Вакарчук І.О. Квантова механіка

Г Л А В А I

ОСНОВНI ПРИНЦИПИ КВАНТОВОЇ МЕХАНIКИ

§ 1. Опис стану у квантовiй механiцi

Для вивчення будь-якого фiзичного об’єкта необхiдно, як кажуть, задати його стан, тобто задати певну сукупнiсть характерних величин. Вибiр цих величин ґрунтується на результатах дослiду, i вони дають змогу визначити всi iншi фiзичнi величини. Завдання науки полягає в передбаченнi значень цих величин у довiльний момент часу, якщо вони вiдомi в попереднiй момент часу. Спiввiдношення, на основi яких визначають їхнi значення в наступнi моменти часу, називають рiвняннями руху.

Укласичнiй механiцi стан частинки задається в момент часу t сукупнiстю узагальнених координат q та швидкостей q˙, а рiв-

няннями руху є рiвняння Лаґранжа. Можна задавати стан також узагальненими координатами q та узагальненими iмпульсами p, рiвняннями руху для яких є канонiчнi рiвняння Гамiльтона.

Цi рiвняння, як i еквiвалентнi їм рiвняння Гамiльтона–Якобi, є наслiдком варiацiйного принципу найменшої дiї. Однак вихiдними рiвняннями були рiвняння Ньютона, якi вiн сформулював понад 300 рокiв тому i якi своєю чергою побудованi на глибокому аналiзi експериментальних фактiв та завдяки працям М. Коперника,

Ґ.Ґалiлея i Й. Кеплера.

Укласичнiй електродинамiцi стан електромагнiтного поля задається його силовими характеристиками напруженостями електричного E та магнiтного H полiв. Цi величини є функцiями координат точки простору x, y, z та часу t. Таким чином, поле

задається в певний момент часу в усьому просторi. Можна стан електромагнiтного поля задавати i 4-вектором (ϕ, A), де ϕ скалярний потенцiал поля, A його векторний потенцiал, так що

= − ˙ /c−grad ϕ, а = rot (крапкою позначена похiдна за ча-

E A H A

сом, c швидкiсть свiтла). Рiвняння руху електромагнiтного поля

31

це рiвняння Максвелла, якi своєю чергою є узагальненням експериментальних фактiв, нагромаджених у дослiдах Ш. Кулона, Г. K. Ерстеда, А. Ампера, М. Фарадея.

Стан ґравiтацiйного поля задається метричним тензором gik,

який визначає метрику простору, тобто визначає спосiб вимiрювання довжин та кутiв, i є функцiєю 4-радiус-вектора (x0, x1, x2, x3) криволiнiйних координат, якi при вiдсутностi ґравiтацiї зводяться до координат Мiнковського (ct, x, y, z). Рiвняння руху

поля це рiвняння Айнштайна–Гiльберта. Хоча цi рiвняння отриманi не як узагальнення експериментальних фактiв, а значною мiрою на iнтуїцiї (цим таємничим механiзмом установлення апрiорних законiв), однак у мiркуваннях, що привели до них, центральну роль вiдiграв принцип еквiвалентностi iнертної та важкої мас тiл, який експериментально запримiтив ще Ґ. Ґалiлей i який пiзнiше встановлено дослiдами Х. Гюйґенса, I. Ньютона, Ф.-В. Бесселя, Р. Етвеша.

Пiсля цього короткого перегляду класичних фiзичних теорiй перейдiмо до визначення тих величин, якi описують стан у квантовiй механiцi. Iсторичний аспект виникнення квантової теорiї ми висвiтлили у вступi. Тому подальший виклад будемо проводити не в iсторичнiй, а в логiчнiй послiдовностi. Хоча далi не раз ще вдамося i до iсторичних фактiв.

Звернiмось до експериментiв з дифракцiї електронiв, у яких була пiдтверджена гiпотеза де Бройля про те, що з частинкою по- в’язаний хвильовий процес iз довжиною хвилi λ = 2π~/p, p iм-

пульс частинки. Пiзнiше ця iдея пiдтвердилась у дослiдах iз дифракцiї нейтронiв. Були виконанi також експерименти з “поодинокими” електронами та “поодинокими” фотонами, тобто дослiди з пучками електронiв та фотонiв дуже низької iнтенсивностi.

