Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вакарчук І.О. Квантова механіка

.pdf

Скачиваний:

353

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

5.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 8810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

далi

c c i

h( c c −

c c

−i~

− hpi (x − hxi) ψ(x)dx

= Z ψ (x)

x p

−

= Z ψ (x)

x p + i~ − (x − hxi)

−i~dx − hpi ψ(x)dx

c c

= Z

ψ (x)( x p − x p)ψ(x)dx + i~ Z

ψ (x)ψ(x)dx = i~.

Позначимо

c c

I = h x

p +

i покажемо,

що це дiйсна

величина. Справдi,

c c

− hpi ψ (x)dx

I = Z

ψ(x) x i~

+ Z ψ(x) i~

− hpi

xψ (x)dx =

iнтеґруємо частинами

= Z ψ (x) −i~

− hpi

xψ(x)dx

−i~

− hpi

c c

+ Z ψ (x) x

ψ(x)dx = h

p xi + h x pi,

тобто I = I величина дiйсна.

Отже,

I + i~ 2

2 + ~2

≥

4 ,

h( x)2ih( p)2i ≥

= I

поклавши I = 0, ми лише пiдсилили нерiвнiсть. Остаточно:

x)2	(	p)2		~2
			i ≥ 4
h( c	ih	c

ми отримали математичне формулювання принципу невизначеностей Гайзенберґа.

У випадку класичної механiки, коли ~ → 0, ми маємо тривi-

альний результат

x)2	(	p)2	i ≥	0.
h( c	ih	c	i ≥

Таким чином, при вимiрюваннi таких фiзичних величин, як координати та iмпульси, є принциповi, неусувнi обмеження на точнiсть вимiрювання. Цi обмеження не пов’язанi з можливостями приладу, оскiльки принципово прилад може точно вимiряти, скажiмо, координату, h(Δx)2i = 0, залишаючи для iмпульсу повну невизначенiсть: h(Δp)2i = ∞. I навпаки, при точному вимiрюваннi iмпульсу, h(Δp)2i = 0, положення частинки є цiлком невизначеним: h(Δx)2i = ∞. Отже, деякi вимiрювання стають несумiсними:

одне вимiрювання заперечує можливiсть одночасно здiйснити iнше. Мова йде про обмеження, яке встановила Природа (нерiвнiсть Гайзенберґа) на одночасне вимiрювання цих величин. Отже, в електрона можна виявити через вiдповiднi вимiрювання такi величини, як координату або iмпульс. Однак цi потенцiйнi можливостi вiн виявляє лише з обмеженнями. Iнакше кажучи, самi поняття координати та iмпульсу, якщо мова йде про їх одночасне приписування електрону, мають обмеження. Тут наша уява вiдмовляється нам служити, оскiльки йдеться не стiльки про вимiрювання як таке, а про застосування самих понять теорiї до опису явищ мiкросвiту.

Це цiна того, що Природа використала “хитрий” пiдрахунок iмовiрностi в мiкросвiтi через додавання амплiтуд iмовiрностей альтернативних можливостей. Обговорюючи це питання, обґрунтовуючи вибiр такої арифметики до явищ мiкросвiту, ми покликались на антропний принцип.

Прилади, що дають змогу виявляти частинки та здiйснювати вимiрювання їхнiх фiзичних властивостей, це фотоемульсiя, лiчильник частинок, камера Вiльсона, бульбашкова камера. В процесi вимiрювання фiзичних величин, що описують частинку з хвильовою функцiєю ψ(r), вiдбувається редукцiя хвильової

функцiї.

Розгляньмо, наприклад, вимiрювання iмпульсу частинки. Якщо вiдбувся акт вимiрювання i ми отримали значення iмпульсу p = p0, то це означає, що частинки описуються хвильовою

√

функцiєю eip0r/~/ V . Це своєю чергою означає, що в розкладi

X eipr/~

ψ(r) = C(p) √

ми отримаємо: |C(p)| = 1 для p = p0 i |C(p)| = 0 для p 6= p0.

