Вопрос 1

Длину вектора называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным , если каждому вектору однозначно сопоставлено число- норма этого вектора.

Аксиомы нормированного пространства

1. Норма неотрицательна, т.е. . Норма=0 тогда и только тогда, если

2. Для любого числа справедливо равенство.

3. Если и- два вектора изL, то выполняется неравенство:

Существуют разные способы определения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму:

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма:

,

где *-символ комплексно-сопряжённой величины.

Квадрат нормы называется энергией сигнала

Такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Два сигнала иназывают ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

Предположим, что на отрезке задана бесконечная система функций, ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

1, если

0, если

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал в ряд:

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигналав выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером, умножим на неё обе части равенства (1.10) и затем проинтегрируем результаты по времени:

Вопрос 2 Ряд Фурье в комплексной форме.

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

,, (2.1)

где Т- период сигнала.

Найдём спектральное разложение такого сигнала.

В соответствии с формулой (1.10) получим спектральное разложение:

(2.2)

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.2) называется рядом Фурье данного сигнала.

Введём понятия основной частоты последовательности, образующей периодический сигнал. Примем интервал разложения отдо. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (1.12) запишем ряд Фурье для периодического сигнала:

(2.3)

с коэффициентами:

(2.4)

В общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать её амплитудой и начальной фазой. Для этого коэффициенты ряда Фурье записывают в виде:

, ,

так что:

Подставив эти выражения в (2.3), получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье:

(2.5)

которая иногда оказывается удобнее.

Изобразим коэффициенты ряда Фурье графически. Такое изображение называется спектральной диаграммой сигнала.

Спектры периодических сигналов являются дискретными. Спектральное разложение можно выполнить также, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

(2.6)

Функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированны на отрезке времени .

Тогда мы получим показательную форму записи ряда Фурье:

(2.7)

(2.8)

Выражение (2.7) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.8) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём . Слагаемые в ряде (2.7) с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары.

Отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.