i = a2. Отже, iнтерференцiя також зникає. Таким

чином, лiнiйна вiдстань L = N1/2a. Очевидно, що для тверезої людини, коли всi ai “знаходяться у фазi”, L = Na. У загальному випадку можна покласти

L = Nδa, де δ показник тверезостi, причому очевидно 1/2 ≤ δ ≤ 1. Цей метод визначення ступеня сп’янiння за вимiрюванням показника δ можна

запропонувати автоiнспекцiї.

Таким же виразом визначається лiнiйний розмiр глобулярних бiлкових

молекул L = Nδa, де L вiдстань мiж кiнцями молекулярного ланцюга, що згортається в глобулу, a довжина однiєї ланки, N кiлькiсть ланок.

А взагалi, такого типу проблеми є предметом дослiдження теорiї так званих фрактальних структур.

§ 2. Хвильова функцiя

Перейдiмо до узагальнення експериментальних фактiв, якi обговорено в попередньому параграфi. Центральну роль, як ми бачили, вiдiграє поняття амплiтуди ймовiрностi, або хвильової функцiї. Концепцiя хвильових функцiй є фундаментальною концепцiєю. Вона пояснює експеримент незалежно вiд наших фiлософських турбот щодо нездатностi людини картинно уявити подiї в мiкросвiтi.

Спираючись на результати дослiдiв, сформулюємо перший i основний постулат квантової механiки.

Постулат. Стан у квантовiй механiцi задається хвильовою функцiєю ψ.

Як уже зазначалось, хвильова функцiя, взагалi кажучи, комплексна величина, є неперервною й однозначною функцiєю координат та часу. Нагадаємо, що час вiдiграє в нерелятивiстськiй теорiї роль параметра.

43

В одновимiрному випадку хвильова функцiя ψ залежить вiд просторової змiнної x та часу t. Величина |ψ(x, t)|2dx дорiвнює ймовiрностi знаходження частинки в околi точки x у момент часу t (М. Борн, 1926 р.). Якщо проiнтеґрувати цю величину за всiма можливими значеннями x, ми отримаємо одиницю, тобто частин-

ка десь знаходиться в просторi:

Z

|ψ(x, t)|2dx = 1.

Ця рiвнiсть має назву умови нормування хвильової функцiї. Якщо iнтеґрал не iснує, то |ψ(x, t)|2 не має змiсту густини ймовiрностi. Однак величина |ψ(x1, t)|2/|ψ(x2, t)|2 має змiст вiдносної ймовiрностi перебування частинки в точках x1 та x2.

Рiвнозначним термiновi “хвильова функцiя” є термiн “амплiтуда ймовiрностi”, або просто “амплiтуда стану”, що вiдбиває фiзичний змiст величини ψ. З уваги на те, що закон додавання амплiтуд збiгається iз законом додавання векторiв, величину ψ на-

зивають також вектором стану.

Якщо частинка рухається у тривимiрному просторi, то хвильова функцiя в декартових координатах залежить вiд x, y, z, а величина |ψ(x, y, z; t)|2 є густиною ймовiрностi перебування частинки в околi точки (x, y, z). Умова нормування має вигляд:

Z Z Z

|ψ(x, y, z; t)|2dx dy dz = 1,

V

де iнтеґрування вiдбувається по всьому об’єму V , у якому ру-

хається частинка. Ми також будемо використовувати скороченi позначення:

ψ(r, t) = ψ(x, y, z; t),

де радiус-вектор r = (x, y, z); умову нормування в цих позначе-

ннях запишемо так:

Z

|ψ(r, t)|2dr = 1,

ZZ Z Z

V

44

Замiсть декартових координат можна використовувати будьякi iншi, що однозначно задають положення частинки. Розглянемо, наприклад, сферичнi координати. Якщо у хвильовiй функцiї ψ(x, y, z; t) замiнити декартовi координати (x, y, z) на сферичнi (r, θ, ϕ), згiдно з вiдомими формулами переходу

x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ,

z = r cos θ,

де r довжина радiус-вектора, що визначає положення частинки, θ широтний або полярний кут, ϕ азимутальний кут, то отримуємо хвильову функцiю ψ(r, θ, ϕ; t) (залишаємо для неї те

