Вакарчук І.О. Квантова механіка

2◦. Якщо рух вiдбувається в обмеженiй областi простору, то на границi ψ0(q) = 0. Отже, мова йде про нулi функцiї всере-

динi областi.

3◦. Тому що ψ0 не змiнює знака, її можна вибрати дiйсною й додатною, ψ0 = ψ0 ≥ 0.

4◦. Найнижче власне значення оператора є невиродженим.

Справдi, якщо є двi функцiї ψ0′ , ψ0′′, то ψ0 = C1ψ0′ + C2ψ0′′

також є власною функцiєю з тим самим власним значенням. Пiдбираючи C1, C2, можна знайти точку q, де ψ0 = 0, що

суперечить твердженню 4.

5◦. Хвильовi функцiї вищих, як кажуть, збуджених станiв обо-

в’язково мають вузли. Це випливає з умови ортогональностi

Z

ψ0(q)ψ1(q)dq = 0.

Справдi, функцiя ψ1 мусить змiнювати знак, щоб “занулити” iнтеґрал, а це означає, що вона обертається в нуль усерединi областi змiни q. Це твердження неважко перевiрити на си-

стемi плоских хвиль. Для комплексної функцiї вузли мають

їїдiйсна й уявна частини.

§11. Спiввiдношення невизначеностей для фiзичних

величин, що представляються некомутуючими операторами

Твердження. Якщо два оператори мають спiльну систему власних функцiй, то вони комутують мiж собою (необхiдна й достатня умова).

а власнi значення вiдповiдно A та B. Отже,

ˆ

AψA,B(q) = AψA,B(q),

ˆ

BψA,B(q) = BψA,B(q).

Довiльна функцiя ψ(q) може бути представлена рядом

X

ψ(q) = C(A, B)ψA,B(q).

A,B

131

Подiємо на цю функцiю комутатором

X

=C(A, B)(AB − BA)ψA,B(q) = 0.

132

Унаслiдок довiльностi функцiї f(B) знаходимо, що

ˆ

AϕB = AϕB ,

тобто ϕB є також власною функцiєю оператора A, що й потрiбно

було довести.

Отже, якщо два оператори ˆ ˆ мають спiльну систему вла-

A, B

сних функцiй ψA,B(q), то в станах, що описують цi функцiї, вiдповiднi фiзичнi величини мають точнi значення A, B. Тобто, якщо вимiрюємо величину A, то одержуємо значення A, у цьому ж станi вимiрювання величини B дає значення B. Тому ми можемо одно-

часно вимiрювати значення фiзичних величин, якщо оператори цих величин комутують мiж собою.

А якщо не комутують? Тодi

ˆ

AψA(q) = AψA(q),

але

ˆ

BψA(q) = ϕ(q),

причому ϕ(q) 6= λψA(q), тобто величина B не має певного значення в станi ψA(q), у якому фiзична величина A має значення A.

Ми можемо говорити лише про середнє значення в цьому станi:

Z

h i ˆ

B = ψA(q)BψA(q)dq.

Перейдемо до кiлькiсної характеристики невизначеностей фiзичних величин, оператори яких не комутують.

Нехай задано стан ψ(q), нехай далi комутатор

де очевидно ˆ ермiтовий оператор. Нагадаймо, що, за умовою,

C

оператори ˆ та ˆ є ермiтовими. Уведемо середнi:

A B

Z

h ˆi ˆ

A = ψ (q)Aψ(q)dq,

133

Z

h ˆi ˆ

B = ψ (q)Bψ(q)dq.

Визначимо оператори вiдхилень:

Розглянемо величину

Знайдемо таке значення α, яке приносить мiнiмум функцiї I(α):

I(α) = min

за умови

dI(α) = 0, dα

яка дає

−1h ˆi h d 2i

α= 2 C / ( B) .