Перейдiмо до аналiзу цих експериментiв. Розгляньмо спрощений варiант установки, на якiй будемо вивчати дифракцiю не на реальнiй кристалiчнiй ґратцi, а на екранi з двома щiлинами. Проходження електронiв крiзь двi щiлини є, мабуть, найзнаменитiшим уявним фiзичним експериментом, який майстерно використав Р. Фейнман1 для демонстрацiї iдеї хвильових властивостей частинок у своїх не менш знаменитих лекцiях з фiзики [12].

1За фундаментальний внесок у квантову електродинамiку, що має важ-

ливе значення для фiзики елементарних частинок, Р. Фейнмановi разом з С. Томонаґою та Ю. Швiнґером присуджена Нобелiвська премiя за 1965 рiк.

32

Отже, нехай ми маємо експериментальну установку, зображену на рис. 1, i “проведемо” на нiй три експерименти.

Рис. 1. Експериментальна установка для дослiдження розсiяння хвиль i частинок на двох щiлинах (щiлини вважаємо однаковими).

Дослiд 1. Дитячий бiльярд. Спочатку розгляньмо експеримент iз класичними частинками. Наприклад, це можуть бути кульки дитячого бiльярда. Джерело “випромiнює” кульки, що проходять через щiлину в екранi i реєструються детектором. Поставимо запитання: яка ймовiрнiсть того, що, вийшовши з джерела, частинка потрапить у точку x на екранi з детектором.

Цiкаво провести експеримент спочатку при закритiй щiлинi 2. Ми отримаємо ймовiрнiсть w1(x) (див. рис. 2) того, що частинка проходить через щiлину 1 i потрапляє в точку x. Зрозумiло, що максимальне значення w1(x) знаходиться навпроти щiлини 1.

Закриваємо тепер щiлину 1 i визначаємо ймовiрнiсть того, що, вийшовши з джерела, частинка пройде через щiлину номер 2 i потрапить у точку x крива w2(x) на рис. 2. Тепер вiдкриваємо

обидвi щiлини i вимiрюємо за частотою потрапляння частинок у точку x повну ймовiрнiсть w(x) того, що частинка, пройшовши

через першу або другу щiлини, потрапляє в детектор. Очевидно, що

w(x) = w1(x) + w2(x),

тобто маємо класичний закон додавання ймовiрностей.

33

Рис. 2. Експеримент iз розсiяння класичних частинок.

Дослiд 2. Хвилi на водi. Виконаймо тепер експеримент iз хвилями. Наприклад, це можуть бути хвилi на поверхнi води. Будемо вимiрювати детектором iнтенсивнiсть хвиль, тобто квадрат амплiтуди. Експеримент повторюємо в тiй же послiдовностi. Нехтуючи дифракцiєю на краях щiлини, ми отримаємо для iнтенсивностi хвиль криву I1 = |A1|2, де A1 амплiтуда хвилi в точцi x, що

проходить через щiлину 1 при закритiй щiлинi 2 (див. рис. 3). При закритiй щiлинi 1 очевидно отримаємо криву I2. Зовсiм iн-

ша ситуацiя виникає, коли обидвi щiлини вiдкритi. Згiдно з принципом Гюйґенса, коли хвильове збурення вiд джерела досягне щiлин, вони обидвi стають джерелами хвиль, i в точцi x на екранi маємо накладання двох хвиль. Сумарна iнтенсивнiсть I залежить вiд рiзницi фаз δ = δ1 −δ2, з якими хвилi приходять вiд щiлини до

детектора. Для отримання сумарної iнтенсивностi потрiбно спочатку додати амплiтуди A1 = |A1| exp(iδ1) та A2 = |A2| exp(iδ2) i

лише пiсля цього взяти квадрат модуля:

A = A1 + A2,

I= |A|2 = |A1 + A2|2 = |A1|2 + |A2|2 + 2|A1||A2| cos δ

p

= I1 + I2 + 2 I1I2 cos δ.

Отже, ми отримуємо iнтерференцiйну картинку, яка й зображена на рис. 3.

34

Рис. 3. Дифракцiя хвиль на двох щiлинах.

