C_Kurs_Lekt / C_III_семестр / 17-6_Сортировка

Сортировка Лысый Д.А.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О СОРТИРОВКЕ И ПОИСКЕ

Основными операциями, выполняемыми над таблицами, являются упорядочение (сортировка) записей, поиск в таблице записи по заданному условию( по ключу ), удаление и вставка элементов. Сортировка является операцией расстановки записей таблицы в определенном порядке в соответствии с некоторым критерием упорядочения. Сортировка осуществляется в соответствии со значением ключей всех записей (напр., упорядочение фамилий по алфавиту или чисел по возрастанию ). Существует достаточно много методов сортировки, принципиально отличающихся друг от друга. Если таблица целиком помещается в оперативной памяти ЭВМ,то ее упорядочение называют внутренним. Если для хранения упорядочиваемых данных используются внешнее запоминающее устройство, то такое упорядочение называют внешним. Критериями оценки методов сортировки

сортировки и при рациональном выборе метода достигает некоторого минимума, зависящего от n - размера таблицы ( размер таблицы - количество содержащихся в ней записей). Методы внутренней сортировки можно разделить на две группы:

-методы, не требующие резерва памяти;

-методы, требующие резерва памяти.

Êпервой группе относятся такие методы, как метод выборки, "пузырька", вставки, Шелла. Ко второй группе относятся метод квадратичной

выборки, метод слияния и другие. Простые методы сортировки (выбором, обменом, вставкой) требуют приблизительно n**2 сравнений. Более сложные алгоритмы обычно обеспечивают получение результата за n*log2(n) сравнений в среднем: сортировка методом Шелла, слиянием, "быстрая сортировка". Однако оптимальной в любом случае сортировки не существует, так как их эффективность существенно зависит от типа ключей в таблице и их предварительной упорядоченности.

Оценки времени исполнения

Для оценки производительности алгоритмов можно использовать разные подходы. Самый бесхитростный – просто запустить каждый алгоритм на нескольких задачах и сравнить время исполнения. Другой способ – оценить время исполнения. Например, мы можем утверждать, что время поиска есть O(n) (читается так: о большое от n). Это означает, что при больших n время поиска не сильно больше, чем количество элементов. Когда используют обозначение O(), имеют в виду не точное время исполнения, а только его предел сверху, причем с точностью до постоянного множителя. Когда говорят, например, что алгоритму требуется время порядка O(n2), имеют в виду, что время исполнения задачи растет не быстрее, чем квадрат количества элементов. Чтобы почувствовать, что это такое, посмотрите таблицу 1.1, где

1

Сортировка Лысый Д.А.

приведены числа, иллюстрирующие скорость роста для нескольких разных функций

Таблица 1.1: Скорость роста нескольких функций

Если считать, что числа в таблице 1.1 соответствуют микросекундам, то для задачи с 1048476 элементами алгоритму с временем работы O(lg n) потребуется 20 микросекунд, алгоритму с временем работы O(n1.25) – порядка 33 секунд, алгоритму с временем работы O(n2) – более 12 дней. В нижеследующем тексте для каждого алгоритма приведены соответствующие O-оценки. Более точные формулировки и доказательства можно найти в приводимых литературных ссылках.

Обменная сортировка Название этой группы методов произошло от основного типа операций,

используемого в алгоритмах - обмен двух элементов в файле своими значениями. Эта операция используется и в других группах, поэтому классификацию нельзя признать вполне строгой, но данное разделение тем не менее является традиционным.

Метод пузырька Алгоритм довольно очевиден. Рассмотрим работу алгоритма на примере

файла из 16 элементов:

2

Сортировка Лысый Д.А.

Пары стоящих рядом элементов просматриваются в направлении снизу вверх и сравниваются. Если верхний элемент оказывается меньше нижнего по рисунку, то они меняются местами. Продолжая этот процесс циклически, мы в конце концов придем к отсортированному файлу. Файл расположен вертикально снизу вверх, чтобы эффект всплывающего пузырька выглядел более наглядно. Элементы с большим значением ключа "всплывают" наверх, после последовательных сравнений с соседними элементами.

Характеристики сортировки методом "пузырька" в худшем случае составляют n(n-1)/2 сравнений и n(n-1)/2 перестановок (худшим считается случай, когда элементы наиболее удалены от своих конечных позиций).

Среднее число сравнений и перестановок имеет порядок n**2 .

Модификация метода пузырька Модификация метода пузырька состоит в том, что файл можно

просматривать как с начала до конца, так и с конца до начала попеременно. Это несколько сокращает число перемещений элементов. Схема перемещений элементов будет в этом случае иметь следующий вид.

