Учреждение образования «высший государственный колледж связи» числовые и степенные ряды

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

по дисциплине

«Высшая математика»

для студентов уровней ССО и ВО всех специальностей

Минск 2007

Составители: Г.А. Гладкова, Л.Л. Гладков

Приведен теоретический материал по теме «Числовые и степенные ряды», причем большинство теорем дается с доказательствами. Рассмотрен ряд примеров по исследованию сходимости рядов, а также практическое применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

Рецензент: Л.А. Рябенкова

Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф

28 апреля 2005 г., протокол № 9

Зав. кафедрой Л.Л. Гладков

Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда

Определение

Если дана бесконечная последовательность чисел ,,,..., то выражение вида

(1)

называется числовым рядом; числа ,,,...– членами (элементами) ряда, – общим членом ряда, если не зафиксировано.

Пример 1. Дан ряд , где общий член . Найти.

Решение

Заменяя в общем члене на, получим.

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Если дан ряд (1), то сумма первых n членов этого ряда называется ой частичной суммой и обозначается через . Следовательно, суммы

– 1-ая частичная сумма;

– 2-ая частичная сумма;

– 3-ая частичная сумма;

 – ……………………….

– ая частичная сумма;

... – ……………………….

образуют последовательность частичных сумм ,, ...,, ...

Определение

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть . При этом числоназываетсясуммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм не имеет конечного предела при, то этот ряд называетсярасходящимся.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометрический ряд)

, .

Решение

Из элементарной математики известно, что сумма n членов геометрической прогрессии . Отсюда следует, что если, то геометрический ряд сходится и его сумма. Если же, то геометрический ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Так как , тоая частичная сумма данного ряда

Эта сумма при имеет предел

.

Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице.

Основные свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный отбрасыванием из него любого конечного числа членов.

2. Пусть даны ряды ,и. Если оба рядаисходятся, а их суммы соответственно равныи, то сходится и ряд , причем его сумма равна.

3. Если ряд сходится и имеет сумму, то сходится и ряд, причем его сумма равна числу, где.

4. Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, не изменяющей порядок расположения членов ряда, и суммы этих рядов одинаковы. К примеру, еслисходится и его сумма равна, то ряд

также сходится, и его сумма равна .

Эти свойства доказываются с помощью определения сходящихся рядов. Для примера докажем второе свойство.

Пусть ,,

,,

.

Очевидно, что при любом . Тогда, что доказывает рассматриваемое свойство. - данный знак означает окончание доказательства теорем.