3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.

Нехай інескінченно малі в точціфункції. Якщо, то говорять, щов околі точкиє нескінченно малою вищого порядку порівняно з, і пишуть.

Якщо , де, то функціїіназиваються нескінченно малими одного порядку в околі точки.

Якщо , де,додатне число, то функціяназивається нескінченно малою порядкувідносно нескінченно малої функції.

Якщо , то нескінченно малі функціїіназиваються непорівнянними в околі точки.

Якщо , то функціїіназиваються еквівалентними нескінченно малими в околі точки. У цьому випадку пишуть.

Теорема. Якщо прий існує границя, то існує границя, причому.

Доведення.

Наведена теорема дає можливість у багатьох випадках спрощувати знаходження границь.

Приклад.

При маємоотже,

Теорема. Для того, щоб функції ібули еквівалентними нескінченно малими в околі точки, необхідно й достатньо, щоб їх різницябула в околі точкинескінченно малою вищого порядку по відношенню до кожної з функційта.

Доведення. Нехай в околі точки. Тоді

Отже, необхідність доведено. Доведемо достатність.

Нехай .

Звідси маємо

.

Таким чином, , тобто в околі точки.

Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції

ЛЕКЦІЯ 12

27. Неперервність функції в точці.

28. Операції над неперервними функціями.

29. Класифікація точок розриву функції.

1. Неперервність функції в точці

Нехай функція визначена в деякому околі точки .

Функція називається неперервною в точці , якщо .

Наведемо означення неперервності функції, які ґрунтуються на означеннях границі функції за Гейне і за Коші.

Функція називається неперервною в точці, якщо для будь-якої послідовності відповідна послідовність значень збігається до .

Функція називається неперервною в точці , якщо для довільного числа існує числотаке, що для всіх, які задовольняють умову, виконується нерівність.

Наведені означення рівносильні.

Функція називається неперервною в точці справа (зліва), якщо .

Отже, функція неперервна в точці , якщо вона неперервна в цій точці як справа, так і зліва.

Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

Дійсно, умову можна записати як. Тоді

.

Отже, можна дати наступне означення неперервності функції в точці . Функція називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.

Уведене поняття неперервності функції є локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то говорять, що вона неперервна на інтервалі. Якщо при цьому в точціфункція неперервна справа, а в точці– неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку .

Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").

2. Операції над неперервними функціями

Теорема. Якщо функції неперервні в точці, то функціїу точцітакож неперервні.

Доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь.

Теорема (про неперервність складеної функції). Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , причому, то складена функціянеперервна, як функція від, у точці.

Доведення. Нехай задано довільне число . Тоді за неперервністю функції у точці знайдеться числотаке, щодля всіх, які задовольняють умову.

Для числа за неперервністю функціїу точцізнайдеться числотаке, щодля всіх, які задовольняють умову.

Отже, для довільного числа знайдеться числотаке, що з умовивипливає нерівність, а це означає, що функціянеперервна в точці.

Можна довести, що всі елементарні функції в області їх визначення неперервні.

Звернемо увагу на те, що з означення неперервності функції у точці випливає

.

Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких спирається на неперервність елементарних функцій.

1. .

Доведення.

.

Якщо , то маємо:, тобто привиконується.

2. .

Доведення. Покладемо . Тоді. Якщо, тоі.

.

Якщо , то маємо:, тобто присправедливо.

3. .

Доведення. Покладемо . Якщо, тоі.

Далі . Звідси маємо:. Тоді

Розглянемо степенево-показниковий вираз . Нехай . Запишемо

.

Оскільки , то. Звідси маємо

.

Зазначимо, що вирази є не визначеними. Для знаходження відповіді на питання, що є границею виразу, у цих випадках недостатньо знати лише границі функцій, потрібно знати закон, за яким вони прямують до своїх границь.

3. Класифікація точок розриву функції.

Точка називається точкою розриву функції, якщо функціяу точціне є неперервною.

Точки розриву класифікують наступним чином.

Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто

,

але відмінні від значення функції в точціабо значенняне існує, то точканазивається точкою усувного розриву функції.

Якщо в точці функціямає скінченну границю справа і скінченну границю зліва й, то точканазивається точкою розриву функціїіз скінченним стрибком.

Розриви другого роду. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці функція не має принаймні однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь є нескінченною.

Кусково-неперервні функції.Функціяназивається кусково-неперервною на відрізку, якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках, за винятком, можливо, скінченного числа точок, у яких має розрив 1-го роду і , крім того, має односторонні границі в точкахта.