Отже, пiд час вимiрювання хвильова функцiя ψ(r) редукується

√

до плоскої хвилi eip0r/~/ V .

Таким чином, квантовомеханiчний стан ψ потенцiйно мiстить

у собi “Все”: кожне вимiрювання вбачає в ньому “Щось” своє. Можливо, що кожен результат вимiрювання “закидає” у все iнший Свiт. Кiлькiсть цих Свiтiв незлiченна, а конкретна реальнiсть є неперервним процесом вимiрювань, тобто витягуванням з квантовомеханiчного ψ-моря всього ланцюга альтернативних результатiв

квантового вимiрювання. Цю ще одну iнтерпретацiю квантової механiки з паралельними Свiтами запропонував 1957 р. Г. Еверетт, що на ту пору був студентом вiдомого фiзика Джона Вiллера, учнем якого був i Р. Фейнман14.

Знайдемо стан ψ(x), у якому невизначеностi iмпульсу й коор-

динати є мiнiмальними:
x)2	(	p)2	i	=	~2
x)2	(	p)2		=	4 .
h( c	ih	c			4 .

14Iнодi можна натрапити на висловлювання про те, що фон Нейман, як

авторитетний математик, своїм твердженням про вiдсутнiсть схованих параметрiв вiдстрашив цiлi поколiння фiзикiв вiд творення альтернативних до Копенгаґенської iнтерпретацiй квантової механiки. На наш погляд, це не так. Фiзики змагались у перегонах розв’язування конкретних квантовомеханiчних задач, не дуже переймаючись труднощами з iнтерпретацiєю фундаментальних засад цiєї науки, але кожне поколiння мало своїх представникiв (Л. де Бройль, Д. Бом, Р. Фейнман, Г. Еверетт, Дж. Белл), якi шукали шляхiв до наочного пояснення поведiнки частинок у квантовому свiтi. По-перше, iсторiя свiдчить, що “божевiльнi iдеї” ґенеруються незалежно вiд того, чи є заборони авторитетiв на їх ґенерування, чи немає. По-друге, квантовомеханiчна наука, розвиваючись своїм природним шляхом, пiдштовхуючи розвиток iнструментальних можливостей перевiрки теоретичних наслiдкiв, отримала змогу перевiрити свої фундаментальнi засади. Це яскраво iлюструє експериментальна реалiзацiя квантової телепортацiї, що своєю чергою ставить на перший план розумiння нелокальностi кореляцiй або повертає до розгляду iдеї перенесення iнформацiї з надсвiтловою швидкiстю (наприклад, через тахiонний механiзм).

Щоб задовольнити цю умову, необхiдно врахувати двi вимоги:

1). Cf1(x) = f2(x),

C = const,

2). I = 0.

Тут нерiвнiсть Буняковського–Шварца перетворюється в рiв-

нiсть. Тобто

[

C xψ(x) = (Δp)ψ(x),

h x p + p xi = 0.

Явний вигляд

першого рiвняння:

−i~

− hpi ψ(x) = C xψ(x),

а його розв’язок

ψ(x) = A exp

(Δx)2

x +

A стала нормування, hpi = p0.

Друга умова дає

−

x c

= 0,

p + p x

= 2Δx p

pi = i .

Ми скористались тим, що

p x = xpˆ

pxˆ = i~.

Урахуємо, що

x c

− c

−

ψ (x)ΔxC xψ(x)dx

h x pi =

ψ (x)Δx pψ(x)dx = Z

Ch(Δx)2i,

i отримаємо

Ch(Δx)2i =

або					i~
	C =				i~			.

						2
Тому хвильова функцiя				2h(Δx)			i
Тому хвильова функцiя									.
ψ(x) = A exp					ip0x	−		(Δx)2
ψ(x) = A exp					~	−	4h(Δx)2i
З умови нормування
	∞
Z−∞ \|ψ(x)\|2dx = 1
знаходимо
\|A\|2
\|A\|2			2πh(Δx)2i = 1,
i, як завжди, з точнiстю	до фазового множника
i, як завжди, з точнiстю		p

A = (2πh(Δx)2i)−1/4.

