
- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом.
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
1. Поняття відображення або функції
Нехай X
іYдві
множини. Відображенням f
множини X
у множину Yназивається правило, яке кожному
елементу
ставить у відповідність один і тільки
один елемент
.
Замість слова "відображення" можна вживати "функція", "оператор", "відповідність".
Записи
означають, щоfє
відображенням множини X
у множину Y.
Для позначення функції вживаються й
інші букви, наприклад
.
Елемент y, який
відображення f
ставить у відповідність елементу
,
називається образом елемента
при відображенніfабо значенням відображення
fу точці
і позначається символом
.
Множина Xназивається областю визначення
відображенняfі
позначається
.
Множина
називається множиною значень відображення f.
Нехай
.
Образом множиниAпри відображенніf
називається множина
.
Прообразом множини
при відображенні
називається множина
.
Графіком функції
називається множина
.
Якщо
і
,
то функція
,
яка визначається формулами
називається складеною функцією, або
суперпозицією функційf
іg.
Приклади.
Відображення
називається відображенням множиниХ
на множину
або сур'єкцією, якщо
.
Відображення
називається взаємооднозначним
відображенням множини X
у множину Y
або ін'єкцією, якщо
Відображення
,
яке є сур'єкцією та ін'єкцією, називається
бієкцією. У цьому випадку говорять, що
здійснює взаємно однозначну відповідність
між множинами
і
.
Якщо
−
бієкція, то
Функція
називається оберненою до бієкції
,
якщо
та
.
Відображення
називається послідовністю елементів
із
.
Послідовність позначається так:
де
−
-ний
член послідовності.
2. Потужність множин
Множина, яка складається із скінченного
числа елементів, називається скінченною.
Для скінченної множини
число її елементів позначається
.
Скінченні множини можна порівнювати
за кількістю їх елементів. Виникає
питання, як можна порівнювати нескінченні
множини? Г. Кантор побудував теорію,
яка містить відповідь на поставлене
питання. Вихідним пунктом цієї теорії
є поняття потужності множини.
Множини
і
називаються рівнопотужними (мають
однакову потужність), якщо існує бієкція
.
Рівнопотужні множини позначають так:
A
~ B.
3. Зчисленні множини
Множина
називається зчисленною, якщоA
~ N. У цьому
випадку говорять, що елементи множини
можна занумерувати.
Мають місце наступні твердження:
Нескінченна підмножина зчисленної множини зчисленна.
Нескінченна множина містить зчисленну підмножину.
Об'єднання зчисленної множини зчисленних множин є зчисленною множиною.
Декартів добуток двох зчисленних множин зчисленний.
Існують незчисленні множини.
Доведення першого і другого твердження досить прості. Їх пропонується виконати самостійно. Спинимось на доведенні твердження 3.
Нехай
-
зчисленні множини. Тоді для кожного
.
Елементи об'єднання
цих множин можна подати у вигляді таблиці
…
…
…
…
…
…
…………………………………………
і занумерувати,
наприклад у порядку, вказаному стрілками.
Цим саме буде встановлена бієкція
.
Отже,
.
Аналогічно доводиться твердження 4.
Нехай
.
Тоді декартів добуток
складається із пар, які можна розташувати
в такому порядку
і занумерувати так, як зроблено в попередньому випадку.
Для доведення твердження 5 застосуємо діагональний метод (діагональну процедуру) Кантора.
Нехай
− множина всіх можливих нескінченних
ланцюгів, що складаються з двох символів,
наприклад 0 і 1, вигляду
Покажемо, що множина
незчисленна. Припустимо, що елементи
множини
занумеровані, тобто що множина
зчисленна. Нехай
де кожне
дорівнює 0 або 1. Утворимо елемент
,
поклавши
,
і кожне
відповідно дорівнює 0 або 1. Очевидно, що
,
але не збігається з жодним із занумерованих
елементів
.
А це суперечить тому, що всі елементи
множини
можна занумерувати.