Лекція №4
Тема: “Закони збереження в механіці”.
1.Закон збереження імпульсу.
2.Закон збереження моменту імпульсу.
3.Закон збереження механічної енергії.
1. Закон збереження імпульсу.
Механічною системою наз. сукупність матеріальних крапок (тіл), які розглядаються як єдине ціле.
Замкненою наз. механічна система, в якій тіла взаємодіють між собою і на яку не діють зовнішні сили.
Розглянемо механічну систему, яка складається із n тіл, маса і швидкість яких відповідно
m1, m2 , m3 ,...mn |
і |
v ,v |
2 |
,v ,...v |
n |
. |
|
|
|
1 |
3 |
|
Fik |
||
Нехай F1, F2 , F3 ,...Fn - рівнодійні зовнішніх сил, що діють на кожне з цих тіл, а |
|||||||
|
|
|
|
внутрішня сила, яка діє на і-те тіло з боку k-го. |
|||
F1 |
F12 |
F |
F2 |
|
|||
|
|
||
|
m1 |
21 |
m2 |
|
F13 |
|
|
|
F23 |
|
|
|
|
|
|
|
F31 |
F32 |
|
|
|
m3 |
|
F3 
Запишемо другий закон Ньютона для кожного з n тіл механічної системи:
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m1v1) F12 |
F13 |
... F1n F1, |
||
|
|
|
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(m2v2 ) F21 |
F23 |
... F2n F2 , |
|||
|
dt |
||||||||||
……………………………………………… |
|||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(mnvn ) |
Fn1 Fn2 ... Fn(n 1) |
Fn . |
||||
dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
Додаючи почленно ці рівняння, одержуємо:
n
i 1
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(mivi ) (F12 |
F21 ) (F13 |
F31 ) ... (F(n 1)n Fn(n 1) ) Fi . |
||||||||
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
||
|
За третім законом Ньютона |
Fik Fki , |
і |
|
|
|
|||||
|
d |
|
n |
|
n |
|
dP |
n |
|
|
|
|
(mivi |
) Fi |
і |
|
Fi |
F, |
|
|
dt i 1 |
|
i 1 |
dt |
i 1 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
де |
P - імпульс системи, а |
F - головний вектор зовнішні сил. |
|||||||
Похідна по часу від імпульсу механічної системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему.
У випадку замкненої системи (F 0)
dP |
n |
d |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
(mivi ) 0, |
тобто |
P mivi const. |
|||
dt |
dt |
|||||||
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|||
Закон збереження імпульсу: імпульс замкненої системи зберігається, тобто не змінюється із плином часу.
3
P 0
MV mv
4
2. Закон збереження моменту імпульсу.
Із закону зміни моменту імпульсу тіла, закріпленого в нерухомій точці випливає закон збереження моменту імпульсу:
якщо головний момент зовнішніх сил відносно нерухомої точки , прикладених до тіла, тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї точки із плином часу не змінюється.
|
|
|
dL |
|
|
|
|
||
Якщо |
M 0, |
то |
і |
L const, |
або |
J const, |
|||
|
|
||||||||
dt 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
З рівняння динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ, випливає закон збереження моменту імпульсу тіла відносно цієї осі:
якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомої осі обертання тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї осі із плином часу не змінюється :
|
|
|
dLz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або |
J z z const, |
|
|
|
M z 0, |
то |
0 |
і |
Lz const, |
||||
|
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де z - кутова швидкість тіла, J z |
- його момент інерції відносно осі обертання. |
||||||||
Закон збереження моменту імпульсу – фундаментальний закон природи. Він зв'язаний з певними властивостями симетрії простору – його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законів відносно вибору напрямку осей координат системи відліку.
5
1 2
J z1 J z2
|
2 |
1 |
|
J z1 1 |
= |
J z2 2 |
J z1 |
J z 2 |
|
1 2 |
6 |
3. Закон збереження механічної енергії.
Розглянемо систему, що складається з n матеріальних крапок:
m1, m2 ,..., mn
v1,v2 ,...,vn
F1' , F '2 ,..., F 'n F1, F2 ,..., Fn f1, f2 ,..., fn
-їх маси;
-їх швидкості;
-їх рівнодійні внутрішніх консервативних сил;
-їх рівнодійні зовнішніх консервативних сил;
-їх рівнодійні зовнішніх неконсервативних сил;
Якщо v<<c та m=const, то рівняння другого закону Ньютона для цих крапок мають
вигляд: |
dv |
|
' |
|
|
|
, |
|
|
m |
1 |
|
F |
|
F f |
|
|||
1 |
dt |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dv2 |
|
' |
, |
|||||
m |
|
F |
F |
f |
|||||
dt |
|
||||||||
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
||||
.................................. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dvn |
|
|
||||||
m |
F |
' F |
f |
. |
|||||
|
|||||||||
n |
dt |
|
n |
n |
|
n |
|
||
Рухаючись під дією сил, крапки системи за проміжок часу dt здійснюють переміщення, які відповідно дорівнюють: dr1, dr2 , dr3 ,..., drn .
Помноживши кожне з рівнянь скалярно на відповідне переміщення dri vi dt, отримаємо:
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
m (v dv ) (F ' |
F )dr f dr |
|
||||||||||||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
, |
||||
m (v |
dv |
2 |
) (F |
F )dr |
f |
2 |
dr |
|||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
.................................................. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m (v |
dv |
n |
) (F |
' F )dr |
f |
n |
dr . |
|||||||
n |
n |
|
n |
n |
n |
|
|
|
n |
|
||||
Додавши ці рівняння, отримаємо:
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
mi (vi dvi ) (Fi |
' Fi )dri |
||||||
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
fi dri .
Перший доданок:
Другий доданок
Права сторона:
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vi |
|
|
|
|
|
- зміна кінетичної енергії. |
||||
m ( v dv ) |
|
d m |
|
|
|
dE |
ki |
dE |
k |
|||||||
i |
i |
i |
|
|
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
||||
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Fi |
' |
Fi )dri |
dEn |
- зміна потенціальної енергії |
|||||||||
|
n |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi dri |
A |
|
- робота зовнішніх неконсервативних сил. |
||||||||||||
i 1
Отже, d(Ek En ) A.
8
При переході системи з деякого стану 1 у який-небудь стан 2
2
d(Ek En ) A12 ,
1
тобто зміна повної механічної енергії системи при переході з одного стану в інший дорівнює роботі, яка виконана при цьому зовнішніми неконсервативними силами.
Якщо зовнішні неконсервативні сили відсутні, то
d (Ek En ) 0 і |
Ek En const. |
Закон збереження механічної енергії: в системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається, тобто не змінюється з часом.
Консервативною механічною системою наз. система, на тіла якої діють лише консервативні сисли.
Дисипативною наз. системи, в яких механічна енергія поступово зменшується, перетворюючись в інші форми енергії. Цей процес наз. дисипацією енергії.
9
При “зникненні” механічної енергії завжди “виникає” еквівалентна кількість енергії іншого виду.
Закон збереження і перетворення енергії: енергія ніколи не зникає і не появляється, вона лише перетворюється з одного виду в інший.
10