8. Формула гріна
При розв’язанні практичних задач виникає необхідність переходу від криволінійного інтеграла до подвійного інтеграла й навпаки. Формула Гріна встановлює зв’язок між цими інтегралами
де L- є границя області D.
22
Формула Гріна залишається справедливою для будь-якої замкненої області D, яку можна розбити на кінчену кількість правильних замкнених областей.
Приклад
14. Обчислити
де
L-
коло
Розв’язок.
Використовуємо формулу Гріна і, оскільки область D – коло, переходимо до полярної системи координат:
Криволінійний
інтеграл не залежить від шляху
інтегрування, якщо підінтегральний
вираз є повним диференціалом деякої
функції U(x,y),
тобто
Необхідна та достатня умова того, що підінтегральний вираз є повним
диференціалом
деякої функції:
.
У
випадку, якщо
1.
-
узагальнена формула Ньютона-Лейбніца.
2. Криволінійний інтеграл по замкненому контуру дорівнює нулю.
Приклад
15. Обчислити
.
Розв’язок. Оскільки підінтегральний вираз є повний диференціал
то
=12-2=10.
23
Находження функції за її повним диференціалом
Якщо
,
тобто
, тоді
(при
русі по ламаній
-
шлях 1)
або
(при
русі по ламаній
-
шлях 2)
(рис. 8.1).
Якщо
дозволяє умова задачі, то у якості
точки
доцільно взяти точку
Рис. 8.1 Приклад 16. Перевірити, що вираз
є
повний диференціал, і знайти функцію.
Розв’язок.
Таким
чином, даний вираз є повним диференціалом
деякої функції. У якості
візьмемо
=
Таким
чином,
.
9. ВИКОРИСТАННЯ КРИВОЛІНІЙНОГО ІНТЕГРАЛА
1. Обчислення площі плоскої фігури
24
Приклад 17. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом:
,
(рис.
9.1).
Розв’язок.
Приймаючи до уваги симетрію фігури,
знайдемо площу її чверті. t
– кут, що змінюється у перший чверті
від 0 до
.
Рис. 9.1
Площа
всієї фігури будет дорівнювати
кв. од.
2.
Механічна робота А
змінної сили
при
переміщенні матеріальної точки вздовж
лінії L
визначається наступним чином:
.
Приклад
18. Поле утворено силою
.
Побудувати силу
у
кожній вершині квадрата
і
знайти роботу А
одиниці маси по контуру квадрата.
Розв’язок.
25
Рис. 9.2
10. ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ
І. Обчислити подвійний інтеграл:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
26
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
.
23.
27
24.
25.
ІІ. Змінити порядок інтегрування:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
28
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
ІІІ. Обчислити подвійний інтеграл за допомогою переходу
до полярної системи координат:
1.
D
-
кільце
:
2.
D
-
коло:
3.
,D
- кільце :
4.
D
- кільце :
5.
,D
- кільце :
6.
,D
- кільце :
7.
,D:
29
8.
D
- кільце:
9.
D:
10.
,D-
кільце :
11.
D
- кільце:
12.
,D:
13.
D
- кільце:
14.
D:
15.
D-
кільце:
16.
D
- кільце:
17.
D:
18.
D
- кільце:
19.
D
- кільце:
20.
D
- кільце:
30
21.
D:
22.
D:
23.
D
-
кільце:
24.
D:
25.
,
D:
ІV. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(
).
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13
31
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23. Паралелограм: А(1,-1), В(2,0), С(4,1), D(3,0).
24.
25.
V. Обчислити об'єми тіл, обмежених поверхнями:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(
7.
32
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
VІ. Обчислити криволінійний інтеграл (1-9); знайти функцію по її
повному диференціалу (10 - 13); обчислити криволінійний інтеграл за допомогою формули Гріна ( 14-20); обчислити площу плоскої фігури за
33
допомогою
криволінійного інтеграла (21-23
); визначити роботу силового поля
при переміщенні матеріальної точки
вздовж дуги кривої (24,25):
1.
L
-
дуга параболи
від т. О(0,0) до т. А(2,4).
2.
L - дуга параболи
від т. О(0,0) до т. А(2,4).
3.
L- відрізок прямої, що з'єднує точки
А(2,3),В(3,5).
4.
L- дуга параболи
(
).
5.
L- дуга параболи
від т.С(0,0) до т.D(4,2).
6.
L
-
кубічна
парабола
від
т. А(0,0) до т. В(2, 2).
7.
L
-
коло
8.
від т. А(2,0) до т. В(0,1) подузі
еліпса
9.
L -перша
арка циклоїди
від т. О(0,0)
до т. А(2
,0).
10.
11.
12.
13.
14.
L - контур,утворений
лініями
и
15.
L-
34
16.
L-
:
А(а,0),
В(а,
а),С(0,а).
17.
L-
:
А(1,1),
В(2,1),С(2,2).
18.
L
–
коло:
19.
L-
:
А(1,0),
В(2,0),С(1,2).
20.
L
–
коло:
(y>0), відрізки
прямих
21.
L:
(астроїда).
22.
(еліптичний
сегмент).
23.
(кардіоїда).
24.
L:
від т. А(2, 0) до т.В(-2, 0).
25.
L: