Вакарчук І.О. Квантова механіка

зображують канонiчно спряжених iмпульсiв та координат (як pˆ i q), оскiльки їхнiй комутатор не дорiвнює i~. Справдi, тому що q i f комутують мiж собою, то

p p p p p p

ˆ − ˆ − − ~ qP P q = q fpˆ f fpˆ fq = f(qpˆ pqˆ ) f = i f.

Отже, вплив середовища “перекинуто” на комутатор

ˆ ~

[q, P ] = i f.

Можемо говорити про рух частинки у просторi, в якому дужка Пуассона здеформована функцiєю f.

Якщо деформацiйна функцiя f = f(q), то один iз способiв

переходу вiд класичного гамiльтонiана

H = f2p2 + U(q) 2m

до квантового є такий: уводимо новий iмпульс P = fp i нову координату Q = Q(q) таку, щоб класична дужка Пуассона {Q, P } = 1, тобто щоб f dQ/dq = 1 або Q = dq/f + const i звiдси знаходимо

отримаємо гамiльтонiан у нових канонiчно

що тепер повернення до опису в канонiчно-спряжених змiнних є аж нiяк не тривiальним, якщо взагалi воно можливе. Отже, ми приходимо до принципово iншого як квантового, так i класичного опису фiзичних явищ у некомутативному просторi, iдея якого належить В. Гайзенберґовi i пiдхоплена Р. Паєрлсом, В. Паулi,

121

Р. Оппенгаймером, Г. Снайдером (який опублiкував статтю пiд назвою “Квантований простiр-час”: Phys. Rev. 71, 38 (1947)) та вiдновлена пiзнiше, зокрема в теорiї струн.

Приклад 1. Циклоїдальний маятник

Записати оператор Гамiльтона частинки маси m, що рухається по циклоїдi у вертикальнiй площинi в однорiдному полi тяжiння напруженостi g:

x = a(ϕ + sin ϕ), y = a(1 − cos ϕ), −π ≤ ϕ ≤ π,

a радiус кола, що творить циклоїду (довiльна точка на периметрi кола, яке котиться по прямiй лiнiї, описує циклоїду), ϕ кут повороту центра кола вiдносно осi y.

Функцiя Лаґранжа частинки

L = m2 (x˙ 2 + y˙2) − mgy = 2ma2ϕ˙2 cos2 ϕ2 − 2mga sin2 ϕ2 .

За означенням, iмпульс pϕ, спряжений до координати ϕ, дорiвнює pϕ = 4ma2ϕ˙ cos2 ϕ2 . Природно за узагальнену координату Q вибрати дугу цикло-

їди, вiдраховуючи її вiд початку координат

Q = 4a sin ϕ2 , −4a ≤ Q ≤ 4a.

Тепер функцiя Лаґранжа

Канонiчно cпряжений до Q узагальнений iмпульс

Як бачимо, класичний рух частинки це iзохроннi коливання з частотою ω = p

g/4a (при будь-якому початковому вiдхиленнi Q < 4a частинка скочується

в найнижче положення за той самий час). Класичний гамiльтонiан

122

Зауважимо, що класична дужка Пуассона {Q, P } = 1. Легко переконати-

ся прямим обчисленням, що комутатор ˆ ~, i отже, квантова дужка

[Q, P ] = i

Пуассона також дорiвнює одиницi. Iз класичним узагальненим iмпульсом P

можна також зiставити оператор iмпульсу ˆ у виглядi такої пiвсуми:

P

Елементарнi обчислення показують, що комутатор мiж Q i цим оператором

сичним iмпульсом ˆ не змiнює спектра власних значень гамiльтонiана ˆ .

P H

Цiкава iсторiя циклоїдального маятника. Й. Бернуллi 1696 року звернувся листом до математикiв, у якому запропонував їхнiй увазi задачу про брахiстохрону криву, рухаючись по якiй, частинка в полi тяжiння якнайшвидше скотиться з однiєї заданої точки в iншу. Розв’язок цiєї задачi дали Й. Бернуллi, Я. Бернуллi, Ґ. Ляйбнiц, I. Ньютон i Ґ. Лопiталь брахiстохроною виявилася циклоїда.

Приклад 2. Гамiльтонiан чорної дiри. Задано класичну функцiю Гамiльтона (у знерозмiрених величинах) H = p2/2q + q/2, де канонiчно спряженi iмпульс p i координата q змiнюються в таких межах: −∞ < p < ∞, q > 0.

