Моментом імпульсу Li матеріальної КРАПКИ відносно нерухомої точки О наз. |
|
векторний добуток радіус-вектора ri матеріальної крапки, який проведений з |
|
m v |
: |
точки О , на імпульс цієї матеріальної крапкиi i |
|
|
|
. |
Li ri |
,mivi |
Модуль вектора моменту імпульсу
Li ri mivi sin i , |
де i |
Li |
mivi |
i |
|
||
|
|
ri 
mi
О
кут між радіус-вектором ri та імпульсом mivi .
Моментом імпульсу ТІЛА відносно точки О наз. векторна сума моментів імпульсу Li
|
|
|
|
|
|
|
|
всіх матеріальних крапок тіла: |
|
n |
|
n |
|
|
. |
|
L Li ri |
,mivi |
|||||
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
Момент імпульсу ТІЛА відносно нерухомої осі наз. скалярна величина Lz ,яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу тіла відносно довільної точки О на осі ОZ.
n |
|
|
|
|
|
Одиниці вимірювання кгм2/с |
|||
Lz ri |
,mivi |
. |
|
|
|
||||
i 1 |
|
|
z |
11 |
Z
Li
i
О
mivi
Ri i
mi
ri
Liz
k
n
Lz Liz i 1
|
0. |
|
k, де |
|
|
Швидкість v |
та імпульс mivi перпендикулярні |
|
до радіуса Ri |
і радіус-вектора ri , |
причому |
i |
|
|
Ri ri cos i .
В результаті момент імпульсу тіла відносно осі ОZ :
n |
n |
n |
Li cos i mivi ri cos i mivi Ri . |
||
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
|
n |
Замінивши лінійну швидкість на кутову ( vi Ri |
): |
Lz mi Ri2 J z . |
|
|
i 1 |
Момент імпульсу тіла відносно осі дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно тієї самої осі на кутову швидкість обертання навколо цієї осі.
12
3. Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі (основний закон).
Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла , яке закріплене в одній нерухомій |
|||
точці О. Момент імпульсу його відносно нерухомої точки: |
|||
|
n |
|
|
L ri |
,mivi . |
||
i 1
Продиференціюємо правий і лівий бік цього виразу по часу:
dL dt
dr
Оскільки dti vi , то
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
n |
dri |
n |
|
|||||
|
,mivi |
ri |
, |
|
||||
dt |
||||||||
i 1 |
dt |
|
i 1 |
|
|
|
||
dri |
|
|
|
0, |
|
,mivi |
vi |
,mivi |
|
dt |
|
|
|
|
mivi .
|
d |
|
|
|
а |
|
( mivi |
) Fi . |
|
dt |
||||
|
|
|
В результаті отримуємо закон зміни моменту імпульсу
dL |
n |
|
|
dt |
ri ,Fi |
M |
|
i 1 |
|
|
|
Швидкість зміни моменту імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої точки, дорівнює головному моменту відносно цієї точки всіх зовнішніх сил, які прикладені
до тіла. |
13 |
Якщо спроектувати вектори цього рівняння на довільну вісь Z, що проходить через
точку О:
dLdtz M z ,
де Lz і M z - проекції на вісь OZ обертання тіла векторів моменту імпульсу тіла і результуючого моменту зовнішніх сил відносно точки О.
Швидкість зміни моменту імпульсу тіла відносно нерухомої осі обертання дорівнює головному моменту всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, відносно цієї осі.
Враховуючи, що |
Lz J z , |
отримуємо |
d(J z ) |
|
M |
z |
||
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
Якщо тіло абсолютно тверде, то його момент інерції |
J z не залежить від часу. Тому |
|||||||
|
|
|
Jz d M z і |
Mz J z , |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Момент |
М z зовнішніх сил вважається додатнім, якщо ці сили спричиняють |
|||||||
збільшення кутової швидкості обертання тіла. |
|
|
|
|||||
Якщо |
M z 0, то 0 |
і кутова швидкість твердого тіла стала. |
||||||
14
4. Аналогія між динамікою поступального та обертального рухів.
15