Вакарчук І.О. Квантова механіка

ПЕРЕДМОВА ДО ПЕРШОГО ВИДАННЯ

Пропонований увазi Читача пiдручник з квантової механiки написаний на основi курсу лекцiй, якi автор читає упродовж багатьох рокiв студентам фiзичного факультету Львiвського державного унiверситету iменi Iвана Франка. Вiн вiдповiдає унiверситетськiй програмi курсу квантової механiки.

Вступна частина присвячена короткому iсторичному нарисовi створення квантової механiки. На мiй погляд, цi знання є важливою частиною загальної культури фiзика. Решта глав присвячена головнiй метi систематичному викладу фiзичних основ i математичного апарату квантової механiки та її застосуванню до багатьох задач. У пiдручнику є подекуди надто детальнi викладки як показує досвiд, студенти часом потребують для глибшого розумiння матерiалу саме цих, розписаних до дрiбниць, деталей. Прошу не дратуватись тих читачiв, для яких цi мiсця є очевидними. А взагалi, я намагався викласти матерiал достатньо прозоро, адже мова йде про лекцiї для студентiв III–IV курсiв, а не про монографiю, читачам якої, можливо, i справдi легше зробити деякi перетворення самим, нiж простежити за викладками автора. Власне тому, що це лекцiї, формули не нумерувалися, а деколи повторювалися з тим, щоб не втомлювати читача безперервними вiдсиланнями до попереднiх виразiв це також не сприяє засвоєнню матерiалу. Крiм того, з тих же мiркувань у текстi немає покликiв, за поодинокими винятками, на iншi пiдручники: їх перелiк подано наприкiнцi книжки. Усi цi пiдручники й монографiї мають свої переваги й недолiки, але вони добре написанi, й з них училось не одне поколiння фiзикiв. Особливо рекомендую звертатись до пiдручникiв, якi написали вченi, що творили квантову механiку та зробили свiй внесок у її розвиток. Така iнформацiя “з перших рук” дає змогу простежити за тим, як саме здiйснювалось таїнство творення квантової фiзики.

У книжцi є багато прикладiв, якi iлюструють основний матерiал i допомагають краще розкрити його змiст. Часом цi простi,

11

ВСТУП

Iсторичний нарис створення квантової теорiї

Квантова механiка є теорiєю атомних явищ, що вивчає закономiрностi мiкросвiту i встановлює закони руху елементарних частинок, атомних ядер, атомiв, молекул та їх сукупностей. Закони квантової механiки також дали змогу з’ясувати будову атомiв i атомних ядер, природу хiмiчного зв’язку, пояснити перiодичну систему елементiв; вони є основою для вивчення i макроскопiчних тiл як системи взаємодiючих частинок (метали, дiелектрики, напiвпровiдники, квантовi рiдини, плазма). Лише квантова механiка дала пояснення таким явищам, як феромагнетизм, надплиннiсть, надпровiднiсть. Вона теж є основою i при вивченнi на молекулярному рiвнi явищ у бiологiї. Астрофiзика, яка вивчає будову й еволюцiю зiр i Всесвiту, сьогоднi не може обходитись без квантовомеханiчного опису фiзичних процесiв, якi там вiдбуваються. Щобiльше, астрофiзичнi об’єкти є своєрiдною експериментальною лабораторiєю, у якiй “перевiряються” сучаснi гiпотези й теоретичнi розробки квантової теорiї. Останнiм часом з’явились “новi територiї”. На перетинi квантової фiзики i математики виникли такi мiждисциплiнарнi науки, як теорiя квантових комп’ютерiв i квантова криптографiя, експериментально реалiзовано явище квантової телепортацiї. На сучасному рiвнi розвитку людського пiзнання квантова механiка значною мiрою визначає наш науковий свiтогляд i наше розумiння Природи.

Виникла квантова механiка на початку XX столiття. 14 грудня 1900 року на засiданнi Нiмецького фiзичного товариства професор теоретичної фiзики Берлiнського унiверситету Макс Планк (1858–1947) представив результати своєї роботи з доведення на основi мiкроскопiчного пiдходу формули для спектральної густини енерґiї випромiнювання абсолютно чорного тiла, яку вiн два мiсяцi тому “вгадав”, виходячи з деяких теоретичних мiркувань та iнтерполюючи експериментальнi данi, що були на той час.

