Основные теоремы о пределах

Теорема. ( о единственности предела ) Если и , то .

Доказательство. Предположим, что , тогда , такое, что пересечение окрестностей ∩∅, но с другой стороны для и , такие, что

,

.

Но так как пересечение окрестностей равно пустому множеству, то мы получили противоречие.

⊠

Вычисление пределов значительно упрощается, если использо­вать теоремы о пределах суммы (разности), произведения и частного сходящихся последовательностей.

Теорема. Если функции и в точке имеют конечные пределы, т. е. , , то:

1) ,

2) ,

3) .

Теорема(о сравнении функций). Если в  и существуют конечные пределы и , то

.

Теорема. Если в  и существуют конечные пределы , то и .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при , если = 0 т.е. если для >0

Определение. Функция называется бесконечно боль­шой функцией (или бесконечно большой) при , если =

Аналогично определяются бесконечно малые функции при , –0, +0.

Например, функция при ¥ является бесконечно малой, поскольку, при — бесконечно большая, т. к. ¥.

Из приведенного примера следует, что функция, имеющая одно и то же анали­тическое выражение, при разных значениях может быть и бесконечно малой, и бесконечно большой.

Теорема. Если функция при — бесконечно большая, то функция при — бесконечно малая.

Верно и такое утверждение: если функция при — бесконечно малая, то функция при —бесконечно большая.

Например, функция при является бесконечно малой, то функция при — бесконечно большой, т.е.

, .

Теорема. Конечная сумма бесконечно малых функций в есть функция, бесконечно малая в .

Доказательство. Если , —бесконечно малые функции в , то = 0, .

Так как = 0,

то конечная сумма бесконечно малых функций действительно есть функция беско­нечно малая.

⊠

Теорема. Произведение бесконечно малой функции и функ­ции, ограниченной в , есть бесконечно малая функция.

Следствие 1. Произведение некоторого числа и бесконечно малой функции в есть бесконечно малая функция.

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых функций в есть бесконечно малая функция.

Теорема. Частное от деления бесконечно малой функции в на функцию , такую, что , есть беско­нечно малая функция.

Сравнение асимптотического поведения функций

Под асимпто­тикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности некоторой точки , понимают описание поведения функции вблизи точки , в которой функция, как правило, не определена.

Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, ко­торая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.

Определение. Если и — бесконечно малые функции в и

,

то они называются бесконечно малыми одного порядка малости при .

Определение. Если , — бесконечно большие функции и

,

то они называются бесконечно большими одного порядка роста при .

Определение. Если функции , — бесконечно малые и , то говорят, что является бесконечно малой функцией более вы­сокого порядка по сравнению с функцией .

Определение. Если функции , — бесконечно малые и

то они называются эквивалентными при .

Функции и , эквивалентные при , называют также асимптотически равными при .

Асимптотическое равенство (эквивалентность) функций обозначается символом ~ .

~.

Например, из первого замечательного предела следует

~ .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функ­ций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т. е. если при ~ и ~.

Доказательство.

Запишем

.

Переходя в этом равенстве к пределу при и учитывая, что и , находим

.

⊠

Данную теорема используют при вычислении пределов, так как каждую бесконечно малую (или только одну) можно заменить беско­нечно малой, ей эквивалентной.

Пример. Найти .

Решение. Так как ~ 7 при , то

.

Непрерывность функции в точке и на множестве

Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

1) функция определена в точке , т. е. ;

2) существует ;

3) .

Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1—3, то функция называется разрывной в точке , а точка — точкой разрыва.

Если воспользоваться определением предела функции в точке по Коши, то можно дать эквивалентное определение непрерывной функции в точке на языке « — ».

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любого заданного числа > 0 можно найти такое число > О (зависящее от и ), что для всех , для которых , будет выполняться неравенство .

В более краткой записи определение можно записать так:

непрерывна в точке

.

Так как — приращение аргумента, a — приращение функции в точке , то определение 2 можно сформулировать следующим образом: функция непрерывна в точке , если , т.е. при . Таким образом, получаем еще одно определение непрерывности.

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т. е. .

В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности.

Определение. Функция , определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки , называется непрерывной слева (справа) в точке , если существует предел слева (справа) функции и он равен .

Другими словами,

непрерывна справа в точке ,

непрерывна слева в точке .

Из определения односторонней непрерывности в точке следует, что функция , определенная в некоторой -окрестности точки , непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.

Определение. Функция , непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом мно­жестве.

Если X = , то для непрерывности функции на требуется, чтобы была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т. е. в точке а, и непрерывна слева на правом его конце, т. е. в точке b.