Вакарчук І.О. Квантова механіка
.pdf
Г Л А В А II
МАТЕМАТИЧНИЙ АПАРАТ КВАНТОВОЇ МЕХАНIКИ
§ 8. Оператори фiзичних величин
Завдання квантової механiки, як i кожної науки, полягає в тому, щоб за результатами одних вимiрювань передбачити результати iнших вимiрювань. Таке передбачення, що здiйснюється на пiдставi спецiально поставлених попереднiх дослiджень, є головною ознакою науки як такої i може бути покладене в основу її означення1. Однак у квантовiй механiцi процес вимiрювання вiдiграє, на вiдмiну вiд класичної механiки, особливу роль. Самi операцiї вимiрювання, як ми бачили, потребують докладного аналiзу, що пов’язано з обмеженням на сумiсне визначення, наприклад, координати та iмпульсу частинки. Отже, побудова квантової теорiї вимагає фундаментальних змiн основних класичних уявлень та законiв. Так само, як квантовомеханiчнi явища вiдрiзняються вiд класичних, так i математичний апарат квантової механiки вiдмiнний вiд апарату класичної механiки. Математичний апарат квантової механiки є теорiєю лiнiйних операторiв у гiльбертових просторах. Це знаходиться у повнiй вiдповiдностi до того, що самi вимiрювання можна розглядати як операцiї, якi здiйснюються над фiзичними системами.
1Це передбачення вiдрiзняється вiд прогнозувань дельфiйського оракула,
якi мали виняткове значення у стародавньому свiтi. Мiсто Дельфи у Стародавнiй Грецiї вiдiгравало таку ж роль, як у наш час Мекка для мусульман чи Єрусалим для християн. До жриць храму Аполлона в Дельфах звертались за пророцтвом оракула правителi та полководцi перед прийняттям важливого рiшення або вiйськовим походом. Передбачення оракула жрицi часто передавали у формi такої “криптограми”, яку годi було розшифрувати, що не раз призводило до двозначного його тлумачення та фатальних наслiдкiв. Хоч у сучаснiй практицi iснує так званий дельфiйський метод, що полягає у статистичнiй обробцi багатьох спостережень та прогнозувань на цiй основi з наступною корекцiєю за результатами нових даних.
101
Перейдемо до визначення поняття оператора. Оператором ˆ f
називають рецепт, за яким за заданою функцiєю ψ(x) знаходять iншу функцiю ϕ(x):
ˆ
ϕ(x) = fψ(x).
Як було показано ранiше, для обчислення середнiх значень координати x та iмпульсу p частинки в станi, що описується хви-
льовою функцiєю ψ(x), необхiдно виконати такi операцiї:
Z
hxi = ψ (x)xψ(x)dx,
Z
hpi = ψ (x)ˆpψ(x)dx,
де символом pˆ позначено операцiю диференцiювання pˆ=−i~d/dx.
Домовимось про позначення: замiсть “середнє значення iмпульсу p”, пишемо hpi, i взагалi, замiсть “середнє значення фiзичної величини f”, пишемо hfi. З iншого боку, введемо математичну операцiю усереднення в станi ψ, яку також позначимо
кутовими дужками
Z
h. . .i = ψ (q)(. . .)ψ(q)dq
або рискою
Z
(. . .) = ψ (q)(. . .)ψ(q)dq,
де q сукупнiсть змiнних, на яких задана хвильова функцiя. Наприклад, ми вже мали ψ(x), C(p) амплiтуди ймовiрностей, за-
данi вiдповiдно на просторах координат або iмпульсiв.
