Шаг Жордановых исключений осуществляется по следующим правилам:

1. Элемент (либо ноль либо переменная) столбца «БП» в строке разрешающего элемента меняется местами с переменной .

2. Разрешающий элемент заменяется обратной величиной.

3. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент.

4. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный.

5. Прочие элементы вычисляются по формуле:

.

Или диагональ «прямоугольника», на которой расположен разрешающий элемент и преобразуемый элементназовем главной, а другую диагональ – побочной. Тогда преобразованный элементравен разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной диагоналях, деленной на разрешающий элемент.

6. 0-столбец вычеркивается.

Если система ограничений совместна, то через некоторое число шагов все нули в первом столбце «БП» будут замещены переменными и в таблице будетнайден начальный опорный план. Выпишем его, приравняв свободные переменные к нулю, а базисные переменные (столбец «БП») – к соответствующим свободным членам (столбец «1»).

Если в ходе Жордановых преобразований встретится 0-строка, в которой нет положительных элементов в основной части таблицы, то опорный план отсутствует, и задача не имеет решения вследствие несовместности системы ограничений.

Допустим, после некоторого числа шагов Жордановых преобразований все нули в левом столбце замещены переменными , т.е. получили табл. 1.2.

Таблица 1.2

				СП
БП	1		…		...
			…		...
...	...	...	…	...	...	...
			…		...
...	...	...	…	...	...	...
			…		...
			…		...

Тогда компоненты начального опорного плана будут:

БП: ,…,,…, ,

СП: .

Таким образом, начальный опорный план: , значение целевой функции на этом плане:.

Пример 1.16

Найти начальный опорный план ЗЛП, составленной в примере 1.2 методом Жордановых исключений и значение целевой функции на этом плане.

Решение

В примере 1.2 составлена ЗЛП:

;

Запишем ЗЛП в каноническом виде с неотрицательной правой частью.

;

Введенные дополнительные переменные иимеют экономический смысл, связанный с содержанием задачи. Здесь,– время простоя оборудования А₁ и А₂ соответственно.

Переменные ,являются предпочтительными и для заполнения таблицы Жордана перепишем задачу в виде (1.18 – 1.19):

;

Здесь в третьем и в четвертом ограничениях предпочтительные переменные иоставлены в левой части.

Заполним таблицу Жордана:

Таблица 1.3

		СП
БП	1					отношения
0	31	5	0	4	0	31/5
0	36	0	3	0	6	–
	10	1	1	0	0	10/1
	10	0	0	1	1	–
	0	–8	–7	–4	–2

Пусть -столбец будет разрешающим. Для нахождения разрешающей строки составим отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам этого столбца. Т.к. в этом столбце только два положительных элемента «5» и «1», то отношения будути. Поскольку, то элемент «5» и будет разрешающим. Шаг Жордановых исключений относительно найденного разрешающего элемента переводит табл. 1.3 в табл. 1.5. При этом в табл. 1.4 показан процесс вычисления элементов табл. 1.5.

Таблица 1.4

				СП
БП	1	0
0
Z

Таблица 1.5

			СП
БП	1				отношения
	6,2	0	0,8	0	–
0	36	3	0	6	36/6
	3,8	1	–0,8	0	–
	10	0	1	1	10/1
Z	49,6	–7	2,4	–2

Пусть теперь разрешающим будет -столбец. Найдем отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам этого столбца. Этои(табл. 1.5). Т.к., то вторая строка будет разрешающей. Итак, следующий разрешающий элемент будет «6», и шаг Жордановых исключений переводит табл. 1.5 в табл. 1.6.

Таблица 1.6

		СП
БП	1
	6,2	0	0,8
	6	0,5	0
	3,8	1	–0,8
	4	–0,5	1
Z	61,6	–6	2,4

Т.к. все нули в столбце «БП» замещены переменными, то в табл.1.6 найден начальный опорный план. Выпишем его, приравняв свободные переменные к нулю, т.е. , а базисные переменные – к соответствующим элементам столбца «1», т.е..

Итак, начальный опорный план: . Значение целевой функции на этом плане: .