Проход 1 осуществлялся с начала в конец, проход 2 - с конца в начало, проход 3 снова с начала в конец и т.д. . Как видно из таблицы, этот алгоритм потребовал на 2 прохода меньше, чем исходный. Такой алгоритм называют «шейкерной» сортировкой.

Алгоритм пузырька имеет следующий вид (сортировка по возрастанию, «топим» мин. элемент). Улучшение – за каждым проходом уменьшаем число сравнений .

for(i=1;i<n,i++) for(j=n-1; j>=i, j--)

if(a[j-1]>a[j]) { x= a[j-1]; a[j-1]= a[j]; a[j]=x;}

3

Сортировка Лысый Д.А.

Алгоритм пузырька: Улучшение – выполняем проходы в разные стороны и «уменьшаем» число сравнений и используем признак завершения сортировки.

#define n 15 // число элементов

...

int j, ende=1,l=1, r=n-1, k=n-1; do {

for(j=l;j>0;j--){

if(a[j-1]>a[j]) { x= a[j-1]; a[j-1]= a[j]; a[j]=x; k=j, ende=0;} l=k+1;

for(j=l;j<=r;j++){

if(a[j-1]>a[j]) { x= a[j-1]; a[j-1]= a[j]; a[j]=x; k=j, ende=0;} r=k-1;

if (ende) break; ende=1;

}

while (!(l>r))

Сортировка посредством выбора

Идея метода довольно проста: найти наибольший элемент массива поставить его на место N, найти следующий максимум и поставить его на место N-1 и т.д. до 2-го элемента. Схема алгоритма имеет следующий вид.

for (j=n-1, j>0, j--) { m=j; x=k[m]; for(i=j-1; i>=0,i--)

if(x < k[i]) {x=k[i]; m=i;} k[m]=k[j]; k[j]=x;

}

Время работы алгоритма t примерно оценивается формулой:

t=a*N¤ + b*N*logN где a,b - неизвестные константы, зависящие от программной реализации алгоритма.

Методы вставки. Алгоритм простых вставок.

Ниже описан основной алгоритм простых вставок, который порождает несколько модификаций, используемых в заданиях. Алгоритм использует прием, которым пользуются игроки в карты при сортировке только что розданной колоды: очередная карта вставляется между уже упорядоченными ранее.

for (j=1; j<n; j++) { i=j-1; x=k[j];

while (x<k[i]&&i>=0) {k[i+1]=k[i]; i=i-1;} k[i+1]=x;

}

Для примера возьмем файл, состоящий из 8 элементов:

Исх.файл.: 503 87 512 61 908 170 897 275

4

Время работы алгоритма t примерно оценивается формулой: t=a*N¤+ b*N

где a,b - неизвестные константы, зависящие от программной реализации алгоритма.

Модификации алгоритма простых вставок. Бинарные вставки Для ускорения числа сравнений при поиске места, в которое нужно

вставить элемент X, можно использовать логарифмический поиск. Это означает, что сначала Х сравнивается с элементом k[j/2], затем, в зависимости от результата сравнения, с элементом, лежащим посередине между 1 и j/2 или посередине между j/2+1 и j и т.д. . При этом число сравнений для каждого j равно примерно log(j). Число пересылок элементов при этом не изменяется и остается примерно равным N¤/4.

Время работы алгоритма t примерно оценивается формулой:

t=a*N¤ + b*N + c*N*logN где a,b,c - неизвестные константы, зависящие от программной реализации алгоритма.

Вставки с убывающим шагом (метод Шелла)

Идея алгоритма состоит в обмене элементов, расположенных не только рядом, как в алгоритме простых вставок, но и далеко друг от друга, что значительно сокращает общее число операций перемещения элементов. Для примера возьмем файл из 16 элементов. Сначала просматриваются пары с шагом 8. Это пары элементов 1-9, 2-10, 3-11, 4-12, 5-13, 6-14, 7-15, 8-16. Если значения элементов в паре не упорядочены по возрастанию, то элементы меняются местами. Назовем этот этап 8-сортировкой. Следующий этап - 4- сортировка, на котором элементы в файле делятся на четверки: 1-5-9-13, 2- 6-10-14, 3-7-11-15, 4-8-12-16. Выполняется сортировка в каждой четверке. Сортировка может выполняться методом простых вставок. Следующий этап

восьмерке. Наконец весь файл упорядочивается методом простых вставок. Поскольку дальние элементы уже переместились на свое место или находятся вблизи от него, этот этап будет значительно менее трудоемким, чем при сортировке вставками без предварительных "дальних" обменов. Для данного примера результаты представлены в следующей таблице.

Время работы алгоритма t примерно оценивается формулой:

t=a*N**b, где a и b - неизвестные константы, зависящие от программной реализации алгоритма.

5

Сортировка Лысый Д.А.

6