Дослiд 3. Дифракцiя електронiв. Тепер розглянемо експеримент з електронами, тобто обговоримо дослiди К. Девiссона, Л. Джермера i Дж. П. Томсона (рис. 4). Iз джерела електрон потрапляє на екран зi щiлинами i, пiсля їх проходження, реєструється детектором. У першiй частинi нашого експерименту (закрита щiлина 2) визначаємо за частотою потрапляння електрона в детектор криву ймовiрностi w1 потрапляння електрона в точку x. У другiй частинi при закритiй щiлинi 1 отримаємо криву w2. Тобто

ми одержимо такi ж двi кривi, як i в нашому першому дослiдi з класичними частинками. Тепер вiдкриваємо обидвi щiлини i спостерiгаємо за електроном. Логiчно припустити, що електрон як цiле проходить через першу або другу щiлини. А це своєю чергою тягне за собою класичний закон додавання ймовiрностей. Однак результати експерименту повнiстю суперечать здоровому глуздовi. Виявляється, що крива сумарної ймовiрностi w має iнтерфе-

ренцiйний характер, як зображено на рисунку.

Отже, електрон як частинка, що проходить щiлини як цiле (пiвелектрона, як добре вiдомо з дослiду, нiхто не спостерiгав), потрапляє в детектор у точцi x i реєструється ним. Пiсля цього

наступний електрон незалежно вiд попереднього (це i є дослiд з

35

Рис. 4. Дифракцiя електронiв на двох щiлинах.

“поодинокими” електронами) проходить через систему двох щiлин i фiксується детектором. Багатократне повторення цього приводить до iнтерференцiйної картинки, аналогiчної до тiєї, яку отримували для хвиль у дослiдi 2. Складається враження, що кожен наступний електрон “знає”, у яку точку потрапив попереднiй, i вибирає для себе точку x так, щоб утворилась iнтерференцiйна

крива. . .

Статистичний, тобто ймовiрнiсний, опис класичних частинок у першому дослiдi є лише, так би мовити, нашою примхою, оскiльки ми маємо у своєму розпорядженнi закони Ньютона, розв’язок яких дає траєкторiю частинки, i щоразу (коли частинка вилiтає з джерела) можна передбачити, в яку точку екрана вона потрапляє. Зовсiм iншу ситуацiю маємо для квантових частинок, тобто для електронiв. Це означає, щонайменше, що електрон не пiдкоряється законам класичної механiки. Отже, для опису його стану потрiбно шукати iншi характеристики, нiж, скажiмо, координату та iмпульс, якими успiшно оперує класична механiка.

Оскiльки крива ймовiрностi потрапляння електронiв на екран з детектором за своїми характеристиками фактично збiгається з кривою iнтенсивностi хвиль, що iнтерферують, то це наводить на думку використати для пiдрахунку ймовiрностей хвильовий рецепт. Таким чином, для пояснення експерименту з електронами ми змушенi ввести величину, подiбну до амплiтуди хвиль на водi, i цим самим розширити саме поняття ймовiрностi. Отже, введемо,

36

взагалi кажучи, комплексну величину ψ, яку назвемо амплiтудою

ймовiрностi, так що сама ймовiрнiсть

w = |ψ|2

це i є трактування М. Борна фiзичного змiсту хвиль де Бройля. У зв’язку з цим величину ψ називають також хвильовою функцi-

єю. Замiсть класичного закону додавання ймовiрностей уведемо закон додавання амплiтуд iмовiрностей:

ψ= ψ1 + ψ2,

де ψ1 амплiтуда ймовiрностi того, що електрон потрапляє в детектор, проходячи щiлину 1, ψ2 амплiтуда ймовiрностi того, що

електрон потрапляє в детектор через щiлину 2. Квадрат модуля амплiтуди ψ дорiвнює

|ψ|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 + 2|ψ1||ψ2| cos δ,

де δ = δ1 − δ2 рiзниця фаз амплiтуд iмовiрностей

ψ1 = |ψ1|eiδ1 ,

ψ2 = |ψ2|eiδ2 .

Таким чином, повну ймовiрнiсть w визначає квантовомеханiчний

закон додавання ймовiрностей

w = w1 + w2 + 2√w1w2 cos δ.

Саме цю iнтерференцiйну криву ми i спостерiгаємо на експериментi.

