Задача
Людина масою m1 = 60 кг знаходиться на нерухомій платформі масою m = 100 кг.
Яку кількість обертів п здійснюватиме платформа, якщо людина буде рухатись по колу радіусом r = 5 м навколо осі обертання? Швидкість руху людини відносно платформи v = 1 м/с. Радіус платформи R = 10 м. Вважати платформу однорідним диском, а людину – точковою масою.
Дано:
m1 = 60 кг m = 100 кг r = 5 м
v = 1 м/с R = 10 м
п = ?
Розв'язування
v
r
R
О
У початковий момент часу платформа з людиною перебувають у стані спокою, і момент імпульсу цієї системи дорівнює нулю.
Коли людина починає рухатись по платформі, платформа обертатиметься в протилежному від руху людини напрямку.
Отже, якщо відстань людини до осі платформи r, то в місці
знаходження її на платформі швидкість становитиме:
u r.
Отже, якщо людина рухається відносно платформи зі швидкістю v , то відносно землі
вона рухатиметься зі швидкістю |
11 |
v1 v u v r.
Момент імпульсу людини відносно осі платформи
L1 m1v1r m1 v r r.
Момент імпульсу платформи відносно її осі:
L -J , де J – момент інерції платформи.
Оскільки платформа – це однорідний диск, то момент її інерції відносно осі, що
проходить через центр мас
J mR2 2 .
За законом збереження моменту імпульсу для системи платформа-людина отримаємо:
L1 L 0 m1 v r r 12 mR2 .
З останнього рівняння визначаємо кутову швидкість обертання платформи |
12 |
|
|
2m1vr |
||
|
|
|
. |
2m r2 |
mR2 |
||
1 |
|
|
|
Число обертів платформи визначаємо із співвідношення:
n |
|
|
1 2m1vr |
|||
2 |
2 |
|
2m r2 |
mR2 |
||
|
|
|
1 |
|
||
або
m1vr |
0,01 об / с. |
n 2m1r2 mR2 |
13
Приклади розв’язування задач.
Горизонтальна платформа радіусом R = 1,5 м та масою m1 = 100 кг
обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр платформи, з частотою п1 =9 об/хв. Людина масою т2 = 60 кг стоїть при цьому на краю платформи.
Яку роботу здійснює людина переміщаючись з краю платформи в її центр? Вважати платформу однорідним диском, а людину – точковою масою.
R=1,5 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т1=100 кг |
|
R |
|
|
Оскільки йдеться про |
|
|
|
|
||
п1=9 об/хв =0,15об/с |
|
|
|
m2 |
роботу, то спробуємо |
|
|
|
розв’зати задачу |
||
т2=60 кг |
|
|
|
|
енергетичним способом. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
А=? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m1 |
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
Виконана робота буде дорівнювати різниці кінетичних енергій обертового руху системи в початковому (1) (людина на краю платформи) і кінцевому (2) (людина в центрі платформи) станах.
14
Згадаємо вираз для кінетичної енергії обертового руху:
Eê |
J |
2 |
. |
(1) |
|
z |
|
||||
2 |
|||||
|
|
|
|||
Система складається з двох тіл: людини і платформи. Обертання здійснюється відносно однієї осі, то ж момент інерції системи буде дорівнювати сумі моментів інерції платформи та людини.
В стані (1): |
J z1 J zïë1 |
J z1ë . |
(2) |
|
Момент інерції платформи (за умовою однорідний |
диск з віссю обертання, що |
|||
проходить через центр симетрії): |
1 ò 1R2 . |
|
|
|
|
J z1ïë |
|
(3) |
|
|
|
2 |
|
|
Момент інерції людини (за умовою точкова маса на краю платформи) буде:
J z1ë ò 2 R2 . (4)
Підставляючи (3) та (4) в (2) одержимо для системи:
J |
|
1 |
ò |
R2 m |
R2 ( |
1 m |
m )R2 . |
(5) |
|
|
z1 |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
15
|
|
n1 |
|
Підставивши в (5) чисельні значення |
|
|
R |
|
|
J z1 ( 1100 60 )1,52 |
247,5 ( êãì 2 ). (6) |
|
|
m2 |
2 |
|
|
|
|
|
Для підрахунку енергії потрібна кутова |
||
|
|
|
|
швидкість. Кутова швидкість виражається через |
|
|
|
|
|
||
m1 |
|
|
частоту обертання: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2 ï . |
(7) |
||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Для стану (1) буде:
1 2 n1 . (8)
Підставляючи (6) та (8) в (1) для стану (1) одержимо:
|
J |
z1 |
( 2 n )2 |
|
|
Eê1 |
|
1 |
. |
(9) |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
Підставивши числові данні одержимо значення кінетичної енергії обертового руху системи в початковому стані.
Eк1 |
247,5( 2 3,14 0,15 )2 |
110 ( Дж ). (10) |
|
2 |
|||
|
|
16
|
|
n2 |
При переміщенні людини з краю платформи в її центр |
||||||||
|
|
|
зміниться момент інерції системи, бо момент інерції |
||||||||
|
R |
|
людини стане рівним нулю (R=0). |
|
|||||||
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
J z 2 |
1 ò 1R2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m1 |
|
Підставляючи числові значення в (11) одержимо |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
Jz2 |
1 |
100 1,52 112 ,5 ( кгм2 ). (12) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
Це викличе зміну частоти обертання платформи |
||||||||
|
|
|
згідно закону збереження моменту імпульсу |
||||||||
|
Враховуючи (8) |
J z1 1 |
J z 2 2 |
(13) |
|
||||||
|
J z1n1 J z 2n2 |
(14) |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
Звідси визначимо частоту обертання платформи після переміщення людини |
||||||||||
|
|
|
n |
J z1 |
|
n . |
(15) |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
J z 2 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Підставляючи числові данні в (15) одержимо |
17 |
n2 |
247,5 |
0,15 0,33 ( об / с ). |
(16) |
|
|||
|
112 ,5 |
|
|
Згідно (1) знайдемо кінетичну енергію обертального руху платформи з людиною після її переходу в цент платформи.
|
J |
z 2 |
( 2 n )2 |
|
|
Eê 2 |
|
2 |
. |
(17) |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
Підставивши числові данні одержимо
Eк 2 |
112 ,5( 2 3,14 0,33 )2 |
242( Дж ) (18) |
|
2 |
|
Згідно закону збереження енергії величина виконаної роботи дорівнює зміні енергії
системи
À Å Åê 2 Åê1.
Підставивши чисельні значення отримаємо
А 242 110 132( Дж ).
18