Постулат. Кожнiй фiзичнiй величинi A у квантовiй механiцi
ставиться у вiдповiднiсть оператор цiєї величини |
ˆ |
такий, що її |
|
A |
|||
середнє значення в станi ψ(q) дорiвнює: |
|
|
|
hAi = Z |
ψ (q)Aψˆ (q)dq. |
|
|
Зiставлення операторiв з фiзичними величинами повинно виконуватись з урахуванням тих умов, якi накладаються основними принципами квантової механiки:
102
1◦. Принцип суперпозицiї вимагає лiнiйностi всiх рiвнянь для хвильових функцiй ψ(q), що в свою чергу вимагає, щоб опе-
ратори фiзичних величин були лiнiйними операторами:
ˆ |
ˆ |
C = const, |
|
ACψ(q) = CAψ(q), |
|||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(q). |
A[ψ1 |
(q) + ψ2(q)] = Aψ1 |
(q) + Aψ2 |
|
2◦. Фiзичнi величини це спостережувальнi величини. Їх вимi-
рюють у дослiдах, у результатi яких отримують дiйснi числа. Це означає, що середнi значення операторiв, якi представляють фiзичнi величини, є дiйсними:
|
hAˆi = hAˆi , |
|
|
|
або в математичному записi |
|
|
|
|
Z |
ψ (q)Aψˆ (q)dq = Z |
ψ(q)Aˆ ψ (q)dq. |
||
Ця рiвнiсть є частковим випадком |
загального спiввiдношення. |
|||
|
|
ˆ |
˜ |
|
|
|
ˆ |
такий, що |
|
Уведемо транспонований стосовно до A оператор A |
||||
|
|
˜ |
1 (q)dq. |
|
Z ψ1 (q)Aψˆ 2(q)dq = Z ψ2(q)Aψˆ |
|
|||
Порiвнюючи з попередньою рiвнiстю, маємо
˜
ˆ ˆ
A = A .
Уведемо поняття спряженого оператора ˆ+ до ˆ,
A A
|
+ |
˜ |
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
A = A , |
|
|
|
||
або в iнтеґральнiй формi: |
|
|
|
|
||
Z |
ψ1 (q)Aψˆ 2(q)dq = Z |
Aˆ+ψ1(q) |
dq. |
|||
ψ2(q) |
|
|||||
Отже, внаслiдок дiйсностi спостережувальних величин, маємо
ˆ |
ˆ+ |
A |
= A . |
103
Оператори, що задовольняють цю умову, називають самоспряженими, або ермiтовими. В iнтеґральнiй формi умова самоспряженостi може бути записана у виглядi:
Z ψ1 (q)Aψˆ 2(q)dq = Z |
|
|
|
||
ψ2(q) |
Aψˆ 1(q) |
dq. |
|||
Розгляньмо декiлька прикладiв. Отже, нехай задано оператор |
|||||
|
|
ˆ |
ˆ+ |
|
|
диференцiювання A = d/dx, знайти A . |
|
|
|||
Знайдiмо спочатку транспонований оператор. Маємо |
|||||
Z ϕ1(x) |
d |
n |
|
|
o |
dx |
ϕ2(x)dx = |
iнтеґруємо частинами |
|||
Z
d
= − ϕ2(x)dx ϕ1(x)dx.
Припускається, що внесок вiд добутку хвильових функцiй на границях областi iнтеґрування дорiвнює нулевi (як це було при виведеннi виразу для оператора iмпульсу). Отже,
g |
|
|
|
|
d |
|
+ |
g |
|
||||||
|
d |
|
= − |
d |
|
|
|
|
= |
d |
|
= − |
d |
||
|
|
, |
|
|
|
|
. |
||||||||
dx |
dx |
dx |
|
dx |
dx |
||||||||||
Таким чином, оператор диференцiювання не є ермiтовим оператором:
d + 6= d . dx dx
Наступний приклад оператор iмпульсу. Задано оператор iм-
пульсу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pˆ = −i~ |
d |
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dx |
|
|
|
||||
знайти спряжений оператор. |
|
|
|
|
|
|
||||
Маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
d |
|
|
|
|
d |
|
||
p˜ˆ = −i~ |
d |
|
= i~ |
, |
|
pˆ+ = p˜ˆ |
= −i~ |
; |
||
dx |
dx |
|
dx |
|||||||
pˆ+ = pˆ.
104
Отже, оператор iмпульсу є самоспряженим оператором, як i повинно бути для фiзичної величини.
