Признаки сходимости числовых рядов

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

ТЕОРЕМА 1

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при, т.е. .

Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Для любого частичная сумма

.

Тогда _. 

Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Для этого ряда общий член и.

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при , т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.

Знакоположительные числовые ряды

Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.

ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)

Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.

Доказательство. Так как для любого , то, т.е. последовательность– монотонно возрастающая, поэтому для существования предела необходимо и достаточно ограничение последовательности сверху каким-либо числом.

Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда:

(1)

и

(2)

причем, начиная с некоторого номера , для любоговыполняется неравенствоТогда:

1. из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2. из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.расх.

Доказательство. 1) Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, докажем теорему для случая . Пусть для любогоимеем

, (3)

где и — соответственно частичные суммы рядов (1) и (2).

Если ряд (2) сходится, то существует число . Поскольку при этом последовательность — возрастающая, ее предел больше любого из ее членов, т.е. для любого . Отсюда из неравенства (3) следует . Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены сверху числом . Согласно теореме 2 этот ряд сходится.

2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1). 

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

1. - геометрический (он сходится при и расходится при);

2. –гармонический (он расходится);

3) - ряд Дирихле (он сходится при и расходится при).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

, ,,.

Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд на сходимость.

Решение

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как, то

(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд, т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд на сходимость.

Решение

1) Данный ряд знакоположительный, так как для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

.

3) Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд . Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь число , большее, чем . Из условия вытекает существование такого номера , что для всех справедливо неравенство, или, что то же,

(4)

Отбросив в рядах (1) и (2) первые членов (что не влияет на сходимость), можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех Но ряд с общим членом сходится в силу сходимости ряда (2). Согласно первому признаку сравнения, из неравенства (4) следует сходимость ряда (1).

Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как

то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2). 

Если при(необходимый признак сходимости), то из условия, следует, чтои– бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при). Следовательно, если дан ряд , где при, то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при :

1) ; 4);

2) ; 5);

3) ; 6).

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение

Данный ряд знакоположительный, так как для любого.

Так как , то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд. Поскольку предел отношения общих членовиконечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд по двум признакам сравнения.

Решение

Данный ряд знакоположительный, так как , и. Поскольку, то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд. Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие (здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд– расходится.

ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то ряд сходится прии расходится при.

Доказательство. Пусть . Возьмем какое-либо число, заключенное между и 1: . Из условия следует, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

; ;(5)

Рассмотрим ряд

(6)

Согласно (5) все члены ряда (6) не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии Поскольку, эта прогрессия является сходящейся. Отсюда в силу первого признака сравнения вытекает сходимость ряда

Случай рассмотрите самостоятельно.

Замечания:

1. Если , теорема 5 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.

2. Признак Даламбера дает оценку и остатка ряда. Из неравенства

,

следует, что остаток ряда

.

3. Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Решение

Данный ряд знакоположительный и

.

(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).

Так как

то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Данный ряд знакоположительный и . Поскольку

,

то данный ряд сходится.

ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то приряд сходится, а приряд расходится.

Доказательство аналогично теореме 5.

Замечания:

1. Если , теорема 6 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.

2. Если , то ряд расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Данный ряд знакоположительный, так как для любого. Поскольку вычисление пределавызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.

Так как

,

то по признаку Коши данный ряд расходится.

ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши)

Пусть дан ряд

(7)

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, далее — функция, которая определена для всех вещественных , непрерывна, не возрастает и