Вакарчук І.О. Квантова механіка

Зiставлення цiєї формули з iнтерполяцiйним виразом для ентропiї дає a = h, а елемент (квант) енерґiї електромагнiтного випромi-

нювання

ε= hν

знаменита формула Планка, яку так само, як i айнштайнiвську E = mc2, знає “будь-хто”, h стала Планка.

Надалi, як правило, ми будемо користуватись циклiчною частотою ω = 2πν i сталою Планка ~ = h/2π = 1.054571726(±47) · 10−27 г ·см2/сек однiєю з унiверсальних фундаментальних фiзичних констант (таких, як швидкiсть свiтла c, ґравiтацiйна стала

G, заряд електрона e), що має розмiрнiсть дiї i є елементарним

квантом дiї6, так що квант енерґiї

ε = ~ω.

Тепер остаточно для спектральної густини енерґiї випромiнювання абсолютно чорного тiла отримуємо вираз:

Повну енерґiю поля на одиницю об’єму одержуємо звiдси iнтеґруванням за всiма частотами, що приводить до закону Стефана– Больцмана.

Як видно, шлях М. Планка до його вiдкриття складається i з генiальних здогадок, i з вимушених крокiв. Щасливий вибiр ентропiйного пiдходу до вирiшення проблеми абсолютно чорного тiла, далi використання саме другої похiдної вiд ентропiї, яка виявилась дуже простою на вигляд, щаслива здогадка її iнтерполяцiї з використанням формули Вiна та експериментальних вимiрiв при низьких частотах, смiливiсть у використаннi формули Больцмана для ентропiї з генiальною здогадкою “факторiального” моделювання кiлькостi станiв i вже справдi вимушенi кроки до дискретностi енерґiї електромагнiтного випромiнювання такий шлях Макса Планка до свого фундаментального вiдкриття елементарного кванта дiї.

6М. Планк за вiдкриття кванта дiї став у 1918 роцi лауреатом Нобелiвської

премiї.

21

Нова теорiя вимагала пiдтверджень. Виходячи зi своєї формули i використовуючи експериментальнi данi про теплове випромiнювання, М. Планк знайшов з високою на той час точнiстю 4%

величину елементарного заряду (визначивши з експериментальних вимiрювань сталу Больцмана kB, з газової сталої R = kBNAчисло Авоґадро NA та з числа Фарадея F = eNA величину елементарного заряду e). Гiпотеза квантiв уже давала першi

результати.

Отже, день 14 грудня 1900 року можна вважати днем народження квантової теорiї.

У 1905 роцi А. Айнштайн (1879–1955), який працював тодi експертом у патентному бюро в Бернi, використав гiпотезу Планка для пояснення фотоефекту. Явище фотоефекту вiдкрив (випадково) нiмецький фiзик Г. Герц у 1887 роцi. Першi дослiдження цього явища виконав росiйський фiзик О. Г. Столєтов у 1888 роцi, а згодом нiмецький фiзик Ф. Ленард (1899 р.). А. Айнштайн чiтко вказав на те, що квантування енерґiї свiтла вiдбувається не тiльки в актах поглинання та випромiнювання свiтла чорним тiлом, а й що квантовi властивостi притаманнi свiтлу як такому. Отже, фактично було введено поняття фотона як кванта електромагнiтного поля, хоча сама назва “фотон” виникла значно пiзнiше, її ввiв у 1926 роцi американський фiзико-хiмiк Г. Н. Льюїс.

Формулу Айнштайна

~ω = A + mv2/2,

ω частота падаючого свiтла, A робота виходу електрона з металу, m маса електрона, v його швидкiсть, ретельно пере-

вiрив експериментально американський фiзик Р. Мiллiкен у 1912 роцi7.

У 1907 роцi А. Айнштайн застосував гiпотезу квантiв до опису коливань атомiв твердого тiла i пояснення низькотемпературної поведiнки теплоємностi. Уважаючи, що всi N атомiв коливаються з частотою ω0, для повної енерґiї тiла з урахуванням (3N − 6)

7У 1921 роцi А. Айнштайн був нагороджений Нобелiвською премiєю за

важливi фiзико-математичнi дослiдження, особливо за вiдкриття законiв фотоелектричного ефекту. За дослiдження в галузi фiзики елементарних зарядiв та фотоелектричного ефекту Р. Мiллiкеновi була присуджена Нобелiвська премiя в 1923 роцi.