Iнтерференцiйна картинка зникає, якщо вiдомо, крiзь який отвiр проходять електрони. Iнакше кажучи, якщо ми зможемо фiксувати, крiзь яку щiлину проходить кожен електрон, то iнтерференцiї хвиль де Бройля немає i ми дiстаємо класичний закон додавання ймовiрностей. Послiдовнi твердження однозначно приведуть нас до вiдсутностi iнтерференцiйної картинки, якщо ми приймемо, що електрон проходить крiзь певний отвiр. Тобто iнтерференцiя вiдбувається лише тодi, коли ми вiдмовимось ставити запитання: крiзь яку щiлину пройшов електрон. Лише в тому разi, коли ми надаємо електроновi можливiсть “вибрати” одночасно два шляхи, отримаємо iнтерференцiю. Весь парадокс у цьому i є, що електрон не розпадається на двi частини, на екранi електрон фiксується як одне цiле частинка, а крiзь отвори проходить

37

як хвиля. У цьому полягає змiст твердження про корпускулярнохвильовий дуалiзм частинок мiкросвiту, з яким людський розум змагається вiд початку виникнення квантової механiки, намагаючись замiнити його на щось зрозумiлiше2. Отже, така характеристика частинки, як координата, виникає “на запит” експериментатора, коли вiн ставить дослiд з локалiзацiї частинки, але при цьому зникає iнтерференцiйна картинка. Тобто до цього експерименту частинка не мала певного значення координати. Фiзики, що схильнi до фiлософських розмiрковувань, ставлять таке запитання: чи означає це, що така величина, як координата електрона, виникає лише завдяки його взаємодiї з приладом, який фiксує електрон, чи електрон потенцiйно має цю властивiсть, а експеримент лише уявнює її? У зв’язку з цим не так легко спростовувати твердження про те, що закон додавання амплiтуд iмовiрностей є лише незрозумiлим рецептом, за яким ми дослiджуємо Природу.

Ми щойно подали так звану копенгаґенську iнтерпретацiю, або трактування, квантової механiки. Назва пiшла вiд того, що значною мiрою її творив Нiльс Бор, який працював у Копенгаґенi. Великий внесок у творення цiєї iнтерпретацiї зробили i В. Гайзенберґ, М. Борн та iншi творцi квантової механiки, однак саме Н. Бор з його авторитетом i здатнiстю переконувати був найбiльшим її прихильником i захисником.

“Господь Бог не грає в костi” цей вислiв А. Айнштайна передає змiст так званої теорiї схованих параметрiв. Суть її полягає в тому, що ймовiрнiсть у квантовiй механiцi є наслiдком того, що нам не вдається врахувати всi незалежнi змiннi, якi описують квантовомеханiчний об’єкт. Наприклад, термодинамiчнi величини, такi, як тиск, температура та iншi, є усередненими значеннями величин, що залежать вiд iмпульсiв та координат молекул, так би мовити, схованих параметрiв, якi не можуть бути виявленi термодинамiчними методами. Або якщо ще раз звернутись до нашого першого дослiду з розсiяння класичних частинок, то такими схованими параметрами також є координати та iмпульси. Ми просто замiнили точний причинний опис через рiвняння Ньютона на ймовiрнiсний статистичний, не бажаючи розв’язувати цi рiвняння

2Це зачароване мiсце в квантовiй механiцi. I скiльки б ми не повертали-

ся до нього, щоб збагнути нашим класичним мисленням поведiнку частинок мiкросвiту, нас завжди чекатиме невдача, як i гоголiвського героя, що намагався затанцювати в такому “обманному” мiсцi (М. В. Гоголь. ”Зачароване мiсце” (1832 р.)).

38

iз щораз iншими початковими умовами при вилiтаннi частинок iз джерела та детально описувати профiль щiлин, на яких вiдбувається розсiяння.

Отже, можливо, що iснують схованi класичнi параметри, яких ми ще не можемо знайти i якi позбавлять нас необхiдностi оперувати ймовiрнiсною iнтерпретацiєю хвильової функцiї. Однак жоден дослiд до цього часу не виявив цих схованих параметрiв, не виявлено також жодного експериментального факту, який би суперечив основам квантової механiки. Вiдповiдь Н. Бора на вислiв А. Айнштайна в цьому контекстi вагома: “Не наша журба приписувати Богу, як йому слiд керувати цим свiтом”.