Остаточно отримаємо шукану хвильову функцiю у виглядi вже знайомого нам хвильового пакета

ψ(x) =	1	exp	ip0x	−	(x − x0)2	,
	(2πh(Δx)2i)1/4				4h(Δx)2i
			~

x0 = hxi. Вона має назву мiнiмiзуючого хвильового пакета, тому

що описує стан, у якому нерiвнiсть Гайзенберґа перетворюється в рiвнiсть, тобто стан з мiнiмальними невизначеностями iмпульсу й координати.

Принцип невизначеностей Гайзенберґа дає змогу отримати низку важливих результатiв. Наведемо тут декiлька з них.

Приклад 1. Гармонiчний осцилятор. Використаймо спiввiдношення невизначеностей для оцiнки енерґiї осцилятора з гамiльтонiаном

ˆ	pˆ2		mω2		2
H =	2m	+	2	xˆ		,

тут xˆ = x оператор множення. Енерґiя

E =

Hˆ

hpˆ2i

mω2

xˆ2

2 h

З мiркувань симетрiї, очевидно, hpˆi = 0, hxˆi = 0. Тому

( p)2	i	=	h	pˆ2	pˆ 2	=	h	pˆ2	i	,
h c	i		h		i − h i		h		i

	h( x)2i = hxˆ2i − hxˆi2 = hxˆ2i.
Урахувавши це, iз	спiввiдношення невизначеностей знаходимо
Урахувавши це, iз	c
		hpˆ2i ≥		~2		.
		hpˆ2i ≥		4hxˆ2i		.
Отже, для енерґiї маємо
		~2			mω2			2
	E ≥		+				hxˆ		i.
	E ≥	8mhxˆ2i	+		2		hxˆ		i.

Змiнiмiзуємо праву частину цiєї нерiвностi за hxˆ2i: мiнiмум приносить hxˆ2i = ~/2mω. Для енерґiї отримаємо оцiнку

E ≥ ~2ω .

Отже, найнижче значення енерґiї гармонiчного осцилятора E = ~ω/2 енер-

ґiя нульових коливань.

Приклад 2. Ангармонiчний осцилятор. Знайдемо оцiнку знизу енерґiї частинки, що рухається в потенцiальному полi U(x) = αx4. Гамiльтонiан

pˆ2

+ αxˆ

H =

енерґiя

E = hHi = hpˆ i/2m + αhxˆ

Як i в попередньому прикладi,

h( p)2i = hpˆ2i,

(

x)2

xˆ2

отже, зi спiввiдношення

невизначеностей випливає

hpˆ2i ≥ ~2 .

4hxˆ2i

Використаймо далi очевидну нерiвнiсть

	h(ˆx2 − hxˆ2i)2i ≥ 0,
або		hxˆ4i ≥ hxˆ2i2.
Тому

E ≥	~2	+ αhxˆ4i ≥	~2	+ αhxˆ2i2.
	8mhxˆ2i		8mhxˆ2i

Мiнiмум правої частини цiєї нерiвностi отримуємо коли

hxˆ2i =			~2			1/3
						,
			16mα
при цьому енерґiя		2m2				.
E ≥ 8
	3			α~4	1/3

Цiкаво, що рiвнiсть у цiй формулi досягається для енерґiї N-вимiрної моделi в розрахунку на один ступiнь вiльностi при N → ∞.

Зробимо наближений розрахунок енерґiї основного стану ангармонiчного |x|-осцилятора з гамiльтонiаном

ˆ	pˆ2
H =	2m	+ α\|xˆ\|.

Використовуючи мiркування з попереднiх прикладiв, маємо:

+ αh|xˆ|i.

E = hHi ≥

8mhxˆ2i

Мiнiмуму енерґiї

досягаємо при

Припустимо, що h|xˆ|i phxˆ

2/3

hxˆ2i =

4mα

причому

~2α2

1/3

~2α2

1/3

= 1.190551

Забiгаючи наперед, укажемо, що точне значення числового коефiцiєнта дорiвнює 1.018793. Як бачимо, наше оцiночне значення енерґiї є досить близьким до точного.