Розгляньмо ще так званi оператори породження i знищення. Цi оператори задаються рiвностями:
ˆ+ |
ψN = |
√ |
|
|
ˆ |
√ |
|
|
|
|
|
||||||
b |
N + 1 ψN+1, |
bψN = N ψN−1, |
||||||
де ψN хвильова функцiя N тотожних частинок, що перебува-
ють в одному й тому ж квантовому станi (наприклад, фотони в лазерi). Частинки, що описують такими хвильовими функцiями й операторами, називають бозонами або бозе-частинками. Для фермi-частинок хвильовi функцiї та оператори породження i знищення є iншими.
|
|
ˆ |
ˆ+ |
ˆ |
ˆ+ˆ |
Очевидно, що b |
6= b |
, а оператор числа частинок N |
= b b |
||
ˆ |
+ |
|
ˆ |
|
|
є ермiтовим: N |
|
= N. |
|
|
|
Висновок. З математичної точки зору квантова механiка це теорiя лiнiйних операторiв. Спостережувальнi величини представляються лiнiйними самоспряженими (ермiтовими) операторами. Неспостережувальнi процеси (як наприклад, вiртуальне народження та знищення фотонiв) можуть описуватись i неермiтовими операторами, однак лiнiйними.
Розглянемо тепер дiї над операторами. 1◦. Сума операторiв:
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
(A |
± B)ψ = Aψ ± Bψ. |
|
||||
Наприклад, |
|
|
|
|
d |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
−i~ |
|
|
A = x, |
B = pˆ = |
dx |
, |
|||
а сума |
|
|
|
|
|
|
(αx + pˆ)ψ = αxψ(x) − i~ |
dψ(x) |
, |
|
α = const. |
||
|
|
|||||
dx |
|
|||||
105
2◦. Добуток.
Розрiзняємо добуток ˆ ˆ та ˆ ˆ,
AB BA
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ϕ1 = ABψ, |
ϕ2 = BAψ. |
Беручи загалом, ϕ1 6= ϕ2. Наприклад:
xpψˆ (x) = −i~x |
dψ(x) |
|
|
|
|||
|
, |
|
|
|
|||
dx |
|
|
|
||||
|
d |
|
|
|
dψ(x) |
||
pxψˆ (x) = −i~ |
|
{xψ(x)} = −i~ψ(x) |
− i~x |
|
. |
||
dx |
dx |
||||||
Отже, рiзниця |
|
|
|
|
|
||
{xpˆ − pxˆ }ψ(x) = i~ψ(x) |
|
|
|
||||
i не дорiвнює нулевi. В операторнiй формi це можна записати як xpˆ − pxˆ = i~.
Оператор
ˆ ˆ ≡ ˆ ˆ − ˆ ˆ [A, B] AB BA
називають комутатором. Цей вираз називають також комутацiй-
ним, або переставним спiввiдношенням операторiв |
ˆ |
ˆ |
||
A i B. Якщо |
||||
ˆ ˆ |
= 0, то кажуть, |
що оператори комутують |
(перестав- |
|
[A, B] |
||||
ляються). |
|
|
|
|
3◦. Операцiя спряження добутку операторiв. |
|
|
||
Розглянемо ряд простих перетворень: |
|
|
||
Z |
ψ1(q)ABψˆ ˆ 2(q)dq = Z |
|
˜ |
1(q)dq, |
ψ1(q)Aϕˆ 2(q)dq = Z ϕ2(q)Aψˆ |
||||
|
ˆ |
тут ми ввели позначення ϕ2(q) = Bψ2 |
|
˜ |
|
ˆ |
(q) i продовжимо рiвнiсть: |
Aψ1 |
|
Z |
Z |
(q). Уведемо далi ϕ1(q) =
Z
ˆ ˆ |
(q)dq = |
|
ϕ1(q)ϕ2(q)dq = |
|
ψ1(q)ABψ2 |
|
|||
|
= |
Z |
˜ |
(q)dq = |
|
ψ2(q)Bϕˆ 1 |
|||
ˆ
ϕ1(q)Bψ2(q)dq
Z
˜ ˜
ˆ ˆ
ψ2(q)BAψ1(q)dq.