Такий гамiльтонiан виникає при описi динамiки чорної дiри в метрицi Шварцшiльда4. Причому H має змiст шварцшiльдiвської маси, а величина q це

радiус кривизни. Усi величини вимiрюються за фундаментальною шкалою:

данку H операторiв координати та iмпульсу. Щоб зафiксувати певний вибiр, уведiмо новий iмпульс P = p/√q. Канонiчно спряжену координату Q знайде-

мо з умови рiвностi одиницi класичної дужки Пуассона:

dQ 1

dq √q = 1.

Розв’язок цього рiвняння Q = 2q3/2/3, i в нових змiнних класична функцiя

Гамiльтона

причому ˆ −1/2 −1/2 , а комутатор ˆ ~.

P = (q pˆ + pqˆ )/2 [Q, P ] = i

Вибiр оператора ˆ, очевидно, є неоднозначним. Наприклад, можна взя-

P

ти ˆ −1/4 −1/4, однак це не впливає на власнi значення оператора ˆ ,

P = q pqˆ H

4K. V. Kuchaˇr, Phys. Rev. D 50, No. 6, 3961 (1994); J. Louko, Phys. Rev. D

54, No. 8, 4982 (1996).

123

Приклад 3. Класичний опис частинки задає функцiя Лаґранжа (у знеро-

змiрених одиницях) L = x˙ 2/x − x, x > 0. Знайти оператор Гамiльтона.

За означенням, iмпульс частинки p = ∂L/∂x˙ = 2x/x˙ i класична функцiя

Гамiльтона H = xp˙ − L = xp2/4 + x. При переходi вiд класичних величин x, p до операторiв маємо в першому доданку H неоднозначнiсть у їх розташуваннi. Перейдiмо до нових канонiчно спряжених координат й iмпульсiв Q, P ,

приймаючи новий iмпульс таким, що

легко перевiрити, що в обох випадках комутатор ˆ ˆ ~. Ця неоднозна-

[Q, P ] = i

чнiсть у виборi ˆ не впливає на спектр власних значень оператора ˆ .

P H

Зауважимо, що перiодичний рух частинки видно з розв’язку класичних рiвнянь руху, x = 1 + sin t (з початковими умовами x = x˙ = 1 при t = 0).

Приклад 4. Астроїдальний маятник.

Записати оператор Гамiльтона частинки маси m, що рухається в однорiдному полi тяжiння напруженостi g по астроїдi: x = a sin3 θ, y = a cos3 θ,

124

причому очевидно, що ˆ ~.

[Q, P ] = i

§ 10. Властивостi власних функцiй i власних значень

ермiтових операторiв

Нехай задано самоспряжений оператор ˆ, що вiдповiдає фi-

A

зичнiй величинi A, яка набуває значення A1, A2, . . . , An, . . . у станах ψ1(q), ψ2(q), . . . , ψn(q), . . ., якi своєю чергою визначаються

з рiвняння на власнi значення для оператора ˆ. Сформулюймо

A

деякi властивостi An i ψn(q) у виглядi тверджень, якi фактично є

теоремами.

Твердження 1. Власнi значення ермiтових операторiв є дiйсни-

ми.

Це випливає iз самого означення, оскiльки так ми вводили оператори фiзичних величин. Справдi, маємо

ˆ

Aψn(q) = Anψn(q),

далi здiйснiмо операцiю комплексного спряження цього рiвняння:

ˆ

A ψn(q) = Anψn(q).

Помножмо перше рiвняння на ψn, а друге на ψn, проiнтеґруймо за q i вiзьмiмо рiзницю (залежнiсть вiд q будемо виписувати явно

лише там, де це дiйсно потрiбно):

Z Z Z

ˆ − ˆ − | |2

ψn(q)Aψn(q)dq ψn(q)A ψn(q)dq = (An An) ψn(q) dq.

Оскiльки Z

|ψn(q)|2dq 6= 0,

то

An = An.

125

Ця рiвнiсть має силу як для дискретного, так i для неперервного спектрiв значень величини A.

Твердження 2. Власнi функцiї ермiтового оператора, що вiдповiдають рiзним власним значенням, є ортогональними мiж собою:

Z

ψn(q)ψm(q)dq = δn,m.

Розглянемо спочатку дискретний невироджений спектр опера-

тора ˆ:

A

ˆ

Aψn = Anψn,

ˆ

Aψm = Amψm,

ˆ

A ψn = Anψn.

Друге рiвняння множимо на ψn, третє на ψm(q), iнтеґруємо за q i беремо рiзницю:

Z Z Z

ˆ − ˆ −

ψn(q)Aψm(q)dq ψm(q)A ψn(q)dq = (Am An) ψn(q)ψm(q)dq.

Z

(Am − An) ψn(q)ψm(q)dq = 0.

Якщо Am 6= An, то

Z

ψn(q)ψm(q)dq = 0.