13

Зважаючи на виняткову важливiсть цього евристичного моменту, наведемо тут мiркування М. Планка. Але перш нiж це зробити, пригадаймо кiлька важливих крокiв у розв’язаннi проблеми рiвноважного електромагнiтного випромiнювання тiла, нагрiтого до температури T , зроблених до Планка.

Моделлю такої рiвноважної системи є замкнена порожнина, стiнки якої мають сталу температуру T , цю ж температуру має i випромiнювання, що є всерединi. Для того, щоб спостерiгати це випромiнювання, потрiбно зробити невеличкий отвiр у стiнцi, що охоплює порожнину, через який воно буде виходити. Зовнiшнє випромiнювання, що падає на отвiр, не вiдбивається, а проходить всередину i залишається там, тобто стовiдсотково поглинається. А оскiльки абсолютно поглинаючу поверхню називаємо чорною, то й випромiнювання, що виходить через цей отвiр, називають “чорним” або випромiнюванням абсолютно чорного тiла.

Ґустав Кiрхгоф (1824–1887) вивiв закони, названi його iменем, i показав, що енерґiя E рiвноважного випромiнювання абсолютно чорного тiла є унiверсальною функцiєю температури T . Йозеф

Стефан (1835–1893) емпiрично, а Людвiґ Больцман теоретично довели, що енерґiя на одиницю об’єму пропорцiйна четвертому степеню температури. Зiбрану з усiх частот повну густину енерґiї можна записати так:

де V об’єм системи, а величину uν (T ) називають спектральною

густиною енерґiї. Саме її i потрiбно було знайти.

Вiльгельм Вiн (1864–1928) за допомогою ориґiнального уявного експерименту з дослiдження змiни, завдяки ефекту Допплера, спектра випромiнювання, яке вiдбивається вiд рухомого дзеркала, показав (1893), що спектральна густина енерґiї, подiлена на ν3, є функцiєю вiдношення ν/T . Цей так званий закон змiщення Вiна є точним1. Назва пiшла вiд того, що функцiя uν (T ) має максимум у деякiй точцi ν/T = const; iз збiльшенням температури вiн змiщується на частотнiй шкалi до бiльших значень ν. Пiзнiше, 1896 р.,

на основi молекулярнокiнетичної теорiї В. Вiн з “напiвсерйозних”

1Читачам, яких цiкавлять деталi виведення цього закону та закону

Стефана–Больцмана, пропонуємо заглянути, наприклад, на сторiнку 458 книжки М. Борна “Атомная физика”, М.: Мир, 1965.

14

мiркувань запропонував явний вигляд спектральної густини енерґiї теплового випромiнювання2:

uν (T ) = const ν3e−aν/T ,

a унiверсальна стала. За словами лорда Джона Релея (1842

1919), “це було не доведення, а не бiльше нiж здогадка”.

М. Планк почав свої дослiдження цiєї проблеми з моделювання випромiнювання абсолютно чорного тiла сукупнiстю гармонiчних осциляторiв i показав, що

8πν2 uν (T ) = c3 U,

де U середня енерґiя окремо взятого осцилятора, c швидкiсть

свiтла. Звiдси та з формули Вiна випливає, що

U = hν e−aν/T ,

h друга унiверсальна стала.

Макс Планк увiв гiпотезу про електромагнiтну ентропiю, а саме: у зв’язку з тим, що поле випромiнювання є накладанням коливань з рiзними нереґулярно змiнними (випадковими) фазами, то можна говорити про певний безлад, а отже, про ентропiю й температуру. Застосуймо перший принцип термодинамiки до системи лiнiйних гармонiчних осциляторiв, якi моделюють електромагнiтне поле:

dU = T dS − P dV,

тут V об’єм, у якому локалiзоване поле, P тиск; середню енерґiю U та ентропiю S беремо з розрахунку на один осцилятор, температуру T вимiрюємо в енерґетичних одиницях (перехiд до шкали Кельвiна здiйснюється замiною T на kBT , де kB стала

Больцмана).

Нехай V = const, тодi

dUdS = T1 .

21911 року за вiдкриття законiв теплового випромiнювання В. Вiна наго-

роджено Нобелiвською премiєю.

15

З формули для середньої енерґiї осцилятора знаходимо

ln hνU = −aνT ,

i отже, перша похiдна вiд ентропiї

dUdS = −aν1 ln hνU .

