Исследование на оптимальность опорного плана при решении злп на

Заполним симплексную таблицу (табл. 1.2), исходя из задачи, записанной в виде:

; (1.20)

(1.21)

где , а – предпочтительные переменные.

Если начальный опорный план был найден методом Жордановых исключений, то воспользуемся таблицей, в которой уже найден начальный опорный план.

Оценками называются элементы симплексной таблицы, расположенные на пересечении последней строки (Z-строки) и столбцов «СП» (элементы табл. 1.2).

1. Если все оценки положительные (отрицательные) – найденный в таблице план оптимальный и единственный.

2. Если все оценки неотрицательные (неположительные), т.е. наряду с положительными (отрицательными) оценками присутствуют нулевые, – найденный в таблице план оптимальный, но не единственный.

3. Если есть отрицательные (положительные) оценки, а в соответствующих им столбцах нет положительных элементов, то целевая функция неограниченна и задача не имеет решения.

4. Если есть отрицательные (положительные) оценки и в соответствующих им столбцах есть положительные элементы, то можно перейти к новому опорному плану, более близкому к оптимальному.

Переход к новому опорному плану

1) В табл. 1.2 выбираем разрешающий элемент в столбце с наибольшей по абсолютной величине отрицательной (положительной) оценкой. Пусть столбец будет разрешающим, тогда еслидля, то– разрешающий элемент.

2) Перейти к новому плану преобразовав симплексную таблицу по алгоритму шага Жордановых исключений.

Пример 1.17

Решить симплексным методом ЗЛП, составленную в примере 1.2.

Решение

В предыдущем примере 1.16 для этой задачи был найден начальный опорный план. Для проверки его на оптимальность воспользуемся табл. 1.6, в которой он записан. Т.к. среди оценок есть положительные оценки, то найденный опорный план не оптимален. Поскольку единственная положительная оценка находится в столбце , то он и будет разрешающим. Составим отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам этого столбца (табл. 1.7). По наименьшему отношению выберем разрешающую строку. Т.к., то-строка будет разрешающей. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки найдем разрешающий элемент «1» (табл. 1.7).

Таблица 1.7

		СП
БП	1			отношения
	6,2	0	0,8	6,2/0,8
	6	0,5	0	–
	3,8	1	–0,8	–
	4	–0,5	1	4/1
Z	61,6	–6	2,4

Шаг Жордановых исключений переводит табл. 1.7 в табл. 1.8, в которой будет получен новый опорный план, более близкий к оптимальному.

Таблица 1.8

		СП
БП	1
	3	0,4	–0,8
	6	0,5	0
	7	0,6	0,8
	4	–0,5	1
Z	52	–4,8	–2,4

Т.к. все оценки отрицательные, то полученный в табл. 1.8 опорный план оптимален и единственен. Выпишем его, приравняв свободные переменные к нулю, т.е. , а базисные переменные – к соответствующим элементам столбца «1», т.е..

Итак, оптимальный план, и.

Перейдем к решению исходной задачи (имеющей переменные ):и.

Пример 1.18

Решить симплексным методом ЗЛП примера 1.14.

Решение

Воспользуемся найденным в примере 1.14 начальным опорным планом.

Для проверки плана на оптимальность заполним симплексную таблицу (табл.1.9), переписав М-задачу в виде (1.20 – 1.21):

Таблица 1.9

			СП
БП	1				отношения
	2	–1	4	–1	2/4
	8	0	1	2	8/1
	6	0	–3	4	–
Z	2М	–М–6	4М+4	–М–1

Т.к. среди оценок есть положительные оценки, то найденный опорный план не оптимален. Поскольку единственная положительная оценка находится в столбце , то он и будет разрешающим. Составим отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам этого столбца (табл. 1.9). По наименьшему отношению выберем разрешающую строку. Т.к., то-строка будет разрешающей. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки найдем разрешающий элемент «4» (табл. 1.9). Шаг Жордановых исключений переводит табл. 1.9 в табл. 1.10, в которой будет получен новый опорный план, более близкий к оптимальному.

Таблица 1.10

			СП
БП	1
Z	–2	–5		0

Полученный в табл. 1.10 опорный план оптимален, но не единственен, т.к. наряду с отрицательными оценками присутствует нулевая оценка. Выпишем его, приравняв свободные переменные к нулю, т.е. , а базисные переменные – к соответствующим элементам столбца «1», т.е..

Итак, оптимальный план и. Перейдем к решению исходной задачи (имеющей переменные):и.

Пример 1.19

Решить симплексным методом ЗЛП:

Решение

Математическую модель задачи представим в канонической форме с неотрицательной правой частью:

Здесь каждое ограничение системы имеет предпочтительную переменную. Начальный опорный план найдем, приравняв свободные переменные ик нулю, а предпочтительные переменныеи– к правой части соответствующих ограничений. Итак, начальный опорный план:и.

Для проверки плана на оптимальность заполним симплексную таблицу. Для этого представим каноническую запись в виде (1.20 – 1.21):

Заполним симплексную таблицу:

		СП
БП	1			отношения
	2	2	–1	2/2
	4	1	0	4/1
	0	3	–1

Т.к. среди оценок есть отрицательная оценка, а в соответствующем столбце нет положительных элементов, то целевая функция неограниченна и задача не имеет решения.

Пример 1.20

Решить симплексным методом ЗЛП:

Решение

Математическую модель задачи представим в канонической форме с неотрицательной правой частью:

Найдем начальный опорный план ЗЛП методом Жордановых исключений. Для заполнения первой таблицы Жордана (табл. 1.11) представим каноническую форму записи в виде (1.18 – 1.19):

Здесь в первом ограничении предпочтительная переменная оставлена в левой части.