ж позначення), квадрат модуля якої разом з якобiаном переходу r2 sin θ до сферичних координат дорiвнює ймовiрностi

|ψ(r, θ, ϕ)|2r2 sin θ dr dθ dϕ

перебування частинки в околi точки (r, θ, ϕ). Умова нормування:

Z Z Z

dr dθ dϕ r2 sin θ|ψ(r, θ, ϕ)|2 = 1,

тобто хвильову функцiю нормуємо з вагою. Отже, хвильовою

функцiєю, квадрат модуля якої дорiвнює вiдповiднiй густинi ймо-

√

вiрностi, є не ψ(r, θ, ϕ; t), а ψ(r, θ, ϕ; t) r2 sin θ.

У загальному випадку будемо вважати, що хвильова функцiя залежить вiд узагальнених координат q1, q2, . . . , qs, де s число

ступенiв вiльностi, i введемо скороченi позначення:

Пiсля замiни декартових координат на узагальненi хвильова функцiя нормується з якобiаном переходу. Надалi, однак, ми будемо розумiти пiд |ψ(q, t)|2 dq вiдповiдну ймовiрнiсть, тобто квадрат мо-

дуля вихiдної хвильової функцiї, помножений на якобiан переходу.

45

Отже, якщо перехiд вiд декартових координат до iнших iде з якобiаном переходу, то “справжньою” хвильовою функцiєю ψ(q, t) є вихiдна функцiя iз замiною декартових координат r на узагальненi q, помножена на корiнь квадратний з якобiана переходу.

Перейдемо до встановлення вигляду хвильової функцiї вiльної частинки. Заради простоти розглянемо спочатку одновимiрний випадок. Для вiльної частинки, тобто для частинки, що рухається в просторi без впливу зовнiшнiх силових полiв, усi точки простору є рiвноймовiрними:

|ψ|2 = const,

а сама хвильова функцiя

ψ = Ceiδ,

C дiйсна додатна величина, δ фаза. Нехай частинка перебуває

в станi спокою на початку координат iнерцiальної системи вiдлiку K, як зображено на рис. 6.

Рис. 6. Стан частинки в рiзних iнерцiальних системах вiдлiку.

Згiдно з гiпотезою де Бройля, з частинкою пов’язаний коливний процес, частота якого вiдповiдає формулi Планка:

енерґiя спокою частинки. Цим коливанням вiдповiдає фаза

δ= δ0 − ωt,

46

δ0 деяка початкова фаза, а знак “мiнус” вибраний тут з мiрку-

вань зручностi. Отже, хвильова функцiя

ψ = Ce−iωt+iδ0 .

Розглянемо тепер iншу iнерцiальну систему вiдлiку K′, що рухається зi сталою швидкiстю v уздовж осi x в напрямку, протиле-

жному до напрямку цiєї осi (див. рис. 6). З погляду спостерiгача в системi K′, частинка рухається уздовж x′ зi швидкiстю v. Знайдемо вигляд хвильової функцiї частинки в системi K′, викори-

стовуючи перетворення Лоренца:

енерґiя та iмпульс частинки у штрихованiй системi вiдлiку.

Узагальнюючи цей результат на тривимiрний випадок та опускаючи штрихи, отримаємо хвильову функцiю

яка описує вiльну частинку з енерґiєю E та iмпульсом p. Це i є

хвиля де Бройля. Її називають ще плоскою хвилею. Назва походить вiд того, що рiвняння для сталої в певний момент часу фази pr = const є рiвнянням площини. Сталу величину C зна-

ходимо з умови нормування. До цього питання ми повернемось пiзнiше. При виведеннi цiєї формули ми фактично використали умову iнварiантностi скалярного добутку xµpµ = Et − pr, де xµ

47

координати простору Мiнковського, а pµ = (E/c, −p) 4-вектор

енерґiї–iмпульсу частинки.