Друга похiдна вiд ентропiї за енерґiєю має дуже простий вигляд:

d2S = − 1 . dU2 aνU

М. Планк звернув на це увагу ще й тому, що обернена величина, узята зi знаком “мiнус”, має прозорий фiзичний змiст: вона дорiвнює теплоємностi, помноженiй на квадрат температури. Саме тому М. Планк працював iз другою похiдною вiд ентропiї3. Спочатку Планк вважав, що формула В. Вiна для спектральної густини енерґiї є точною. Точним вiн уважав i вираз для ентропiї, яку знайшов, iнтеґруючи рiвняння для першої похiдної вiд ентропiї за енерґiєю:

S = −aνU ln ehνU ,

де e основа натуральних логарифмiв.

Однак у 1899 р. Отто Люммер (1860–1925) i Ернст Прiнґсгайм (1859–1917) представили результати вимiрювань у дiлянцi великих довжин хвиль (ν → 0), якi суперечили формулi В. Вiна

для густини енерґiї теплового випромiнювання. Отже, виявилось, що формула Вiна працює лише в дiлянцi великих частот, i детальна експериментальна перевiрка цього факту набула принципового значення для розумiння природи теплового випромiнювання.

3М. Планк узагалi любив, так би мовити, “ентропiйну мову”. Iз цим по-

няттям пов’язанi його першi кроки в науцi. Вiн дослiджував ентропiю як термодинамiчну функцiю i у своїй докторськiй дисертацiї, ефект вiд якої, за його ж словами, дорiвнював нулевi. Це пов’язано з тим, що поняття ентропiї було новим i не дуже зрозумiлим. Однак виявилось, що саме завдяки поняттю ентропiї дорога до вiдкриття точної формули для спектральної густини енерґiї абсолютно чорного тiла була найпростiшою.

16

У п’ятницю 19 жовтня 1900 р. на засiданнi Нiмецького фiзичного товариства Ф. Курльбаум повiдомив про результати вимiрювання енерґiї випромiнювання на дiлянцi дуже великих довжин хвиль, якi вiн виконав разом з Г. Рубенсом. Цi експериментальнi результати заперечили справедливiсть формули Вiна, виявилось,

що uν (T ) T при ν → 0.

Пiсля повiдомлення Ф. Курльбаума на цьому ж засiданнi виступив М. Планк, який, використавши цi експериментальнi результати, запропонував свою формулу для спектральної густини енерґiї теплового випромiнювання абсолютно чорного тiла4.

Отже, як випливає з формули Планка, яка зв’язує uν (T ) та

середню енерґiю одного осцилятора при низьких частотах, маємо

U = CT,

8πν2

uν (T ) = c3 CT,

де C стала величина5. Тепер з першого закону термодинамiки

маємо

Знайденi два вирази для другої похiдної вiд ентропiї за енерґiєю, якi справедливi в границi високих та низьких частот,

4Генрiх Рубенс (1865–1922) був близьким товаришем Макса Планка, який

дуже високо цiнував свою спiвпрацю з ним. Зi спогадiв Планка: “Тому що менi цей результат став вiдомим завдяки усному повiдомленню авторiв уже за декiлька днiв до засiдання, то я мав час ще перед засiданням використати їхнi висновки в моєму методi та обчислити ентропiю.”

5Це спiввдношення вiдоме як закон Релея–Джинса. Вiн є наслiдком те-

ореми класичної статистичної механiки про рiвномiрний розподiл енерґiї за ступенями вiльностi: для системи осциляторiв на кожне коливання припадає середня енерґiя величиною T . Цей точний у межах класичної фiзики вираз для uν (T ) при великих частотах зростає як ν2 (усупереч здоровому глузду), i як наслiдок, повна енерґiя E розбiгається (“ультрафiолетова катастрофа”),

що iлюструє принципову неспроможнiсть класичної теорiї пояснити закони рiвноважного випромiнювання.

17

М. Планк вирiшив об’єднати однiєю простою iнтерполяцiйною формулою:

Справдi, для ν → 0 домiнуючим є другий доданок у правiй ча-

стинi цього рiвняння, i ми отримуємо попередню формулу, а для великих частот другий доданок стає несуттєвим, i ми повертаємось до формули, яку дає закон В. Вiна. Iнтерполяцiйна формула, яку запропонував Планк, як кажуть, перше, що приходить до голови. Це i був той евристичний момент у мiркуваннях Планка, який привiв до глибоких перетворень у науцi, що принесла з собою квантова фiзика. Воiстину все генiальне просте. Дивує те, що Планк працював саме з другою похiдною, для якої граничнi випадки мають дуже простий вигляд. Це й дало змогу об’єднати їх.

