4. 2.4. Формализованная симплекс-таблица

Процедура отыскания экстремума с помощью симплекс-метода может оформляться в виде специальной таблицы (формализованной симплекс-таблицы). Разберем эту таблицу на примере. Для этого преобразуем рассмотренную выше задачу к такому виду, чтобы можно было применить симплекс-метод. С этой целью введем дополнительные переменные x_n+i:

x₃ = –x₁ + 2x₂ +2  0;

x

(2.9)

₄ = x₁ + 4x₂ – 8  0;

x₅ =- x₁ – x₂ + 10  0;

x₆ = 2x₁ – x₂ + 2  0;

L = –4x₁ + x₂.

Пример. Пусть система ограничений с введением переменных задана в виде равенств (2.9), т.е.

x₁ – 2x₂ + x₃ = 2;

–x₁ – 4x₂ + x₄ = –8;

x₁ + x₂ + x₅ = 10;

–2x₁ + x₂ + x₆ = 2.

Минимизируем L = –4x₁ + x₂ при x_i  0, i = 1, 2, .... 6. Очевидно, что решение x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = = 2, x₄ = –8, x₅ = 10, x₆ = 2 удовлетворяет уравнениям (2.9), но не удовлетворяет условию x_i  0 и поэтому не является базисным. Выбираемые небазисные переменные образуют косоугольную систему координат в ранее рассмотренной геометрической интерпретации.

Будем считать, что x₃, x₄ – небазисные переменные, и выразим через них базисные переменные и величину L:

x₁ = –2/3x₃ + 1/3x₄ +4;

x₂ = 1/6x₃ + 1/6x₄ + 1;

x

(2.10)

₅ = 1/2x₃ – 1/2x₄ + 5;

x₆ = –3/2x₃ +1/2x₄ + 9;

L = 17/6x₃ – 7/6x₄ – 15.

Посмотрим, не достигла ли L своего минимального значения. Коэффициент при x₄ отрицательный, следовательно, возрастание приведет к дальнейшему уменьшению L. Однако при этом необходимо следить, чтобы x₁, x₂, x₅, x₆, которые зависят от x₄, не стали отрицательными, т.е. не вышли из допустимой области. Так как увеличение x₄ приводит к увеличению x₁, x₂, x₆, то для этих переменных такой опасности не существует. Рассматривая переменную x₅, убеждаемся, что максимально допустимое значение x₄ может быть x₄ = 10. При этом:

x₁ = 22/3; x₂ = 8/3;

x₃ = 0; x₅ = 0; x₆ = 14.

Поэтому за новый базис могут быть приняты переменные x₁, x₂, x₄, x₆, т.е. мы перешли к вершине x₃= 0, x₅= 0. Для того чтобы приступить к следующему шагу, необходимо выразить эти базисные переменные и L через небазисные (через координаты новой косоугольной системы координат). В итоге получим:

x₁ = –1/3x₃ – 2/3x₅ +22/3;

x₂ = 1/3x₃ – 1/3x₅ + 8/3;

x₄ = x₃ – 2x₅ + 10;

x₆ = –x₃ + x₅ + 14;

L = 10/3x₃ + 7/3x₅ – 80/3.

Совершенно очевидно, что как бы мы ни увеличивали x₃, x₅, уменьшить L не удается. Следовательно, достигнуто окончательное решение, при котором

x₁ = 22/3; x₂ = 8/3;

x₄ = 10; x₆ = 14;

L_мин = –80/3.

Вычисление удобно оформлять в виде симплекс-таблицы для каждого шага. Вначале уравнения и линейную форму L на каждом шаге записывают так, что свободные члены располагаются в правой части:

Первый шаг:

x₃ + x₁ – 2x₂ = 2;

x₄ – x₁ – 4x₂ = –8;

x₅ + x₁ + x₂ = 10;

x₆ – 2x₁ + x₂ = 2;

L + 4x₁ – x₂ = 0.

Второй шаг:

x₁ + 2/3x₃ – 1/3x₄ =4;

x₂ – –1/6x₃ – 1/6x₄ = 1;

x₅ –1/2x₃ + 1/4x₄ = 5;

x₆ +3/2x₃ – 1/2x₄ = 9;

L –17/6x₃ + 7/6x₄ = – 15.

Третий шаг:

x₁ +1/3x₃ + 2/3x₅ = 22/3;

x₂ –1/3x₃ + 1/3x₅ = 8/3;

x₄ –x₃ + 2x₅ = 10;

x₆ x₃ + x₅ = 14;

L –10/3x₃ – 7/3x₅ = –80/3.

Записи при вычислениях можно сократить, используя одну из форм симплекс-таблицы для каждого шага (табл. 2.1–2.3).

Симплекс-таблица 2.1 (первый шаг)

Базисная переменная	Свободный член в ограничениях	Небазисная переменная
		x1	x2
x3	2	1	-2
x4	-8	-1	-4
x5	10	1	1
x6	2	-2	1
L	0	4	-1

Симплекс-таблица 2.2 (второй шаг)

Базисная переменная	Свободный член в ограничениях	Небазисная переменная
		x3	x4
x1	4	2/3	-1/3
x2	1	-1/6	-1/6
x5	5	-1/2	1/4
x6	9	3/2	-1/2
L	-15	-17/6	7/6

Симплекс-таблица 2.3 (третий шаг)

Базисная переменная	Свободный член в ограничениях	Небазисная переменная
		x3	x4
x1	22/3	1/3	2/3
x2	8/3	-1/3	1/3
x4	10	-1	2
x6	14	1	1
L	-80/3	-10/3	-7/3

В строках, за исключением последней, записываются коэффициенты при соответствующих небазисных переменных, взятые со знаком минус, через которые выражена базисная переменная, соответствующая номеру строки.

На каждом шаге в базис включается одна из небазисных переменных, для которой положителен (или отрицателен в случае максимизации линейной формы) элемент, находящийся в самой нижней строке таблицы. Благодаря этому выбирается та переменная, увеличение которой приводит к уменьшению линейной формы (например на втором шаге переменная x₄). При этом надо помнить, что числа в самой нижней строке симплекс-таблицы равны коэффициентам при соответствующих небазисных переменных в линейной форме, взятых с обратным знаком. Одновременно вычеркиваем из базисных переменных ту, которая дает наименьшее отношение свободного члена к коэффициенту в столбце, при соответствующей выбранной небазисной переменной в ограничениях, причем отрицательные отношения не учитываются, так как соответствующие переменные не могут стать отрицательными. Например, для табл. 2.2 отрицательное отношение свободного члена во второй строке к коэффициенту при переменной x₄, которую рассматриваем на предмет возможности включения в базис, равно –6. Это указывает на то, что за счет увеличения переменной x₄ переменная x₂, которую предполагаем исключить из базиса, не обращается в нуль, что и соответствует уравнению

x = 1+ (1/6)x₃ + (1/6)x₄

(см. формулу 2.10). Поэтому ее исключать не следует. Геометрически это означает, что с включением переменной x₂ и исключением переменной x₄ вершина многогранника не будет достигнута. Для второго шага остается одна возможность – исключить x₅, при этом следующая вершина многогранника будет достигнута.

На пересечении строки, вводимой в базис переменной и столбца удаляемой переменной, находится элемент, называемый центральным или опорным, который отмечается звездочкой.

Напомним, что симплекс-таблица строилась для случая минимизации линейной формы.