- •Часть I
- •Предел числовой функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Сравнение асимптотического поведения функций
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Дифференцируемость функции
- •Дифференциал функции
- •Производная сложной функции
- •2) Найдем дифференциал функции по промежуточному аргументу :
- •Производные высших порядков
- •Дифференцирование неявно заданных функций
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Теоремы о среднем значении
- •Правило Лопиталя
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
- •Необходимое условие существования экстремума функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции).
- •Асимптоты графика функции
- •Доказательство.
- •Общая схема исследования функции
- •Решение.
- •7. Для нахождения участков выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции
- •Литература
Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
Экстремум функции. Особую роль в исследовании поведения функции на множестве играют точки, разделяющие интервалы возрастания и убывания функции
Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует проколотая -окрестность точки , такая, что для всех выполняется неравенство <0 (>0) Значение называют локальным максимумом (минимумом) функции и пишут
().
Точки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.
Из приведенных рассуждений следует, что экстремумы функции носят локальный характер — это наибольшее или наименьшее значения функции по сравнению с близлежащими ее значениями.
Если функция на имеет несколько максимумов и минимумов, то возможен случай, когда максимум функции меньше ее минимума.
Например, на рисунке точки , являются точками максимума функции , а , — точками ее минимума, но <.
Наименьшее и наибольшее значения функции на в отличие от локальных ее экстремумов называют абсолютными минимумом и максимумом функции и обозначают ,
Необходимое условие существования экстремума функции
Теорема . Если в точке функция достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.
Доказательство. Пусть в точке достигает максимума. Тогда существует , такая, что >
>, при .
При >0,
При <0.
Если пределы левых частей этих неравенств при существуют, то это будут соответственно производные функции справа и слева:
0,
0.
Если производные функции в точке , то существует .
Если и отличны от нуля, то не существует.
Аналогично доказывается случай, когда — точка минимума.
⊠
Геометрический смысл этой теоремы заключается в следующем: в точках экстремума функции касательная к ее графику параллельна оси абсцисс, если в этих точках существует производная.
Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называют критическими или точками возможного экстремума. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называют стационарными.
Не всякая критическая точка функции является точкой ее локального экстремума. Например, производная функции в точке обращается в ноль, но не является точкой локального экстремума функции. В этой точке функция возрастает.
Достаточные условия существования экстремума
Теорема. (первый достаточный признак существования экстремума функции). Пусть — критическая точка непрерывной функции . Если при переходе через точку меняет знак с « + » на « — », то — точка локального максимума; если при переходе через точку меняет знак с « — » на « + », то — точка локального минимума; если при переходе через точку не меняет знак, то не является точкой локального экстремума.
Доказательство. Пусть — точка возможного экстремума, причем >0 и <0 .
Тогда по теореме о достаточном признаке возрастания и убывания функции функция возрастает при ( т.е. > ) и убывает при ( т.е. < ),
т. е. точка является точкой локального максимума.
Аналогично доказывается и существование точки локального
минимума.
Если сохраняет знак в окрестности точки , то в этой окрестности функция монотонна, т. е. точка не является точкой локального экстремума.
⊠
На рисунке дана геометрическая интерпретация точки локального максимума.
Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Стационарная точка функции , дважды дифференцируемой в , является точкой локального минимума , если > 0, и точкой локального максимума, если < 0.
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и > 0. Тогда в возрастает, но = 0, следовательно, в при переходе через точку меняет знак с « — » на « + » . Согласно первому достаточному признаку существования экстремума функции, точка является точкой локального минимума функции .
Если <0, то в '(х) убывает, но = 0, следовательно, в при переходе через точку производная функции меняет знак с « + » на « — » Тогда, согласно первому достаточному признаку существования экстремума функции, точка является точкой локального максимума функции .
⊠