Вакарчук І.О. Квантова механіка

Постулат. Вимiрювання на дослiдi фiзичної величини A, що

Iнакше кажучи, вимiрювання величини A в станi ψ(q) в ко-

жному актi дають рiзнi i, взагалi кажучи, щораз iншi значення, але кожен раз iз сукупностi A1, A2, . . . i тiльки! Тобто спектр

можливих значень спостережувальних величин збiгається зi спектром операторiв, що з ними зiставляються.

Саме цим i визначається змiст операторiв у квантовiй механiцi. Оператори мають такий змiст, що їхнi власнi значення дають можливi результати вимiрювань вiдповiдної їм фiзичної величини в довiльному станi.

Ми вже знайомi з операторами координати, iмпульсу, кiнетичної та потенцiальної енерґiй. Легко переконатись, що власною функцiєю оператора iмпульсу є плоска хвиля де Бройля

Справдi, дiючи безпосередньо на неї оператором iмпульсу pˆ, тобто

беручи похiднi за координатами, маємо:

pˆψp(r) = pψp(r).

Ця функцiя також є i власною функцiєю оператора кiнетичної енерґiї:

причому оскiльки власне значення енерґiї не залежить вiд напрямку iмпульсу p, то маємо приклад безмежнократного виродження, адже одному значенню p2/2m вiдповiдає безлiч функцiй ψp(r), що вiдрiзняються лише напрямком вектора p.

Оператор моменту iмпульсу, або моменту кiлькостi руху2, вводимо, використовуючи його класичне означення, простою замiною iмпульсу оператором iмпульсу.

Приклади операторiв фiзичних величин, що дiють на хвильовi функцiї, якi залежать вiд координат частинки, наведено в таблицi.

2Можливо, що ця друга назва є дещо старомодною, але за своєю iстори-

чною роллю вона варта того, щоб залишити її у вжитку фiзикiв.

111

112

Якщо арґументом хвильової функцiї є не декартовi координати (x, y, z), а, наприклад, сферичнi (r, ϑ, ϕ), то для знаходження

вiдповiдних операторiв необхiдно зробити замiну змiнних,

x = r cos ϕ sin ϑ,

y = r sin ϕ sin ϑ,

z = r cos ϑ,

i перейти вiд ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z до ∂/∂r, ∂/∂ϕ, ∂/∂ϑ за загальни-

ми правилами. Знайдемо, наприклад, оператор проекцiї моменту

кiлькостi руху ˆ у сферичних координатах. Маємо:

Lz

= −r sin ϕ sin ϑ∂x∂ + r cos ϕ sin ϑ∂y∂ + 0

Рiвняння на власнi функцiї та власнi значення для нього

ˆ

Lzψ = Lzψ

у сферичних координатах має вигляд:

dψ(ϕ)

−i~ dϕ = Lzψ(ϕ),

де азимутальний кут 0 ≤ ϕ ≤ 2π, а розв’язок

ψ(ϕ) = CeiLz ϕ/~.

Власнi значення Lz знаходимо з умови однозначностi хвильової функцiї ψ(ϕ) = ψ(ϕ + 2π) :

eiLz 2π/~ = 1 або Lz2π/~ = 2πm,

113

m = 0, ±1, ±2, . . . . Отже, власнi значення проекцiї моменту кiль-

костi руху квантуються (правило квантування Бора):

√Lz = ~m.

Сталу нормування C = 1/ 2π знаходимо з умови нормування

Z2π

|ψ(ϕ)|2dϕ = 1.

0

Остаточно

ψ(ϕ) = √1 eimϕ.

2π

Як здiйснити перехiд до iнших змiнних у загальному випадку, розглянемо пiзнiше, а зараз обговоримо рiвняння на власнi значення для оператора координати. Власною функцiєю оператора координати xˆ = x (беремо одновимiрний випадок) з власним значенням x′ є дельта-функцiя:

xψx′ (x) = x′ψx′ (x),

ψx′ (x) = δ(x − x′).

