1. Поняття метричного простору

Означення метричного простору. Багато фундаментальних фактів математичного аналізу не пов'язані з алгебраїчною природою дійсних чисел, а спираються лише на поняття відстані.

Узагальненням уявлень про дійсні числа як про множину, в якій уведено відстань між елементами, є поняття метричного простору.

Метричним простором називається пара , що складається з деякої множиниелементів (точок) і відстані– однозначної, невід'ємної функції, визначеної для будь-якої пари, яка задовольняє наступні аксіоми:

1. тоді і тільки тоді, коли ;

2. (аксіома симетрії);

3. (аксіома трикутника).

Сам метричний простір, як правило, позначається .

Множина дійсних чисел із відстанню

утворює метричний простір, що позначається .

Виконання аксіом метричного простору для введеної таким чином відстані випливає із властивостей абсолютної величини дійсного числа.

Відкритою кулею у метричному просторіназивається сукупність точок, які задовольняють умову

.

Відкрита куля радіуса з центромназивається-околом точкиі позначається.

У просторі відкритою кулею з центромє множина точок, для яких виконується нерівність

,

а − околом точкиє множина точок, для яких

.

Точка називається точкою дотику множини , якщо будь-який її окіл містить хоча б одну точку з. Сукупність усіх точок дотику множинипозначаєтьсяі називається замиканням цієї множини.

Точка називається граничною точкою множини, якщо будь-який її окіл містить нескінченно багато точок із.

Гранична точка може належати, а може і не належати .

Точка називається ізольованою точкою множини, якщо вона належитьі існує такий-окіл точки, у якому немає точок із, за винятком самої точки.

Усяка точка дотику множини є або гранична, або ізольована точка цієї множини.

Нехай – послідовність точок у метричному просторі . Говорять, що ця послідовність збігається в точці, якщо таке, що .

Інакше це означення можна сформулювати так: послідовність збігається до, якщо.

Теорема. Щоб точка була точкою дотику множини , необхідно і достатньо, щоб існувала послідовністьточок із, яка збігається до.

Нехай – дві множини простору . Множинаназивається щільною у, якщо. Зокрема, множинаназивається скрізь щільною у просторі , якщо.

Наприклад, множина раціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій.

Множина називається ніде не щільною, якщо вона не щільна в жодній кулі, тобто в кожній кулііснує інша куля, яка не має зжодної спільної точки.

Простори, в яких є злічена скрізь щільна множина, називаються сепарабельними.

Множина метричного просторуназивається замкнутою, якщо, тобто якщо вона містить усі свої граничні точки.

Відрізок числової прямої є замкнутою множиною.

Теорема. Переріз будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною.

Точка називається внутрішньою точкою множини, якщо існує окілцієї точки, який цілком міститься в.

Множина, всі точки якої − внутрішні, називається відкритою.

Інтервал числової прямоїє відкритою множиною.

Теорема. Щоб множина була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповненнядо всього просторубуло замкнутим.

Теорема. Об'єднання (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною. Переріз (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 1.5. Усяка відкрита множина на числовій прямій є сумою (об'єднанням) скінченного або зчисленного числа інтервалів, які попарно не перетинаються (не мають спільних елементів).