Лекція № 2
Тема: “ Елементи динаміки поступального та обертального рухів ”.
1.Закони динаміки поступального руху. Імпульс.
2.Момент інерції, момент сили та момент імпульсу.
3.Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі (основний закон).
4.Аналогія між динамікою поступального та обертального рухів.
1.Закони динаміки поступального руху.
Воснові динаміки поступального руху лежать три закони Ньютона.
Перший закон Ньютона: всяка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки дія з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан (закон інерції).
Інертністю наз. властивість тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху.
Масою ( m ) наз. фізичну величину, яка є мірою інертності тіл в поступальному русі. В інтернаціональній системі (SI) фізичних одиниць вимірюється кілограмами (кг) .
Маса тіла – величина скалярна і, як показує дослід, маса - величина адитивна: маса тіла дорівнює сумі мас всіх частинок цього тіла. І маса механічної системи дорівнює сумі мас тіл, що входять в розглядувану систему.
2
Силою ( F ) наз. міру механічного впливу на тіло з боку інших тіл. В SI вимірюється ньютонами (Н). Сила характеризується числовим значенням, напрямком у просторі і точкою прикладання.
Другий закон Ньютона: прискорення з яким рухається тіло прямо пропорційне до сили, що діє на нього і обернено пропорційне до маси цього тіла.
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо m = const, то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
d |
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ma m dt |
|
|
( mv ) dt p, |
|||||||||
dt |
|||||||||||||
де |
p mv |
наз. імпульсом (кількістю руху) тіла. Тоді |
|||||||||||
|
|
|
|
|
dp |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
F |
dt |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Швидкість зміни імпульсу матеріальної крапки (тіла) дорівнює силі, яка діє на |
|
крапку (тіло). |
3 |
|
F a m
Рух тіла незмінної маси
4
Третій закон Ньютона: сили взаємодії двох матеріальних крапок (тіл) в інерціальній системі відліку однакові за модулем і напрямлені в протилежні боки.
|
|
Fik Fki , |
|
||
|
|
|
|
||
де Fik |
- сила, що діє на i -ту крапку з боку k –тої крапки, а Fki - сила, що діє на k |
||||
- ту крапку з боку i – ї. Сили F |
та F |
прикладені до різних крапок. |
|||
|
|
ik |
ki |
||
2. Момент інерції, момент сили та момент імпульсу.
Моментом інерції наз. фізичну величину, яка є мірою інертності тіл в
обертальному русі.
Для матеріальної крапки масою m , яка здійснює
Z обертання по колу радіусом R навколо осі Z, момент інерції ( JZ ) визначається:
|
R |
|
|
|
J z mR2 . |
|
|
|
|
|
|
Одиницями вимірювання є кг·м2. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Для тіла масою m: |
J z mi Ri2 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
Z |
|
mi |
Точне значення моменту інерції тіла: |
|||||
|
J |
|
N |
m R2 |
R2 |
( m )dm. |
||
|
Ri |
|
|
lim |
||||
|
|
|
z |
N |
i i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
m |
|
|
|
|
Враховуючи що m V |
і dm dV : |
||||
J z R2dV
V |
6 |
|
Моменти інерції однорідних тіл
7
ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
Момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі його моменту інерції відносно осі, паралельної даній, що проходить через центр мас тіла та добутку маси тіла на квадрат відстані між осями:
Jc
а c J Jc ma2
Для прикладу знайдемо момент інерції однорідного стрижня відносно осі, що проходить через його кінець
J |
1 |
ml2 m( |
l |
)2 ( |
|
1 |
|
1 )ml2 |
1 ml2 . |
|
|
|
12 |
|
|||||||
12 |
2 |
|
|
4 |
3 |
8 |
||||
Моментом сили Fi відносно нерухомої точки О наз. векторний добуток радіус-вектора ri , який проведений з точки О в точку прикладання сили, на силу Fi :
|
|
|
,Fi . |
|
|
|
|
|
|
|
Mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Mi ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fi |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Модуль моменту сили: |
|
|
|
|
|
|
|
|
О li |
|
Лінія дії сили Fi . |
|
|||
М |
F r sin F l , |
|
i |
|
|
i |
|
||||||||
де |
|
|
|
, |
|
||||||||||
i |
|
i i |
i |
i |
i |
|
|
- кут між r і Fi |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
l |
|
r sin |
|
- плече сили – довжина перпендикуляра, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
i |
опущеного з точки О на лінію дії сили |
Fi . |
||
M r F r
F
Момент сили Mi характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки, відносно якої він береться.
Одиниці вимірювання - Нм
9
Моментом сили |
F |
відносно нерухомої осі OZ наз. скалярна величина Miz , |
яка |
|
|
i |
|
|
|
дорівнює проекції на цю вісь вектора Mi |
моменту сили, визначеного відносно |
|
||
довільної точки О даної осі OZ. |
Z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mi |
|
|||
|
|
|
||||||
|
Miz ri ,Fi z . |
|
|
|
|
|
Miz |
Fi |
|
|
|
||||||
Значення моменту Miz , не |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r |
||||
залежить від вибору положення |
|
|
|
|
i |
|||
О |
|
|
|
|||||
точки О на осі OZ. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
Головним моментом М зовнішніх сил відносно точки О наз. векторну суму моментів Mi всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла:
n
M Mi
i 1
n |
. |
ri ,Fi |
i 1
Головний (результуючий) момент відносно нерухомої осі Z системи сил дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил системи відносно цієї осі:
n
M z Miz .
i 1 |
10 |