Умови нормування для цiєї функцiї випливають з властивостей дельта-функцiї i за зовнiшнiм записом збiгаються з умовою нор-

мування плоских хвиль у необмеженому об’ємi:

Z

ψx′′ (x)ψx′ (x) dx = δ(x′′ − x′),

Z

ψx′′ (x′)ψx′′ (x) dx′′ = δ(x′ − x),

а значок комплексного спряження, зрозумiло, не несе тут жодного навантаження, його присутнiсть це данина красi запису формули. Власною функцiєю оператора потенцiальної енерґiї, залежної вiд координати, також є дельта-функцiя.

Наведемо ще декiлька прикладiв операторiв. Оператор транс-

114

Останню рiвнiсть отримуємо операцiєю трансляцiї в просторi змiнної ξ. Тобто оператор стискання є оператором трансляцiї в ло-

гарифмiчнiй шкалi. Повертаючись до вихiдних змiнних, одержуємо

Подiємо оператором стискання на мiнiмiзуючий хвильовий пакет (див. §7, для спрощення приймаємо, що p0 = 0, x0 = 0)

115

Отже,

h(Δx)2is = e−2rh(Δx)2i.

Ми отримали знову хвильовий пакет, але зi стиснутими в er разiв лiнiйними розмiрами. Стани ψs(x) називають стиснутими станами

ˆ

NψN = NψN .

Питання однозначного зiставлення з фiзичною величиною f

вiдповiдного оператора ˆ є, загалом кажучи, зовсiм не таким про- f

стим. Наприклад, якщо задана класична величина як добуток канонiчно спряжених величин x та px,

f = x2px,

то “претендентiв” на вiдповiдний оператор є декiлька:

116

Немає загального правила зiставлення оператора з будь-якою функцiєю фiзичних величин, оператори яких не комутують. Один iз способiв зiставлення квантовомеханiчних операторiв з класичними динамiчними величинами, який запропонував Г. Вейль, полягає в наступному. Нехай задана класична величина f(x, p) як функцiя координати x та iмпульсу p. Зобразимо її iнтеґралом

зворотне перетворення

ZZ

fq,k = dp dx f(x, p) e−i(kx+qp).

За правилом Вейля, перехiд вiд f(x, p) до вiдповiдного операто-

Неоднозначнiсть такого квантування очевидна. Можна по-рiзно- му “розставляти” експоненти пiд знаком iнтеґрала, отримуючи рiзнi результати3.

Критерiєм будь-яких наших дiй є дослiд, який i тут має вирiшальне слово, якщо ми намагаємось описувати спостережувану нами дiйснiсть. Спроба нав’язати це правило будь-яким декретом приведе до суперечностi. В iнших Свiтах дослiд дасть, найiмовiрнiше, iнакшi правила, оскiльки явища, що розiгруються в них, є iншими. А взагалi, важливу роль дослiду, i зокрема у фiзицi, як спецiально поставленого експерименту, вперше усвiдомив Ґалiлей, i саме вiд нього фiзика бере свiй початок як наука. Хоча, мабуть, наш розум знаходить у Природi те, що сам шукає, i змушує Її вiдповiдати на спецiально поставленi запитання, якi виникають у нас у трансцендентальному прагненнi встановити певнi закони. . .

3Таке розташовування операторiв помiж собою нагадує операцiю введе-

ння голосних при читаннi стародавнiх рукописiв. Як вiдомо, давнє письмо не мало голосних мабуть, для економiї матерiалу. Тому виникає проблема фактично розшифровування тексту шляхом вставляння знакiв голосних мiж приголосними. Неоднозначнiсть такої процедури очевидна, якщо зважити на те, що iнодi такi тексти це суцiльний ланцюг приголосних.

117

Розглянемо ще декiлька прикладiв на комутацiю операторiв. Ранiше ми показали, що

xpˆx − pˆxx = i~,

а в загальному випадку легко довести, що

або

[xi, pˆj] = i~δij .