134

Тепер маємо

Ми отримали узагальнене спiввiдношення невизначеностей. З нього, як частковий випадок, випливають спiввiдношення Гайзенберґа для координати й iмпульсу, якi ми одержали ранiше :

Тепер можна також записати подiбнi спiввiдношення i для iнших операторiв, наприклад, для компонент оператора моменту iмпульсу:

Звiдси робимо висновок, що x та y компоненти моменту кiлькостi руху не мають певного значення у станi, у якому Lz-ком-

понента набуває певного значення. Якщо усереднення йде за вла-

135

нiсть виконується ще для двох пар операторiв Lx, Lz та Ly, Lz. От-

же, компоненти моменту кiлькостi руху не можна вимiряти одночасно, за винятком випадку, коли всi вони мають нульовi значення.

Одночасне точне вимiрювання фiзичних величин класу A та B, оператори яких не комутують, неможливе. Точне вимiрювання величин A на певнiй експериментальнiй установцi позбавляє нас iнформацiї щодо величин B. Однак вимiр рiзних фiзичних величин A та B на рiзних експериментальних установках дає нам

повнiшу взаємодоповнювальну iнформацiю про властивостi квантових систем. У цьому й полягає змiст так званого принципу доповнювальностi Бора, що “узаконює” неможливiсть опису явищ атомних масштабiв з тiєю повнотою, якої вимагає класична механiка з її лапласiвським детермiнiзмом. Ще раз пiдкреслимо, що мова йде не стiльки про вимiрювання фiзичних величин, скiльки про одночасне застосування самих цих понять до опису явищ мiкросвiту.

Скажемо декiлька слiв про вимiрювання енерґiї. У релятивiстськiй механiцi 4-вимiрному простору координат i часу вiдповiдає спряжений до нього 4-вектор “енерґiї–iмпульсу”. Тому повиннi iснувати, згiдно з вимогами принципу вiдносностi, спiввiдношення невизначеностей для енерґiї й часу, подiбно до спiввiдношень Гайзенберґа для iмпульсу та координати:

E t & ~.

Однак iнтерпретацiя цього спiввiдношення iнша. Iдеться про те, що для вимiрювання енерґiї з точнiстю E необхiдний певний час t ≥ ~/ E. Так само, як немає сенсу говорити про вимiрюва-

ння в певний момент часу частоти коливного процесу, не можна говорити про вимiрювання енерґiї в певний момент часу.

Як випливає з виразу для I(α), стан ψ(q), для якого

136

дає знак рiвностi у спiввiдношеннi невизначеностей. Розв’язок цього рiвняння для iмпульсу й координати дає “мiнiмiзуючий пакет”. Це рiвняння можна розглядати як рiвняння на власнi значення для оператора

товий. Власнi стани цього оператора називають когерентними станами. Вони були розглянутi ще в перших роботах Е. Шрединґера. Назва прийшла з праць Р. Ґлаубера5 1960-х рокiв, присвячених дослiдженню когерентних джерел свiтла за допомогою таких станiв.

§ 12. Рiзнi представлення станiв квантових систем.

Бра- i кет-вектори

Нехай нам задана фiзична величина A. Для знаходження можливих результатiв вимiрювань A1, A2, . . . цiєї величини необхiдно

розв’язати рiвняння на власнi значення:

ˆ

Aψn(q) = Anψn(q).

Поставимо питання: якщо нам задано довiльний стан ψ(q), то яка ймовiрнiсть того, що в результатi вимiрювання величини A ми отримаємо значення An?

Для того, щоб вiдповiсти на це питання, обчислимо середнє

Система функцiй ψn(q) є повною:

X

ψ(q) = Cnψn(q),

n

5За внесок у квантову теорiю оптичної когерентностi Р. Ґлауберу прису-

джено Нобелiвську премiю 2005 року.

137

{. . . , ψn(q), . . .}, взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж ψ(q) та Cn, можемо говорити, що числа Cn є повноважними представниками хвильової функцiї ψ(q). Iнакше кажучи, Cn це хвильова функцiя частинки, яка описує той самий стан, що й ψ(q), однак залежить вiд змiнних n. Отже, змiнними, вiд яких залежить хвильова

функцiя, можуть бути значення довiльних фiзичних величин. Розглянемо це питання докладнiше з огляду на його важ-

ливiсть. Конкретизуємо стан ψ(q). Отже, задано двi фiзичнi ве-

AψA(q) = AψA(q), BϕB(q) = BϕB(q).