22

При низьких температурах, T → 0, CV → 0, вiдповiдно до спо-

стережень. Однак прямування теплоємностi до нуля, згiдно з дослiдами, є степеневим. Недолiк цiєї теорiї виправили пiзнiше, у 1912 роцi, П. Дебай (1884–1966), а також М. Борн (1882–1970) i Т. Карман (1881–1963), розглядаючи, на вiдмiну вiд Айнштайна, коливання атомiв як систему зв’язаних осциляторiв iз частотами ωj, розподiленими вiд нульового значення до деякого максималь-

ного:

або

Z ∞ ~ω

E = ρ(ω)e~ω/T − 1 dω,

0

де густина станiв ρ(ω) = 9(N − 2)ω2/ωD3 вiдмiнна вiд нуля для частот 0 ≤ ω ≤ ωD, а гранична частота Дебая ωD є фiзичним

параметром речовини. Теплоємнiсть при низьких температурах прямує до нуля за “законом кубiв”, CV T 3, що чудово узгоджу-

ється з дослiдом.

У 1913 роцi Нiльс Бор (1885–1962), який тодi працював у Манчестерському унiверситетi в Е. Резерфорда (1871–1937), застосував квантову гiпотезу до моделi атома E. Резерфорда й побудував квантову теорiю атома, сформулювавши свої постулати:

1◦. Електрони в атомi рухаються по стацiонарних орбiтах.

2◦. Випромiнювання або поглинання свiтла атомом вiдбувається

при переходi електрона з однiєї стацiонарної орбiти на iншу, згiдно з законом збереження енерґiї

~ωn′n = En′ − En.

23

Рiвнi енерґiї атома En визначаються з класичних рiвнянь для пов-

ної енерґiї

E = −Ze2 ,

2a

третього закону Кеплера

ω2a3 = Ze2

m

та умов квантування, згiдно з гiпотезою Планка,

Z|e| заряд ядра, ω частота обертання електрона навколо ядра, a велика пiввiсь елiптичної орбiти, m маса електрона.

Слiд зауважити, що Н. Бор для узгодження своєї теорiї з дослiдними вимiрюваннями змушений був в умовах квантування для повної енерґiї поставити половинну частоту ω/2, а не ω. У резуль-

татi

Z2e2 En = −2aBn2 ,

де

радiус Бора, i з другого постулату дiстаємо правило частот

де R = Z2me4/2~3 стала Рiдберґа–Рiтца. Це правило емпiрично

встановив ще в 1885 роцi Й. Бальмер для n = 2. Пiзнiше, у 1907 ро-

цi, В. Рiтц сформулював цей комбiнацiйний принцип частот, який названо його iменем.

Як наслiдок iз теорiї Бора випливає, що момент кiлькостi руху L квантується:

Пiзнiше саме цей факт, а не квантування енерґiї з половинною частотою, Н. Бор узяв за основу так звана умова квантування

24

Бора8. Протягом 1913–1916 рокiв умови квантування, сформульованi Бором для моменту iмпульсу, були узагальненi ним, а також П. Дебаєм (1913 р.), В. Вiльсоном (1915 р.), А. Зоммерфельдом (1916 р.) для системи з декiлькома ступенями вiльностi: об’єм, обмежений траєкторiєю у фазовому просторi, мiстить цiле число елементарних квантiв дiї h = 2π~:

i = 1, . . . , s, де s число ступенiв вiльностi; qi, pi канонiчно

спряженi координати та iмпульси. Цю умову, вiдому як правило квантування Бора–Зоммерфельда, застосовували до багатоелектронних атомiв, до атомiв в електричному та магнiтному полях, для врахування релятивiстських ефектiв (формула Зоммерфельда для тонкої структури спектра атома водню).

Однак ця, як її називають, “стара” квантова механiка не могла пояснити спектральних закономiрностей багатоелектронних атомiв i навiть найпростiшого з них атома гелiю; залишались без пояснень iнтенсивностi спектральних лiнiй атомiв. Вiдчувалось, що потрiбна нова квантова теорiя, i вже з цих позицiй Н. Бор сформулював принцип вiдповiдностi, згiдно з яким у границi великих, макроскопiчних траєкторiй частинок квантова механiка повинна переходити у класичну механiку. Цей принцип був ключем до “вгадування” квантових формул.

Поштовхом до створення нової квантової механiки стала iдея молодого французького фiзика Луї де Бройля (1892–1987). У 1923–1924 роках вiн висунув припущення, що формула Планка, доповнена формулою для iмпульсу

p= 2π~/λ,

λдовжина хвилi випромiнювання, яка властива для квантiв свiтла, повинна виконуватись для всiх частинок, зокрема i для електронiв. Якщо свiтло виявляє корпускулярнi властивостi в такому явищi як фотоефект, то мусить iснувати симетрiя, i частинки типу електрона мають виявляти хвильовi властивостi, тобто з частинкою пов’язується хвиля (хвиля де Бройля); в одновимiрному

8Н. Бор лауреат Нобелiвської премiї 1922 року за заслуги у вивченнi

будови атома.