Якщо Am = An, m = n, то отримуємо умову нормування

Z

|ψn(q)|2dq = 1.

Отже, у загальному випадку

Z

ψn(q)ψm(q)dq = δn,m

умова ортогональностi. Ми вже мали такi умови для хвильових функцiй вiльної частинки.

126

Нехай тепер маємо випадок виродженого дискретного спектра. Отже,

ˆ

Aϕnα(q) = Anϕnα(q),

тобто значенню An при s-кратному виродженнi вiдповiдають s

функцiй ϕn1(q), ϕn2(q), . . . , ϕns(q).

яка своєю чергою є власною функцiєю оператора ˆ, що вiдповiдає

A

власному значенню An. Коефiцiєнти Cαβ пiдберемо так, щоб новi функцiї ψnβ(q) були ортонормованими:

Z

ψnβ′ (q)ψnβ (q)dq = δβ′,β

ця умова задає систему рiвнянь, з якої визначаємо коефiцiєнти

Cαβ.

Процедура ортогоналiзацiї для виродженого випадку є неоднозначною. Справдi, замiсть набору функцiй ψnβ, вiзьмемо iнший

Якщо пiдiбрати коефiцiєнти так, щоб (унiтарне перетворення)

X

aγ′βaγβ = δγ′,γ,

β

то новi функцiї ψnγ′ (q) також будуть задовольняти умову ортого-

нальностi. Отже, у випадку виродженого спектра хвильовi функцiї визначаються з точнiстю до унiтарного перетворення.

127

Таким чином, якщо пiд iндексом n розумiти складний iндекс (n, α), то умову ортогональностi пишемо у виглядi

Z

ψn(q)ψm(q)dq = δn,m.

Перейдемо до неперервного спектра,

ˆ

AψA(q) = AψA(q),

A неперервна величина. Умова ортогональностi записується за допомогою δ-функцiї:

Z

ψA(q)ψA′ (q)dq = δ(A − A′)

цю умову ми також уже мали для хвильових функцiй вiльної частинки, що рухається в необмеженому об’ємi простору.

Твердження 3. Власнi функцiї ермiтових операторiв утворюють замкнену систему функцiй.

Означення замкненостi: нехай ми маємо систему (набiр) функ-

цiй ψ1(q), ψ2(q), . . . , ψN (q). Вiзьмiмо довiльну функцiю ψ(q) i

спробуймо представити її у виглядi

XN′

ψ(q) = Cnψn(q) + RN′ (q),

n=1

де ψn(q) власнi функцiї ермiтового оператора. Система {ψn(q)}

називається замкненою, якщо

або, iншими словами, коли виконується рiвнiсть

XN

ψ(q) = Cnψn(q),

n=1

причому N може бути як скiнченним числом, так i безмежним.

128

Розгляньмо ще iншу форму запису умови замкненостi:

−ψ (q)ψn(q)dq + Cn = 0,

тобто коефiцiєнти, що реалiзують мiнiмум величини R |RN |2dq:

Z

Cn = ψn(q)ψ(q)dq.

Таким чином, при так пiдiбраних коефiцiєнтах

Отже, умову замкненостi запишемо так (рiвнiсть Парсеваля):

Систему функцiй {ψn(q)}, що задовольняють цю умову, назива-

ють повною системою функцiй.

Назва “замкнена система функцiй” походить вiд того, що до сукупностi {. . . , ψn(q), . . .} вже не можна “пiд’єднати” ще одну функцiю, яка була б ортогональною до всiх ψn(q). Це можливо

129

лише, коли всi Cn = 0, тобто “пiд’єднана” функцiя ψ(q) = 0 для всiх q.

Ми приймемо сформульоване вище твердження 3 без доведення. Воно означає, що довiльну функцiю ψ(q) можна розкласти в

ряд за власними функцiями ермiтового оператора:

Якщо значок n приймає й неперервнi значення, то пiд сумою за n

слiд розумiти як пiдсумовування, так й iнтеґрування. Такий розклад ми вже мали: це був ряд Фур’є, тобто розклад у ряд за власними функцiями оператора iмпульсу, якi є нiчим iншим, як хвилями де Бройля.

Твердження 4. Власна функцiя ψ0 = ψ0(q), яка вiдповiдає най-

нижчому власному значенню оператора, не перетворюється в нуль при жодних значеннях координати q (кажуть, що функцiя не має

вузлiв).

Рис. 16. Хвильовi функцiї основного ψ0 та першого збудженого ψ1 станiв.

Зауваження:

1◦. Це твердження, загалом кажучи, правильне лише для хви-

льової функцiї однiєї частинки.

130