Вiзьмемо стан ψA(q), у якому величина A має значення A. Яка ймовiрнiсть того, що в цьому станi величина B набуває значення B? Для цього стан ψA(q) розкладемо в ряд за ϕB(q):

Величина CBA представник ψA(q), отже, це i є хвильова функцiя, яка залежить вiд змiнних B, тобто CBA дорiвнює амплiтудi

138

ймовiрностi того, що фiзична величина B набуває значення B, якщо фiзична величина A точно має значення A.

Мовою, якою ми писали ранiше, ця хвильова функцiя

χA(B) ≡ CBA,

де A називають “iндекс стану”, тобто це сукупнiсть квантових чисел, що описують стан системи; B це “iндекс представлення”: сукупнiсть змiнних, вiд яких залежить хвильова функцiя. Як A, так i B можуть бути багатовимiрними. Щодо термiнологiї, то ми

вживатимемо замiсть “представлення” також еквiвалентний термiн “зображення”6.

Якщо нас цiкавить iмовiрнiсть реалiзацiї величини A, коли система перебуває в станi ϕB(q), то робимо розклад навпаки:

Очевидно, що представник хвильової функцiї ϕB(q)

CAB′ = CBA.

Наприклад,

ψ (x) = 1 eipx/~

p √

L

6Нам видається, що рiвноправне вживання цих двох термiнiв є виправданим i збагачує нашу мову, оскiльки, з одного боку, коефiцiєнт розкладу Cn хвильової функцiї ψ за базисом ψn є її представником або репрезентантом

(саме цей термiн i увiв до вжитку автор теорiї представлень П. А. М. Дiрак) i має властивостi, що точно вiдповiдають властивостям ψ. З iншого боку, можна говорити, що величини Cn зображують хвильову функцiю ψ на iншому тлi, тобто в n-просторi. Хоча термiн “зображення” з огляду на його багато-

значнiсть може творити в нашiй уявi образи, далекi вiд цiєї теми.

Тут доречно навести слова Iвана Франка з його працi “Iз секретiв поетичної творчостi” щодо мови вченого, яка не повинна викликати поетичних навiювань та неоднозначностей: “. . . чим докладнiша, доказнiша має бути наука, тим сильнiше мусить учений боротися з сею поетичною сугестiєю, отже, поперед усього з мовою, вiдси йде, напр., конечнiсть витворювати наукову термiнологiю, звичайно, дику, варварську в очах фiлолога, або звичай уживати для такої термiнологiї чужих слiв, вiдiрваних вiд живого зв’язку тої мови, в яку їх вплетено, на те, щоби не збуджували нiяких побiчних образiв в уявi”. (I. Франко. Зiбрання творiв у 50-и томах. К.: Наук. думка, 1981. Т. 31. С. 47).

139

амплiтуда ймовiрностi знаходження частинки в точцi x, якщо вона має iмпульс p, а

амплiтуда ймовiрностi того, що частинка має значення iмпульсу p, якщо вона знаходиться в точцi x.

Як бачимо, роль змiнних i роль квантових чисел є рiвноправними, тобто байдуже, у якому представленнi ми працюємо.

Якщо ми пишемо ψn(q), то пiд змiнною q будемо розумiти довiльну змiнну, яка вiдповiдає певнiй фiзичнiй величинi: q = r “координатне представлення”, q = p “iмпульсне представлення”, q = E “енерґетичне представлення” i т. д.

Уведемо зручнi позначення, якi запропонував П. А. М. Дiрак ще в 1930 роцi:

ψA = |Ai

кет-вектор (стан, амплiтуда),

ψA = hA|

бра-вектор (стан, амплiтуда). Назва пiшла вiд “уполовинення” англiйського слова “дужка”: h дужка i = hbracketi = hbra|cketi.

Нехай далi

ψA(q) = hq|Ai, ψA(q) = hq|Ai = hA|qi,

де A iндекс стану, q iндекс представлення (або зображення).

Запишемо, наприклад, вiдомi нам вирази в цих позначеннях:

140