106
Отже, маємо |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
˜ ˜ |
||
|
|
ˆ ˆ |
|||
AB = |
BA, |
||||
g |
|
|
|||
ABˆ ˆ |
|
|
˜ |
˜ |
|
|
= Bˆ |
Aˆ , |
|||
g |
|
|
|
|
|
або остаточно |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ + |
= B |
+ + |
|||
(AB) |
A . |
||||
Якщо оператори є самоспряженими, то |
|||||
ˆ ˆ |
+ |
|
|
ˆ ˆ |
|
(AB) |
|
= BA. |
|||
Якщо ермiтовi оператори не комутують мiж собою, то їх добуток не буде ермiтовим. Дiйсно, за означенням самоспряженостi,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
+ |
ˆ ˆ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(AB) |
= AB. |
|
|
|||||||||
З iншого боку, за означенням спряженостi оператора, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
+ |
|
|
|
ˆ |
+ ˆ+ |
ˆ ˆ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(AB) |
|
= B A |
= BA, |
|
|
|||||||||
тобто, щоб виконувалась перша рiвнiсть, необхiдно: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB = BA. |
|
|
|||||||||
|
|
4◦. Симетризований добуток ермiтових операторiв. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
Для двох ермiтових операторiв симетризований добуток (AB+ |
|||||||||||||||||||||
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA)/2 є ермiтовим оператором. Справдi, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
ˆ ˆ ˆ ˆ + |
1 |
|
ˆ+ ˆ+ |
|
ˆ+ ˆ+ |
|
1 |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
1 |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
|||||||||||
|
2 |
(AB+BA) = |
|
2 |
(B A +A B |
|
) = |
2 |
(BA + AB) = |
2 |
(AB + BA). |
||||||||||||
|
|
5◦. Антисиметричний добуток iз множенням на i. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Оператор i(AB −BA)/2, що утворений ермiтовими оператора- |
|||||||||||||||||||||
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ми A, |
B, також є ермiтовим оператором: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(ABˆ ˆ − BAˆ ˆ) |
|
= |
− |
|
(BAˆ ˆ − ABˆ ˆ) = |
|
(ABˆ ˆ − BAˆ ˆ). |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||
107
6◦. Зображення довiльного оператора лiнiйною комбiнацiєю ер-
мiтових операторiв.
Очевидно:
ˆ ˆ ˆ+ ˆ − ˆ+
A = (A + A )/2 + i A A /2i,
i отже, |
|
|
ˆ ˆ |
ˆ |
|
A = B + iC, |
|
|
де |
|
|
ˆ ˆ ˆ+ |
ˆ |
ˆ+ |
B = (A + A )/2, |
C = (A |
− A )/2i |
ермiтовi оператори.
7◦. Обернений оператор ˆ−1 до оператора ˆ.
A A
За означенням,
ˆ ˆ−1 ˆ−1 ˆ
AA = A A = 1.
Якщо
ˆ+ ˆ−1
A = A ,
то такий оператор називають унiтарним оператором. Унiтарний оператор має важливу властивiсть:
ZZ
| ˆ |2 ˆ ˆ
Aψ(q) dq = (Aψ(q)) Aψ(q) dq
Z Z
ˆ+ ˆ | |2
= ψ (q)A Aψ(q) dq = ψ(q) dq,
тобто вiн зберiгає норму хвильової функцiї.
8◦. Функцiя вiд оператора ˆ.
A
ˆ |
|
|
|
|
|
|
Пiд функцiєю f(A) розумiємо розклад функцiї f(x) у ряд Тей- |
||||||
лора за степенями x iз замiною x на |
ˆ |
|
|
|
|
|
A: |
|
|
|
|
||
f(Aˆ) = f(0) + f′(0)Aˆ + |
f′′(0) |
Aˆ2 |
+ |
f′′′(0) |
Aˆ3 |
+ . . . . |
|
|
|||||
2! |
|
3! |
|
|
||
Як бачимо, це означення вимагає аналiтичностi функцiї f = f(x).