Таблица 1.11

		СП
БП	1				отношения
	2	2	1	0	2/1
0	12	3	4	–1	12/4
	5	–1	–4	0

Начальный опорный план будет найден, если в первом столбце таблицы все нули в ходе преобразований таблицы будут заменены переменными.

Пусть -столбец будет разрешающим. Для нахождения разрешающей строки составим отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам этого столбца. Т.к., то элемент «1» будет разрешающим. Шаг Жордановых исключений относительно найденного разрешающего элемента переводит табл. 1.11 в табл. 1.12.

Таблица 1.12

		СП
БП	1
	2	2	1	0
0	4	–5	–4	–1
	13	7	4	0

Т.к. в табл.1.12 есть 0-строка, в которой нет положительных элементов в основной части таблицы, то опорный план отсутствует, и задача не имеет решения вследствие несовместности системы ограничений.

Пример 1.21

Решить симплексным методом ЗЛП:

Решение

Математическую модель задачи представим в канонической форме с неотрицательной правой частью:

где .

Найдем начальный опорный план ЗЛП методом Жордановых исключений. Для заполнения первой таблицы Жордана (табл. 1.13) представим каноническую форму записи в виде (1.18 – 1.19):

где .

Здесь во втором ограничении предпочтительная переменная оставлена в левой части.

Таблица 1.13

		СП
БП	1					отношения
0	3	–3	3	–1	–1	3/3
	1	–1	1	–2	0	1/1
	0	–12	12	–2	0

Т.к. только в -столбце есть положительные элементы в основной части таблицы, то только он может быть разрешающим. Найдем отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам этого столбца. Этои(табл. 1.13). Т.к., то любая строка может быть разрешающей, но для получения начального опорного плана необходимо избавиться от нулей в столбце «БП», следовательно, целесообразно 0-строку взять разрешающей. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находим разрешающий элемент «3» и шаг Жордановых исключений переводит табл. 1.13 в табл. 1.14.

Таблица 1.14

		СП
БП	1
	1	–1
	0	0
	–12	0	2	4

В табл. 1.14 найден начальный опорный план: и. Этот опорный план оптимален, но не единственен, т.к. наряду с положительными оценками присутствует нулевая оценка.

Итак, оптимальный план и. Перейдем к решению исходной задачи (имеющей переменные, где):и.

Пример 1.22

Решить симплексным методом ЗЛП:

Решение

Математическую модель задачи представим в канонической форме с неотрицательной правой частью:

Найдем начальный опорный план ЗЛП методом Жордановых исключений. Для заполнения первой таблицы Жордана (табл. 1.15) представим каноническую форму записи в виде (1.18 – 1.19):

Здесь предпочтительные переменные иоставлена в левой части.

Таблица 1.15

		СП
БП	1					отношения
	6	3	2	–1	0	6/3
0	2	1	–4	0	–1	2/1
	5	1	–1	0	0	5/1
	20	8	5	–3	0

Пусть -столбец будет разрешающим. Найдем отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам этого столбца. Это,и(табл. 1.15). Т.к. минимальные отношения, то любая из этих двух строк (-строка или 0-строка) может быть разрешающей, но для получения начального опорного плана необходимо избавиться от нулей в столбце «БП», следовательно, целесообразно 0-строку взять разрешающей. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находим разрешающий элемент «1» и шаг Жордановых исключений переводит табл. 1.15 в табл. 1.16.

Таблица 1.16

		СП
БП	1				отношения
	0	14	–1	3	0/14
	2	–4	0	–1	–
	3	3	0	1	3/3
	4	37	–3	8

В табл. 1.16 найден начальный опорный план: и. Т.к. среди оценок есть положительные, то найденный план не оптимален. Перейдем к новому плану, более близкому к оптимальному. Выбираем разрешающий элемент в столбце с наибольшей по абсолютной величине положительной оценкой. Это будет-столбец. Найдем отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам этого столбца. Этои(табл. 1.16). Т.к., то элемент «14» будет разрешающим. Шаг Жордановых исключений относительно найденного разрешающего элемента переводит табл. 1.16 в табл. 1.17.

Таблица 1.17

		СП
БП	1				отношения
	0				0:
	2				–
	3				3:
	4

Т.к. среди оценок есть положительная, то найденный план не оптимален. Перейдем к новому плану, более близкому к оптимальному. Выбираем разрешающий элемент в столбце с единственной положительной оценкой. Это будет -столбец. По наименьшему отношению выбираем-строку разрешающей. Тогда элемент «» будет разрешающим. Шаг Жордановых исключений относительно найденного разрешающего элемента переводит табл. 1.17 в табл. 1.18.

Таблица 1.18

		СП
БП	1
	0
	2
	3
	4

Т.к. все оценки отрицательные, то полученный в табл. 1.18 опорный план оптимален и единственен. Выпишем его, приравняв свободные переменные к нулю, т.е. , а базисные переменные – к соответствующим элементам столбца «1», т.е..

Итак, оптимальный план, и.

Перейдем к решению исходной задачи (имеющей переменные ):и.

Задачи

Решить ЗЛП симплексным методом (1.5.1 – 1.5.8)

1.5.1 ; 1.5.3 ; 1.5.5 ; 1.5.7 ;

1.5.2 ; 1.5.4 ; 1.5.6 ; 1.5.8 ;

1.5.9 – 1.5.12

Решить задачи 1.1.5 – 1.1.8 (соответственно) симплексным методом.

1.5.13 – 1.5.16

Решить задачи 1.2.1 – 1.2.4 (соответственно) симплексным методом.

1.5.17 – 1.5.26

Решить задачи 1.3.3 – 1.3.12 (соответственно) симплексным методом.

1.5.27 – 1.5.34

Решить задачи 1.4.1 – 1.4.8 (соответственно) симплексным методом.