Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які дотикаються до осі та до кола.

Розв’язання.Нехай точканалежить шуканій множині точок (рис. 8). Тоді відстань від неї до осібуде рівна, а відстань від неї до центра заданого кола (точки) дорівнюватиме. Оскільки радіус заданого кола рівний 2, а змінного кола, то

=+2.

Перетворюючи одержане рівняння та враховуючи те, що за змістом задачі , дістаємо, звідки, або. Із одержаного рівняння робимо висновок, що шукана множина точок утворює параболу.

Відповідь. Парабола .

Задача 2. Дослідити множину точок площини, відношення відстаней від кожної з яких до заданої точки та точкидорівнює 2.

Розв’язання.Нехай точканалежить шуканій множині точок. Тоді відстань від неї до точкибуде рівна, а відстань від неї до точкидорівнюватиме. Оскільки за умовою задачі, то=2, звідки після очевидних перетворень дістаємо рівняння, або.

Відповідь. Шукана множина точок утворює коло з центром у точці , радіус якого 4.

Задача 3. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні , рахуючи від вершини.

Розв’язання.Нехай задано трикутникОВС.Виберемо систему координат у вигляді репера(рис. 9). Тоді точки,табудуть серединами сторінтавідповідно. Складемо рівняння медіанта, користуючись рівнянням прямої у відрізках на осях. Дістаємоабо,або. Нехай прямі перетинаються у точці . Її координати ми знайдемо із системи

,

розв’язуючи яку, дістаємо . Рівняння медіаниможна шукати у виді, оскільки прямапроходить через початок координат і не співпадає з віссю. Підставляючи координати точки, дістаємо , тобто. Отже, рівняння медіанимає вигляд. Підставляючи знайдені вище координати точкив одержане рівняння, переконуємось у тому, що точканалежить медіані, тобто медіани перетинаються в одній точці. Порівнюючи координати векторівта, встановлюємо, що. Аналогічно можна переконатися, що,.

Задача 4. Знайти ортоцентр (точку перетину висот) трикутника з вершинами у точках ,, та.

Розв’язання.Рівняння висоти складемо, знаючи вершинуА та знайшовши вектор , який перпендикулярний до висоти. Скориставшись співвідношенням (7), дістаємоабоАналогічно, знайшовши вектор, дістаємо рівняння висоти:або. Ортоцентр (точку) знаходимо, розв’язавши систему рівнянь

Відповідь. .

Задача 5. Знайти сторону квадрата, вписаного у прямокутний трикутник з катетами , знаючи, що дві сторони квадрата належать катетам трикутника.

Розв’язання. Нехай сторона квадрата рівна . Введемо в розгляд систему координат, вибравши початок координат у вершині прямого кута та спрямувавши координатні осі вздовж катетів трикутника. Скориставшись рівнянням прямої у відрізках на осях, запишемо рівняння гіпотенузи у виді Оскільки вершина квадрата, яка належить гіпотенузі, має координати то виконується рівністьзвідки.

Відповідь. .

Задача 6. Довести, що середини паралельних основ трапеції, точка перетину її діагоналей та точка, в якій перетинаються прямі, яким належать бічні сторони, перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай - задана трапеція, точкита-середини основта,-точка перетину діагоналей,- точка перетину прямихта, яким належать бічні сторони (рис. 10). Введемо в розгляд систему координат. Очевидні координати точок:, де числодорівнює відношенню довжин меншої та більшої основ. Покажемо, що точкитаналежать прямій. Рівняння прямоїзнайдемо, користуючись рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки. Дістаємо, або.

Для відшуканняточки складемо рівняння діагоналей. Рівняння діагоналізапишеться у видіабо(ми використали рівняння прямої у відрізках на осях), а рівняння діагоналі шукатимемо у виді. Підставляючи координати точки, отримуємо, звідки. Із системи рівняньзнаходимо. Знайдені координати точкизадовольняють рівняння прямої.

Для відшукання точки складемо рівняння прямої:. Підставляючи в одержане рівняння значення, дістаємо. Залишається переконатися, що знайденікоординати точки теж задовольняють рівняння прямої. Цим самим розв’язання задачі завершується.

Зауважимо, що є інші доведення даного твердження. Зокрема одним із них, яке ґрунтується на застосуванні гомотетії, ми зустрінемося дещо пізніше.