108
§ 9. Власнi функцiї i власнi значення операторiв
та їх фiзична iнтерпретацiя
Нехай ми вимiрюємо значення фiзичної величини A для де-
якої квантової системи, стан якої описується хвильовою функцiєю ψ(q). Поставимо питання: яке значення A ми отримаємо? Загалом
кажучи, воно не збiгається з середнiм значенням
Z
A |
i |
= ψ (q)Aψˆ |
(q)dq. |
h |
|
|
У кожному актi вимiрювання матимемо деякi вiдхилення вiд hAi, i лише багатократне повторення їх дасть нам iнформацiю про середнє A. Кiлькiсною характеристикою вiдхилень вимiрюваних значень A вiд hAi є середнє квадратичне вiдхилення. Для його розрахунку введемо оператор вiдхилення A вiд hAi:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = A |
− hAi, |
|
|
|
|
|
|
|
так що h |
A |
i |
= 0 Середнє квадратичне вiдхилення |
|
|
|||||||||||||
|
|
. |
|
d |
|
Z |
|
|
d d |
|
|
|||||||
h |
|
d |
i |
= |
Z |
(q)( |
d |
|
(q) |
|
|
|||||||
|
|
|
A)2 |
|
|
ψ |
A)2ψ(q)dq = ψ |
|
A Aψ(q)dq. |
|||||||||
( |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Використаємо самоспряженiсть оператора |
|
A: |
|
| |
|
|||||||||||||
h |
|
|
d |
|
i |
|
Z |
|
d |
|
Z |
| |
|
d |
|
|||
|
( |
|
A)2 |
|
= |
( Aψ(q))( Aψ(q)) dq = d( |
Aψ(q)) |
2dq. |
||||||||||
На цей вираз можна мати два погляди. Якщо нам вiдомий стан ψ(q), то ми можемо обчислити середнє квадратичне вiдхилення величини A. Ми також можемо знаходити за цiєю формулою такi невiдомi стани ψ(q), для яких середнє квадратичне вiдхилення
дорiвнює нулевi.
Саме другий погляд i вiдповiсть нам на питання, якi значення фiзичних величин одержуємо при вимiрюваннях.
Отже, нехай
|
A)2 |
|
= 0 |
або в явному виглядi: |
h(d |
i |
|
|
Z ( Aψ(q)) 2 dq = 0. |
||
|
|
|
|
|
d |
|
|
109
Оскiльки пiд iнтеґралом додатна величина, то цю умову можна записати так:
|
Aψ(q) |
|
або |
d |
= 0, |
ˆ |
ˆ |
|
(A |
− hAi)ψ(q) = 0. |
|
У станi ψ(q), який задовольняє це рiвняння, значення фiзичної ве-
личини точно дорiвнює своєму середньому значенню h ˆi. Тому
A A
надалi будемо опускати символ середнього:
ˆ
Aψ(q) = Aψ(q).
У загальному випадку це рiвняння має розв’язок не для довiльних значень A, а лише для певних A1, A2, . . . . Сукупнiсть A1, A2, . . . може утворювати як дискретний ряд значень, так i неперервний у деякому iнтервалi. Величини A1, A2, . . . назива-
ють власними значеннями оператора ˆ, а вiдповiднi цим власним
A
значенням функцiї ψ1(q), ψ2(q), . . . власними функцiями опе-
ратора ˆ. Сукупнiсть власних значень оператора ˆ називають
A A
спектром цього оператора. Таким чином, рiвняння на власнi значення можна записати у виглядi:
ˆ
Aψn(q) = Anψn(q),
числа n (це може бути сукупнiсть чисел) називають квантовими
числами.
У деяких випадках одному й тому ж власному значенню An вiдповiдають декiлька власних функцiй: ψn1, ψn2, . . . , ψns. Тодi говорять, що це власне значення An є виродженим s-кратно. Число s може бути й безмежним, тобто маємо безмежнократне
виродження.
Повернемось тепер до вимiрювання фiзичної величини A в ста-
нi , який не збiгається з власними функцiями оператора ˆ.
ψ(q) A
Якби ψ(q) = ψn(q), то кожне вимiрювання давало б одне й теж значення An за умови, що пiсля кожного вимiрювання ми повертаємо систему в стан ψn(q). Якщо стан ψ(q) 6= ψn(q), то в кожному
актi вимiрювання ми будемо отримувати, узагалi кажучи, рiзнi значення. Якi? На це дає вiдповiдь наступний постулат.
110