25

випадку це хвиля

ψ(x, t) ei(kx−ωt),

де частота ω = E/~, E енерґiя частинки, а хвильовий вектор k = p/~. Змiст цiєї функцiї ψ(x, t) був з’ясований пiзнiше, нара-

зi йшлося лише про зiставлення з частинкою деякого хвильового процесу.

У цiй iнтерпретацiї умова квантування Бора зводиться до того, що на орбiтi електрона в атомi вкладається цiле число хвиль де Бройля. Для колової орбiти радiуса a (коли λ не залежить вiд

координат):

L = ap = a2πλ~ = n~,

тобто

2πa

λ = n.

Тодi припущення де Бройля багато фiзикiв сприймало як абсурд. У 1925 роцi А. Айнштайн порадив М. Борновi прочитати дисертацiю де Бройля, зауваживши при цьому: “Прочитайте її. Хоч i видається, що її писав несповна розуму, написана вона солiдно!”9 Улiтку 1925 року професор Е. Шрединґер (1887–1961) з Цюрихського унiверситету ознайомився з гiпотезою де Бройля. Перевiвши цi iдеї на “зручну” математичну мову, вiн винайшов фундаментальне рiвняння сучасної фiзики хвильове рiвняння Шрединґера (1926 р.). Є спогади П. Дебая, що це вiн запропонував Е. Шрединґеровi, який працював у нього на кафедрi, доповiсти на семiнарi роботу де Бройля. Шрединґер, який, як i бiльшiсть фiзикiв, негативно ставився до iдеї де Бройля, доповiв цю роботу лише пiсля того, як Дебай наполiг на своєму. Готуючись до цього

семiнару, Шрединґер i винайшов своє рiвняння.

Хвиля де Бройля ψ = ψ(x, t) повинна задовольняти хвильове

рiвняння (одновимiрний випадок)

(ω = kv, v фазова швидкiсть), одночасно задовольняючи спiввiдношення для енерґiї E = ~ω та iмпульсу p = ~k частинки.

9У 1929 роцi Луї де Бройль отримав Нобелiвську премiю за вiдкриття

хвильової природи електрона.

26

З урахуванням виразу для повної енерґiї частинки

E = p2 + U(x),

2m

де U(x) потенцiальна енерґiя частинки, Шрединґер i записав

своє славнозвiсне рiвняння10

основне рiвняння квантової теорiї, яке, за висловом американського фiзика Р. Фейнмана, “описує i жаб, i композиторiв”.

Iнтерпретацiю фундаментальної величини цiєї теорiї, хвильової функцiї ψ(x, t) як амплiтуди ймовiрностi, дав у 1926 роцi

Макс Борн11. Експериментально хвильовi властивостi мiкрочастинок уперше виявили в дослiдах з дифракцiї електронiв на кристалах у 1927 роцi К. Девiссон i Л. Джермер у Нью-Йорку та Г. П. Томсон в Абердiнi (Шотландiя)12, хоча вказiвки на хвильовi властивостi частинок давали вимiрювання перерiзу розсiяння електронiв на газах, якi виконав К. Рамзауер ще в 1921 роцi.

Так була створена хвильова квантова механiка. Цiкаво, що спочатку в груднi 1925 року Е. Шрединґер знайшов релятивiстське рiвняння, яке, однак, не давало правильної формули тонкої структури водневих лiнiй. Лише в сiчнi 1926 року вiн розробив нерелятивiстське наближення. Вiдзначимо, мiж iншим, що в 1918 роцi в Е. Шрединґера виникла можливiсть зайняти посаду професора кафедри теоретичної фiзики в унiверситетi в Чернiвцях; перешкодив цим планам розпад Австро-Угорської iмперiї.

Народження нової квантової механiки почалося з iншого її варiанта i дещо ранiше з роботи нiмецького фiзика-теоретика Вернера Гайзенберґа (1901–1976), яку вiн написав у червнi 1925 року. Гайзенберґ уважав, що розумно вiдмовитись вiд неспостережувальних величин (типу координат та перiоду обертання електрона) i побудувати механiку, в якiй були б спiввiдношення лише мiж спостережувальними величинами (типу частот переходу

10Нобелiвська премiя 1933 року за вiдкриття нових форм атомної теорiї була присуджена Е. Шрединґеровi та П. А. М. Дiраковi.

11Нобелiвська премiя 1954 року за роботи з квантової механiки.

12K. Девiссон i Г. П. Томсон подiлили Нобелiвську премiю 1937 року за вiдкриття дифракцiї електронiв.

27

мiж квантовими станами, iнтенсивностi випромiнювання при цьому переходi i т. п.). Вiн побудував таку формальну схему квантової механiки, у якiй, замiсть координати q та iмпульсу p електрона, фiгурували деякi абстрактнi алґебраїчнi об’єкти qmn та pmn, для

яких не виконуються правила комутативностi при множеннi. Професор М. Борн, якому В. Гайзенберґ надiслав свiй рукопис, розпiзнав у цих правилах множення правила для вiдомих у математицi матриць, i разом з П. Йорданом вони показали, що матрицi qˆ та pˆ

задовольняють переставне спiввiдношення

qˆpˆ − pˆqˆ = i~,

яке є новим правилом квантування, i створили те, що має тепер назву матричної квантової механiки13.

