Кратные интегралы Задачи, приводящие к двойным интегралам. Определение двойного интеграла

Задача об объеме цилиндроида. Рассмотрим тело с основанием, лежащим в плоскости, ограниченное поверхностьюи цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси, а направляющей служит граница области. Это тело называется цилиндроидом (цилиндрическим брусом, или общим цилиндром). Требуется вычислить объем цилиндроида.

Чтобы решить задачу, область разобьем произвольным образом начастей, площади которых также обозначим черезсоответственно. В каждой из элементарных областей() выберем произвольную точкуи значение функции в этой точкеумножим на площадь области. Это произведениеравно объему цилиндрического тела с площадью основанияи высотой. Составим сумму всех таких произведений:

.

Эта сумма выражает объем ступенчатого цилиндрического тела, приближенно заменяющего данный цилиндроид,

.

Обозначим диаметр элементарной области через, то есть наибольшее расстояние между точками, лежащими на границе области, а наибольший из этих диаметров — через. Очевидно, если, то.Объемом общего цилиндра является предел объема соответствующего ступенчатого тела при:

.

Задача о массе пластинки.Рассмотрим областьплоскости, ограниченную замкнутой линией, в которой распределено вещество с плотностью. Такую область называют пластинкой. Вычислим массу пластинки, предположив известной функцию.

Область произвольным образом разобьем на области, площади которых обозначим теми же символами. Предположим, что в каждой элементарной областиплотность постоянна и равна плотности в некоторой точкеэтой области, т. е.. Тогда произведениевыражает приближенную массу элементарной пластинки, а сумма всех таких произведений — приближенную массувсей пластинки, т. е.

.

Точное значение массы всей пластинки получим, перейдя к пределу при , где— наибольший из диаметровобласти:

.

Обе задачи привели к необходимости рассмотрения двумерной интегральной суммы

для функции по областии ее предела при.

Определение.Числоназывается пределом интегральной суммы при, если для любого числаможно указать такое число, что привыполняется неравенство

независимо от выбора точек в элементарных областях.

Определение. Двойным интегралом от функциипо областиназывается предел ее интегральной суммы при, если он существует и не зависит от способа разбиения области и выбора точек:

.

При этом функция называется подынтегральной функцией, а область— областью интегрирования.

Двойной интеграл от функции по областиобозначается также следующим образом:

.

Отметим без доказательства, что предел интегральной суммы существует, если функция непрерывна в замкнутой области, имеющей площадь. Если предел интегральной суммы существует, то функцияназывается интегрируемой в области. Следовательно, все непрерывные функции являются интегрируемыми, среди разрывных функций имеются интегрируемые и неинтегрируемые.

Из решения задач, рассмотренных выше, следует геометрический и физический смысл двойного интеграла:

1. Геометрический смысл: двойной интеграл от функции по областиравен объему цилиндроида с основанием, который ограничен сверху поверхностью

.

2. Физический смысл двойного интеграла: если неотрицательная функция выражает поверхностную плотность пластинки, то ее масса равна двойному интегралу от данной функции по данной области

.