Розгляньмо загальнiшу модель ангармонiчного осцилятора,

ˆ	pˆ2		k
H =	2m	+ α\|xˆ\| , α > 0, k > 0,
для якого енергiя
	E ≥		~2	+ αh\|xˆ\|ki.
	E ≥		8mhxˆ2i	+ αh\|xˆ\|ki.

Припустiмо, що хвильова функцiя, з якою вiдбувається усереднення для тих значень x, якi дають головний внесок у це усереднення, має ґауссiвський характер, ψ exp(−x2/4hxˆ2i). Тодi легко показати, що

h\|x\|k i =	2k/2		k		1	hxˆ2ik/2,
	√			+
			2		2
		π

мiнiмум правої частини нерiвностi для енергiї маємо при

~2√

k+2

hxˆ2i =

2mkα (k/2 + 1/2)

i остаточно

1 + k

~2√π 2 + 2

E 4m

2mkα k

k+2

При k = 1

~2α2

1/3

~2α2

1/3

= 1.024176

2π1/3

отже, маємо значно ближче значення енергiї до точного результату, оскiль-

ки тепер зв’язок h\|xˆ\|i =			2 xˆ2i/π є точнiшим, нiж наша попередня груба
прикидка h\|xˆ\|i = hxˆ2i1/2.		p h
При k = 4 енергiя
3			α~4	1/3		α~4	1/3
E			6		= 0.681420		,
	8		m2			m2

що також добре узгоджується з точним значенням числового коефiцiєнта 0.667986 . . . для енергiї основного стану цiєї моделi.

Приклад 3. Основний стан атома водню. Оцiнимо енерґiю основного стану. Зi спiввiдношення Гайзенберґа випливає, що iмпульс

p ~/a,

де a характерний масштаб довжини в цiй задачi, який за порядком вели-

чини дорiвнює середнiй вiдстанi мiж ядром й електроном. Середня енерґiя електрона

E = p2 − Ze2 , 2m r

r вiдстань мiж ядром й електроном, Z заряд ядра. Нехай


			~			,
r = a,		p =
				a
при цьому енерґiя	~2		Ze2
		−
E =					.
	2ma2		a

Розглядаємо невiдому енерґiю як функцiю параметра a, E=E(a). Виберемо a з умови E(a) = min: dE(a)/da = 0. Це дає

a = aB/Z,

~2 ˚ aB = me2 = 0.529 A

радiус Бора.
	~2m2e4Z2		Ze2me2Z		me4Z2		e2Z2
E =		−		= −		= −
E =	2m~4	−	~2	= −	2~2	= −	2aB

енерґiя основного стану атома водню. Ми отримали точний результат, незважаючи на прикидний характер наших обчислень.

Приклад 4. Рiдкий гелiй. Кiнетична енерґiя атома, який локалiзований у рiдкому гелiї з невизначенiстю r,

K= 2m(Δr)2

енерґiя нульових коливань. Середня вiдстань мiж атомами в рiдкому ге-

лiї	4	˚		˚
лiї		He є порядку 4.5 A, розмiри атома – порядку 2.2 A, тому, приймаючи
		˚	◦	◦	K. Отже, \|U\| < K
r 0.5 A, отримаємо K 24				K. Енерґiя зв’язку U −7	K. Отже, \|U\| < K

i система атомiв знаходиться в “незв’язаному”, тобто в рiдкому станi, i лише при тиску 25 атм рiдкий гелiй 4He переходить у кристалiчний стан. Для 3He, внаслiдок меншої маси атома, енерґiя нульових коливань є ще бiльшою, i для його кристалiзацiї необхiдний тиск 30 атм. Отже, той факт, що ге-

лiй залишається рiдким навiть при температурi абсолютного нуля, є прямим наслiдком спiввiдношення невизначеностей Гайзенберґа.