Еквiвалентнiсть двох квантових механiк, матричної i хвильової, довiв Е. Шрединґер (1926 р.). Ще до створення хвильової механiки пiсля вiдкриття матричної квантової механiки М. Борн, В. Гайзенберґ i П. Йордан, натрапляючи на труднощi з матричним численням, звернулись до видатного нiмецького математика Д. Гiльберта (1862–1943). Великий математик, який жваво цiкавився новими iдеями фiзикiв (зокрема, вiн дещо ранiше за А. Айнштайна винайшов рiвняння руху ґравiтацiйного поля в загальнiй теорiї вiдносностi, вiдомi як рiвняння Айнштайна– Гiльберта), вiдповiв їм, що завжди, коли йому доводилося мати справу з матрицями, вони виникали при знаходженнi власних значень у крайових задачах для диференцiальних рiвнянь. Гiльберт i порадив їм пошукати диференцiальне рiвняння, пов’язане з цими матрицями, i можливо, знайдеться щось нове. Однак цю iдею фiзики не сприйняли, вважаючи її несерйозною, i Гiльберт пiзнiше кепкував з них саме це рiвняння знайшов Шрединґер.

У1926 роцi М. Борн, Н. Вiнер, П. А. М. Дiрак, Г. Вейль сформулювали принцип, згiдно з яким кожнiй фiзичнiй величинi ставиться у вiдповiднiсть оператор. Як з’ясувалось пiзнiше, таке зiставлення не є простою процедурою, i питання однозначностi “приписування” фiзичним величинам операторiв дискутується досi.

У1927 роцi В. Гайзенберґ вiдкрив спiввiдношення невизначеностей для середньоквадратичних вiдхилень канонiчно спряже-

13За створення квантової механiки в матричнiй формi В. Гайзенберґ наго-

роджений у 1932 роцi Нобелiвською премiєю.

28

них координати q та iмпульсу p:

h(Δq)2i h(Δp)2i ≥ ~2/4.

Iнтерпретацiя гайзенберґiвського принципу невизначеностi та фiзичний змiст хвильової функцiї як амплiтуди ймовiрностей були предметом дискусiй на багатьох фiзичних конґресах. Наша логiка, що ґрунтується на повсякденному досвiдi макроскопiчного свiту,

єкласичною з її твердженнями “так” або “нi”, вона не допускає того, що ми називаємо дифракцiєю електронiв, i це привело до формулювання багатьох парадоксiв: парадокс де Бройля, парадокс iз живомертвим котом Шрединґера, парадокс Айнштайна– Подольського–Розена (1935), якi були предметом вiдомих дискусiй “двобою” Н. Бора й А. Айнштайна. Одним iз результатiв цих дискусiй є принцип доповнювальностi Бора (1927 р.): вимiрювання iмпульсно-енерґетичних та просторово-часових характеристик

євзаємодоповнювальними в описi квантового об’єкта. Завершився етап створення квантової теорiї вiдкриттям реля-

тивiстського хвильового рiвняння для електрона, яке зробив англiйський фiзик-теоретик П. А. М. Дiрак (1902–1984) в 1928 роцi. На ту пору було вiдоме релятивiстське квантове рiвняння, яке тепер називають рiвнянням Кляйна–Ґордона–Фока, хоча вперше, як уже вказувалось, його запропонував Шрединґер. Воно не влаштовувало Дiрака з двох причин. По-перше, хвильова функцiя в цiй теорiї дає густину ймовiрностi, що може набувати вiд’ємних значень. По-друге, у це рiвняння входять другi похiднi за часом, i тому стан системи задається не лише хвильовою функцiєю, а i її першою похiдною за часом, що суперечить загальним принципам квантової механiки. У зв’язку з цим Дiрака дивував той факт, що багатьох фiзикiв, у тому числi й Бора, до якого вiн звертався, влаштовувало це рiвняння.

Несуперечливе об’єднання основних принципiв квантової теорiї й релятивiстської механiки Дiрак здiйснив несподiваним способом добування кореня квадратного й отримав своє знамените рiвняння для електрона. З цього рiвняння П. Дiрак винайшов “на паперi” позитрон, який вiдкрив експериментально американський фiзик К. Андерсон у 1932 роцi.

Пiзнiший перiод розвитку квантової теорiї можна назвати “калькуляцiйним”. Тисячi наукових праць були присвяченi дослiдженню рiзноманiтних фiзичних явищ iз розрахунками на основi фундаментальних рiвнянь квантової механiки фiзичних величин,

29