Перепишiмо вираз для другої похiдної так:

Iнтеґруючи цей вираз, отримуємо

Беручи до уваги, що U → ∞ при T → ∞, знаходимо const = 0.

Звiдси остаточно

hν

U = eaν/T − 1.

Тут ураховано, що при великих частотах цей вираз повинен переходити у формулу, яку отримуємо iз закону Вiна, i тому C = h/a.

Тепер для спектральної густини енерґiї одержуємо знамениту формулу Планка:

18

Наведемо слова М. Планка з доповiдi 19 жовтня 1900 року: “Ця формула, наскiльки я знаю, вiдповiдає експериментальним даним, якi опублiкованi дотепер... Тому я вважаю за можливе звернути Вашу увагу на наведену нову формулу, яка, як на мене, є найпростiшою (окрiм формули Вiна), з погляду електромагнiтної теорiї випромiнювання.”

Як бачимо, фактично ця формула справдi вгадана. Це була iнтерполяцiйна формула, одна з багатьох iснуючих на той час i одна з найпростiших, що добре описувала експериментальну залежнiсть спектральної густини енерґiї випромiнювання абсолютно чорного тiла вiд частоти, яку М. Планк навiв у своїй доповiдi Нiмецькому фiзичному товариству.

Макс Планк настiльки повiрив у свою формулу, що вирiшив довести її з мiкроскопiчних мiркувань. Працюючи протягом майже двох мiсяцiв, вiн, скориставшись iдеєю Л. Больцмана про пропорцiйнiсть ентропiї S до логарифма вiд кiлькостi станiв, одно-

значно показав, що для її теоретичного обґрунтування необхiдно припустити, що свiтло поглинається й випромiнюється дискретними порцiями квантами, енерґiя яких пропорцiйна до частоти випромiнювання. Вiн знову пiшов “ентропiйною дорогою” i вирiшив винайти з мiкроскопiчних мiркувань вираз для ентропiї, що отримується з його iнтерполяцiйної формули, простим iнтеґруванням за енерґiєю U:

З iншого боку, за Больцманом, повна ентропiя дорiвнює ln W , де W кiлькiсть рiзних можливих мiкроскопiчних станiв термоди-

намiчної системи. Мабуть, ця iдея Л. Больцмана та наближена формула для ентропiї, що випливає iз закону Вiна, яку можна записати ще й так:

i яка є сильно подiбною до формули Стiрлiнґа для логарифма вiд факторiала деякого великого числа N,

ln N! = ln (N/e)N , N 1,

19

i навели М. Планка на думку “сконструювати з факторiалiв” величину W так, щоб отримати точний вираз для ентропiї, що врештi-

решт уже вимушено привело його до iдеї дискретностi енерґiї електромагнiтного випромiнювання. Це й було темою доповiдi, яку виголосив М. Планк у п’ятницю 14 грудня 1900 року на засiданнi Нiмецького фiзичного товариства.

Отже, нехай повна енерґiя N осциляторiв, що моделюють поле, дорiвнює NU, а повна ентропiя

NS = ln W.

Ми опускаємо з цього означення сталу Больцмана kB перед лога-

рифмом (згiдно з нашою домовленiстю вимiрювати температуру в енерґетичних одиницях), яку фактично вперше й увiв М. Планк цим спiввiдношенням. Далi, за М. Планком: “повну енерґiю NU

потрiбно уявляти собi не у виглядi неперервної величини, а у виглядi дискретної, що складається з цiлого числа рiвних частин,

NU = pε,

p цiле, взагалi кажучи, велике число; ε потрiбно визначити.”

Тепер величина W це кiлькiсть рiзних способiв розподiлу p елементiв за N осциляторами. Як модель можна розглянути p кульок в N скриньках i пiдрахувати кiлькiсть рiзних способiв

їхнього розподiлу, тобто кiлькiсть рiзних перестановок мiж собою p кульок i (N −1)-єї стiнок, що роздiляють цi скриньки. Усiх перестановок є [(N −1)+p]!, однак p! перестановок p кульок у скриньцi, як i (N − 1)! перестановок стiнок мiж скриньками, нiчого нового

не дають, тому кiлькiсть рiзних перестановок

W = [(N − 1) + p ]!. (N − 1)! p !

Використовуючи формулу Стiрлiнґа для факторiалiв у цьому виразi, коли N 1, p 1, легко знаходимо

ln W = (N + p) ln(N + p) − N ln N − p ln p,

а з урахуванням того, що p/N = U/ε, ентропiя на один осцилятор

20