Питання про фазу хвильової функцiї є цiкавим i тонким. Для того, щоб привернути увагу до нього, наведемо декiлька прикладiв фiзичних явищ, якi яскраво iлюструють дiю основного постулату квантової механiки саме через фазу хвильової функцiї.

Приклад 1. Ефект Ааронова–Бома6. Повернiмось до експериментальної установки з дифракцiї електронiв на двох щiлинах. Уведемо в установку безмежно тонкий соленоїд, магнiтнi силовi лiнiї якого напрямленi перпендикулярно до площини рисунка (див. рис. 7).

Рис. 7. Зсув iнтерференцiйної картинки в ефектi Ааронова–Бома.

У реальному експериментi ми маємо справу з умовою, що дiаметр соленоїда є значно меншим, нiж вiдстань мiж щiлинами. Таким чином, iмовiрнiсть перетину електроном силової лiнiї дуже мала. Отже, безпосередня дiя напруженостi магнiтного поля H на електрон вiдсутня. Розгляньмо, як змiниться фаза хвильо-

вої функцiї електрона при наявностi поля. Як вiдомо з класичної електродинамiки, включення магнiтного поля враховується замiною iмпульсу частинки p на p − eA/c, де e заряд частинки, A

векторний потенцiал поля. Це приведе до змiни фази хвильової

6Y. Aharonov, D. Bohm. Significance of electromagnetic potentials in quantum theory // Phys. Rev. 115, 485–491 (1959).

48

тут узято до уваги, що A є функцiєю координат. Отже, ми отри-

маємо додаткову рiзницю фаз

яка визначається iнтеґралом за замкненим контуром шляхiв (1)

де Φ магнiтний потiк через поверхню, що охоплена цим контуром, dS елемент цiєї поверхнi. Отже, iнтерференцiйна картинка

зсувається i

на рис. 7 вона подана промодульованою картинкою вiд однiєї щiлини.

Висновки, якi можна зробити: по-перше, фаза хвильової функцiї є величиною, що вимiрюється, а по-друге, виявляється, що квантова механiка виводить векторний потенцiал A з ролi допо-

мiжної величини в один ряд зi спостережувальними величинаминапруженостями електромагнiтного поля.

Приклад 2. Квантування магнiтного потоку(Ф. Лондон, 1952 р.)

Захоплений надпровiдником магнiтний потiк (див. рис. 8) змiнює фазу хвильової функцiї куперiвських електронних пар, якi вiдповiдають за надпровiднiсть (див. попереднiй приклад):

e Φ δ = ~c ,

e = 2e заряд пари.

Однозначнiсть хвильової функцiї при повному обходi по штрихованому контуру вимагає, щоб змiна фази була кратною до 2π:

49

δ = 2πn, n = 0, 1, 2, . . . . Звiдси випливає, що магнiтний потiк

квантується:

Φ0 = 2π~c/e

елементарний квант магнiтного потоку, який був експериментально вiдкритий у 1961 роцi.

Рис. 8. Квантування магнiтного потоку (H напруженiсть зовнiшнього магнiтного поля).

Приклад 3. Монополь Дiрака. П. А. М. Дiрак, припустивши iснування елементарного магнiтного заряду величини µ, пока-

зав, що вiн квантується. Справдi, за теоремою Остроградського–

Ґаусса, потiк

ZZ

H dS = 4πµ.

З iншого боку, при повному обходi навколо лiнiї (струни Дiрака), уздовж якої розташований соленоїд, змiна фази

e

δ = ~c4πµ

хвильової функцiї електрона повинна бути, внаслiдок її однозначностi, кратною до 2π:

50