Це нагадує класичнi дужки Пуассона для канонiчно спряжених змiнних. Пригадаймо, що класична дужка Пуассона

118

Бачимо повну аналогiю з класичними виразами. Подiбним чином у цю схему вписуються комутацiйнi спiввiдношення для операто-

Тобто для квантових дужок Пуассона отримаємо:

спiввiдношення, аналогiчнi до класичних.

Дужки Пуассона, як класичнi, так i квантовi, задовольняють тотожнiсть Якобi:

так само, як i в класичнiй механiцi. Пiзнiше буде розкрито глиб-

ший змiст цiєї аналогiї.

Питання однозначностi зiставлення класичнiй функцiї Гамiль-

тона квантово-механiчного оператора ˆ виникає тодi,

H = H(q, p) H

коли кiнетична енерґiя залежить не лише вiд iмпульсу p, а й вiд координати q. Тодi однiй i тiй же класичнiй функцiї Гамiльтона

вiдповiдатиме не один оператор ˆ , а декiлька, оскiльки важли-

H

вим є порядок множникiв, що не комутують мiж собою. Є однак, виняток, коли можна говорити про однозначне зiставлення класичнiй механiчнiй системi вiдповiдної їй квантової. Якщо описувати систему в декартових координатах, коли кiнетична енерґiя представлена сумою квадратiв компонент iмпульса, а потенцiальна енерґiя є функцiєю координат, тодi такої неоднозначностi не виникає. Отже, декартова система координат є видiленою. Наслiдком її особливостi є також i те, що вимiрювання iмпульсу дозволяє обчислити й кiнетичну енерґiю системи. У криволiнiйних

119

координатах, або коли на систему накладено в’язi, такої однозначностi вже немає. Особливу увагу питанню зiставлення класичнiй функцiї Гамiльтона H = H(q, p) квантово-механiчного оператора

ˆ придiлив Поль Дiрак в другому виданнi своєї книжки (у ро-

H

сiйському перекладi 1932 року, [8]). Критерiєм “правильностi вибору” квантового оператора Гамiльтона з розмаїття можливих є лише дослiд.

Часто i справдi зручнiше працювати не в декартових, а в деяких узагальнених координатах. Серед узагальнених координат також є особливий випадок, коли мiж класичною i квантовою моделями маємо однозначну вiдповiднiсть. У цьому випадку можна стартувати з функцiї Лаґранжа L = L(q, q˙), в якiй переходимо

до таких узагальнених координат i швидкостей , ˙ , щоб кiне-

Q Q

тична енерґiя в функцiї Лаґранжа ˙ була записана

L = L(Q, Q)

як квадрат узагальненої швидкостi (якщо кiнетична енерґiя була пропорцiйна квадратовi q˙). Пiсля чого, беручи до уваги, що новий

узагальнений iмпульс ˙ канонiчно спряжений до , знахо-

P = Q Q

димо класичну функцiю Гамiльтона i вiдповiдний їй оператор ˆ .

H

Наголосимо, що висновок щодо справедливостi такого вибору опе-

ратора енерґiї ˆ може дати лише експеримент.

H

Нарештi торкнемось питання руху тiл у так званому деформованому просторi, тобто з деформованими дужками Пуассона. Для цього розглянемо частинку з координатою q i потенцiальною енерґiєю U = U(q). Нехай частинка рухається в деякому сере-

довищi так, що її маса є функцiєю координати: m → m/f2, де f = f(q). Прикладом може слугувати задача про рух електро-

на в наногетеросистемах, тобто структурах, складених з хiмiчно

˚

рiзних шарiв товщиною порядку нанометра ( 10 A), що мають,

наприклад, сферичну або цилiндричну форму (так званi квантовi точки, квантовi дроти). У кожному шарi величина ефективної маси електрона має, очевидно, рiзнi значення i отже, є функцiєю координат.

Оператор кiнетичної енерґiї частинки pˆ2/2m, де pˆ оператор iмпульсу, канонiчно спряжений до q, природно тепер записати так:

Уведемо оператор

ˆ

p p

P = fpˆ f

120