Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:

1. Если функции иинтегрируемы в области, то интегрируемы в ней их сумма и разность, причем

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3. Если интегрируема в области, а эта область разбита на две непересекающиеся областии, то

.

4. Если иинтегрируемы в области, в которой, то

.

5. Если в области функцияудовлетворяет неравенствам,гдеинекоторые действительные числа, то

,

где – площадь области.

Доказательства этих свойств аналогичны доказательству соответствующих теорем для определенного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где область— прямоугольник, определяемый неравенствами,.

Предположим, что непрерывна в этом прямоугольнике и принимает в нем неотрицательные значения, тогда данный двойной интеграл равен объему тела с основанием, ограниченного сверху поверхностью, с боков — плоскостями,,,:

.

С другой стороны, объем такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

,

где — площадь сечения данного тела плоскостью, проходящей через точкуи перпендикулярной к оси. А так как рассматриваемое сечение является криволинейной трапецией , ограниченной сверху графиком функции, гдефиксировано, а, то

.

Из этих трех равенств следует, что

.

Итак, вычисление данного двойного интеграла свелось к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в скобках) считается постоянным.

Замечание.Можно доказать, что последняя формула верна и при, а также в случае, когда функцияменяет знак в указанном прямоугольнике.

Правая часть формулы называется повторным интегралом и обозначается так:

.

Аналогично можно показать, что

.

Из выше сказанного следует, что

.

Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Чтобы рассмотреть более общий случай, введем понятие стандартной области. Стандартной ( или правильной ) областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси пересекает границу области не более, чем в двух точках. Другими словами, пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.

Предположим, что ограниченная область является стандартной в направлении осии ограничена сверху графиком функции, снизу — графиком функции. ПустьR{,} — минимальный прямоугольник, в котором заключена данная область.

Пусть в области определена и непрерывна функция. Введем новую функцию:

,

тогда в соответствии со свойствами двойного интеграла

.

И, следовательно,

.

Поскольку отрезок целиком принадлежит областито, следовательно,при, а еслилежит вне этого отрезка, то.

При фиксированном можем записать:

.

Так как первый и третий интегралы в правой части равны нулю, то

.

Следовательно,

.

Из чего получаем формулу для вычисления двойного интеграла по области, стандартной относительно оси путем сведения к повторному интегралу:

.

Если область является стандартной в направлении осии определяется неравенствами,, аналогично можно доказать, что

.

Замечание.Для области, стандартной в направлении осейи, будут выполнены оба последних равенства, поэтому

По этой формуле осуществляется изменение порядка интегри­рования при вычислении соответствующего двойного интеграла.

Замечание.Если область интегрирования не является стандартной (правильной) в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму стандартных областей и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.

Пример. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями:,,.

Решение.Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Данная область является стандартной как относительно оси , так и относительно оси.

Вычислим интеграл, считая область стандартной относительно оси .

.

Замечание.Если вычислить интеграл, считая область стандартной относительно оси, мы получим тот же результат:

.

Пример. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями:,,.

Решение.Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Данная область является стандартной относительно оси .

.

Пример. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

Решение.Изобразим на рисунке область интегрирования.

Из пределов интегрирования находим линии, ограничивающие область интегрирования: ,,,. Для изменения порядка интегрирования выразимкак функции оти найдем точки пересечения:

,,.

Так как на одном из интервалов функция выражена двумя аналитическими выражениями, то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов.

.