Кратные интегралы Задачи, приводящие к двойным интегралам. Определение двойного интеграла
Задача об объеме цилиндроида. Рассмотрим
тело с основанием
,
лежащим в плоскости
,
ограниченное поверхностью
и цилиндрической поверхностью, образующие
которой параллельны оси
,
а направляющей служит граница области
.
Это тело называется цилиндроидом
(цилиндрическим брусом, или общим
цилиндром). Требуется вычислить объем
цилиндроида.
Чтобы решить задачу, область
разобьем произвольным образом на
частей
,
площади которых также обозначим через
соответственно. В каждой из элементарных
областей
(
)
выберем произвольную точку
и значение функции в этой точке
умножим на площадь области
.
Это произведение
равно объему цилиндрического тела с
площадью основания
и высотой
.
Составим сумму всех таких произведений:
.
Эта сумма выражает объем
ступенчатого цилиндрического тела,
приближенно заменяющего данный
цилиндроид,
.
Обозначим диаметр элементарной области
через
,
то есть наибольшее расстояние между
точками, лежащими на границе области,
а наибольший из этих диаметров — через
.
Очевидно, если
,
то
.Объемом
общего цилиндра является предел объема
соответствующего ступенчатого тела
при
:
.
Задача о массе пластинки. Рассмотрим
область
плоскости
,
ограниченную замкнутой линией, в которой
распределено вещество с плотностью
.
Такую область называют пластинкой.
Вычислим массу пластинки, предположив
известной функцию
.
Область
произвольным образом разобьем на области
,
площади которых обозначим теми же
символами. Предположим, что в каждой
элементарной области
плотность постоянна и равна плотности
в некоторой точке
этой области, т. е.
.
Тогда произведение
выражает приближенную массу элементарной
пластинки
,
а сумма всех таких произведений —
приближенную массу
всей пластинки, т. е.
.
Точное значение массы всей пластинки получим, перейдя к пределу при , где — наибольший из диаметров области :
.
Обе задачи привели к необходимости рассмотрения двумерной интегральной суммы
для функции
по области
и
ее предела при
.
Определение. Число
называется пределом интегральной суммы
при
,
если для любого числа
можно указать такое число
,
что при
выполняется неравенство
независимо от выбора точек в элементарных областях .
Определение. Двойным интегралом от функции по области называется предел ее интегральной суммы при , если он существует и не зависит от способа разбиения области и выбора точек :
.
При этом функция называется подынтегральной функцией, а область — областью интегрирования.
Двойной интеграл от функции по области обозначается также следующим образом:
.
Отметим без доказательства, что предел интегральной суммы существует, если функция непрерывна в замкнутой области, имеющей площадь. Если предел интегральной суммы существует, то функция называется интегрируемой в области . Следовательно, все непрерывные функции являются интегрируемыми, среди разрывных функций имеются интегрируемые и неинтегрируемые.
Из решения задач, рассмотренных выше, следует геометрический и физический смысл двойного интеграла:
1. Геометрический смысл: двойной интеграл
от функции
по области
равен объему цилиндроида с основанием
,
который ограничен сверху поверхностью
.
2. Физический смысл двойного интеграла: если неотрицательная функция выражает поверхностную плотность пластинки , то ее масса равна двойному интегралу от данной функции по данной области
.