Водень H2, хоч i легший, нiж гелiй, i енерґiя нульових коливань ще бiльша, однак замерзає при скiнченнiй температурi 14◦ K. Це пов’язано з силь-

ною взаємодiєю мiж молекулами водню.

Аатомарний поляризований водень (це новий квантовий газ атомiв водню

зпаралельними спiнами, енерґiєю зв’язку 5◦ K; такий стан реалiзується при

накладаннi сильного магнiтного поля), внаслiдок принципу невизначеностей, i при абсолютному нулi температури залишається в газоподiбному станi.

Приклад 5. Атомне ядро. З експерименту вiдомо, що енерґiя зв’язку нуклонiв у ядрi з розрахунку на один нуклон E0 8 MeV. З другого боку, ця

енерґiя, згiдно з принципом невизначеностей, за порядком величини дорiвнює ~2/2Ma2, де a лiнiйнi розмiри ядра (дiаметр), M маса протона:

E0 = 2Ma2 ,

або, увiвши атомнi масштаби з метою порiвняння їх з ядерними, маємо r

m me4 a = aB M 2~2E0 .

Беручи до уваги чисельнi значення

me4		M	1836,
	= 13.6 eV,
2~2		m

~2 ˚ aB = me2 = 0.529 A,

знаходимо оцiнку лiнiйних розмiрiв ядра

a = 3 × 10−5aB, a = 1.6 × 10−13 см.

Маючи лiнiйнi розмiри, можна оцiнити масу π-мезона mπ, так само використовуючи спiввiдношення невизначеностей. Iмпульс p ~/a, а з урахуванням p mπc знаходимо

mπ ac~ = m aaB α,

де так звана стала тонкої структури

α= e2 1 , ~c 137

а чисельно

mπ 240m.

Обидва значення a та mπ є достатньо близькими до спостережуваних. Отже, маса π-мезона на два порядки бiльша вiд маси електрона.

Тут цiкаво було б зупинитись i поговорити про спектр мас елементарних частинок. Електрон є частинкою з найменшою масою me 0.511 MeV серед частинок, що мають ненульову масу спокою15. Щобiльше, за масою

вiн пiдозрiло далеко вiдiрваний вiд iнших частинок. У чому рiч? Пiзнiше ми повернемось до цього питання.

15На сьогоднi експериментально встановлено, що нейтрино має масу спокою

не рiвну нулевi. Спочатку в моделi електрослабких взаємодiй нейтрино вважалося безмасовим, тодi як бiльшiсть теорiй Великого Об’єднання вимагає, щоб у нейтрино була маса, а експеримент установив лише її верхню межу. Наявнiсть маси в нейтрино частково розв’язує проблему темної матерiї Всесвiту i “дозволяє” явище нейтринних осциляцiй, що вирiшує проблему сонячних нейтрино.

У Прикладi 4 до §3 ми обговорювали проблему нейтринних осциляцiй, народжених в атмосферi Землi i вперше виявлених у лабораторiї SuperKamiokande (Японськi Альпи) в 1998 роцi групою японських та американських фiзикiв. Цi експерименти дають змогу оцiнити рiзницю мас одного з нейтрино вiдноcно мюонного νµ. За сучасними експериментальними даними маса кожного з типiв нейтрино є в межах вiд 0.04 eV до 0.28 eV.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 8810 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.20162.45 Mб8Візуальні джерела (2015 р.).pdf
#
14.02.2016118.78 Кб89вікова психологія 2 лекція.doc
#
22.11.2019271.57 Кб2ВІКТОРИНИ.docx
#
01.07.20253.49 Mб0Віталік то тобі.docx
#
01.04.202533.5 Кб0вітамінна недостатнісь 1.docx
#
14.02.20165.24 Mб353Вакарчук І.О. Квантова механіка.pdf
#
01.05.202531.43 Кб0ВАРІАНТ 1.docx
#
14.02.2016317.44 Кб11Варіант 13.doc
#
01.05.2025208.9 Кб0Варіант 3.doc
#
01.05.2025212.48 Кб0Варіант 4.doc
#
01.05.2025216.58 Кб0Варіант 6.doc