Пример решения задачи

m₁ = 1 кг Грузы совершают поступательное ускоренное дви-

m₂ = 2 кг жение, блок – вращательное ускоренное движение.

m = 3 кг По условию задачи m₂ > m₁ , поэтому груз m₂ опус-

d = 50 мм кается, груз m₁ поднимается. Второй закон Ньютона H = 2,5 м для груза m₁ имеет вид

(1)

F₁ - ? F₂ - ? где F₁ - сила реакции шнура, приложенная к грузу m₁,

a - ? ε - ? g = 9,8 м/с² - ускорение свободного падения,

t _n - ? N - ? a – линейное ускорение груза,

v(t) - ? ω(t) - ? m₁g – сила тяжести груза m₁.

E_к1(t) - ? Е_к2(t)-? Аналогично запишем 2-й закон Ньютона для груза m₂

E_к(t)-? E_п1(t) - ? (2)

E_п2 (t)-? L(t) - ? Теперь запишем уравнение динамики вращательного

движения блока

(3)

M – результирующий момент сил, приложенных к блоку,

I – момент инерции блока, ε – угловое ускорение блока.

Так как груз m₂ опускается, то . Результирующий момент сил, приложенных к блоку равен

(4)

и - силы натяжения шнура, приложенные к блоку,- радиус блока.

Блок представляет собой сплошной цилиндр. Поэтому момент инерции блока определяем по формуле

(5)

m – масса блока.

Полагаем, что шнур не проскальзывает по блоку. Тогда

(6)

Согласно третьему закону Ньютона

Поэтому уравнение (4) принимает вид

(7)

Подставляем соотношения (7), (5) и (6) в формулу (3)

Окончательно получим

(8)

Уравнения (1), (2) и (8) - это система трех уравнений с неизвестными величинами F₁ , F₂ , а .

Записываем систему в канонической форме. Все неизвестные величины переносим в левую часть уравнения, известные – в правую часть уравнения. Если в уравнении отсутствует какая либо неизвестная величина, записываем эту величину с множителем «ноль».

Определитель системы

(9)

Определители неизвестных величин получаются заменой соответствующих столбцов определителя Δ столбцами, составленными из свободных членов трех уравнений.

.

.

.

Определяем силы F₁, F₂ и ускорение грузов

(10)

(11)

(12)

Проверка единиц измерений:

кг - килограмм, м – метр, с- секунда, Н - ньютон

Так, как грузы совершают равноускоренное поступательное движение с начальной скоростью V₀=0, то зависимость скорости грузов V от времени даётся уравнением

(13)

Путь S, пройденный телами при падении груза m₂

(14)

Если S = H , то груз m₂ упадет на поверхность. Полагая в формуле (14) S = H , находим время падения t_n

(15)

Угол поворота радиуса блока

Количество оборотов блока, совершенное до падения груза на поверхность

(16)

Кинетическая энергия первого груза

(17)

Кинетическая энергия второго груза

(18)

Зависимость угловой скорости блока от времени

(19)

Кинетическая энергия блока

(20)

Потенциальная энергия первого груза

(21)

Потенциальная энергия второго груза

(22)

, высоты грузов m₁ и m₂ над поверхностью.

Момент импульса блока

(23)