Доведення вiдсутностi схованих параметрiв та внутрiшньої несуперечностi квантової механiки належить Йогановi фон Нейману (1932 р.): введення схованих параметрiв неможливе без радикальних змiн основ квантової механiки. Однак це доведення ґрунтується на припущеннi, що не дозволяє говорити про його задовiльний рiвень строгостi3. Пiзнiше ми ще повернемось до детального обговорення цього питання на основi так званих нерiвностей Белла, виведених iз припущення iснування схованих параметрiв. Квантовомеханiчнi рецепти розрахунку фiзичних величин суперечать цим нерiвностям, що вказує на внутрiшню несуперечливiсть квантової механiки. На наш погляд, дифракцiя електронiв на кристалах є прямим експериментальним доказом вiдсутностi схованих параметрiв. Якщо “пристрiй” зi схованих параметрiв визначає, у яку точку на екранi потрапить частинка в нашому дифракцiйному дослiдi, то звiдки вiн знає, чи закрили ми один з отворiв, чи нi? Хоча вiдповiдь на запитання можна шукати в першiй версiї теорiї схованих параметрiв, яку подав сам Луї де Бройль у 1925 роцi введенням поняття “хвилi-пiлота”, що зв’язана iз частинкою i вiдповiдає за її рух. Пiзнiше цю iдею розвинув Д. Бом (1917– 1992). За такою iнтерпретацiєю квантової механiки, вимiрювання координат частинки спотворює хвилю-пiлота в її оточеннi i тим самим знищує iнформацiю про частинку. Особливiстю цiєї теорiї є її нелокальнiсть вимiрювання спотворює хвилю, яка з означення є нелокальною, хоча частинка може бути точно злокалiзована. Слабкiстю такого пiдходу є те, що природа й механiзм зв’язку частинки з її хвилею-пiлотом залишаються загадковими. А крiм

3На це ще в 1935 р. звернула увагу Ґрете Герман, що, однак, не бралося до

уваги аж до 1966 р., коли його детально дослiдив iрландський фiзик Джон Белл. За його словами, це доведення є “смiшною помилкою фон Неймана”.

39

того, частинка фактично є неспостережною, оскiльки експериментатор не має до неї прямого доступу, завжди “наштовхуючись” на хвилю-пiлота. Теорiя схованих параметрiв це ще одна спроба нашого мислення збагнути явища мiкросвiту через звичнi нам поняття макроскопiчного рiвня з його класичним лапласiвським детермiнiзмом (див. Вiдступ 1 наприкiнцi параграфа)4.

Поставимо собi питання, якi не прийнято ставити: а чому саме ми спостерiгаємо такi подiї, а не iншi? Чому саме такий рецепт дослiдження цих подiй є в наших руках, а не iнший? Вiдповiдь на цi питання можна шукати i в так званому антропному принципi, суть якого можна сформулювати так: ми є свiдками цих подiй тому, що iншi подiї вiдбуваються без свiдкiв. Спробуємо пояснити. Природа запропонувала користуватись амплiтудою ймовiрностi з тим, щоб пiдсилювати ефекти поодиноких атомних подiй за допомогою iнтерференцiйного ефекту до рiвня, доступного “спостереженню” великими макроскопiчними системами. Пiд “спостереженням” ми розумiємо той необхiдний зв’язок мiж мiкросвiтом та макросвiтом, що забезпечує життєдiяльнiсть великих систем, зокрема й нас з вами. Можливо, в iнших Свiтах цього зв’язку немає, а тому немає i таких спостерiгачiв, як ми з вами. Пiдкреслимо, що цей iнтерференцiйний спосiб пiдсилення є найпростiшим i найекономнiшим. Пiдсилення при iнтерференцiї вiдбувається без додаткових витрат, лише внаслiдок перерозподiлу, наприклад, енерґiї, коли з усього спектра її можливих значень енерґiя концентрується в певнiй вузькiй дiлянцi з виразно збiльшеною спектральною густиною, яка перевищує порiг чутливостi спостерiгача (див. рис. 5).

Те ж саме вiдбувається при iнтерференцiї хвиль де Бройля. Природа й тут пiшла найпростiшим шляхом. Цiкаво, що цю арифметику, яку Природа вибрала для пiдрахунку ймовiрностi в мiкросвiтi, вона використовує й в макросвiтi для обчислень довжин суми векторних величин. Ми давно, ще зi шкiльних часiв, знаємо “паралелограм сил” i чомусь менше дивуємось. Справдi, вираз для квантовомеханiчного закону додавання ймовiрностей є нiчим iншим, як теоремою косинусiв. Якщо ми маємо два вектори a

4Тут напрошуються слова:

Ти, розуме-бистроуме, Порви пута вiковiї,

Що скували думку людську! (Iван Франко, 1880 р.)

40