Для компонент сили по осях Y та Z отримуємо аналогічні вирази. Отже,
F En , |
F En , |
F En . |
|||
x |
x |
y |
y |
z |
z |
|
|
|
|||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
E |
|
|
E |
|
|
||||
|
|
|
|
F ( |
|
n |
i |
|
|
|
n |
j |
|
n |
k ). |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
|||||||
|
( |
E |
|
|
E |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
i |
y |
|
j |
z |
k ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вектор |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
, який побудований за допомогою |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
скалярної функції Еп , називається градієнтом функції Еп і позначається gradEn . Напрямок вектора gradEn збігається з напрямком деякої осі l, вздовж якої потенціальна енергія зростає з найбільшою швидкістю.
F gradEn .
Отже, сила, що діє на матеріальну крапку в потенціальному полі, дорівнює взятому із знаком мінус градієнту потенціальної енергії цієї крапки в полі, яка розглядається.
11
Види механічної потенціальної енергії:
1. Потенціальна енергія пружної деформації
E kx |
2 |
, |
де k – коефіцієнт жорсткості, |
|
|
|
|
||
n |
2 |
|
|
х – видовження. |
|
|
|
|
|
x |
l0 |
l |
2. Потенціальна енергія тіла над поверхнею Землі
En mgh,
Hm
mg h
l
Поверхня Землі
де m – маса тіла, g – прискорення вільного падіння, h – висота підняття над поверхнею Землі.
Знайдемо силу, яка діє на це тіло.
|
dE |
n |
|
d(mgh) |
|
||
F gradEn |
|
l |
|
|
l |
mgl . |
|
|
|
dh |
|||||
|
dh |
|
|
|
|||
F = mg.
12
Залежність величини потенціальної енергії від вибору нульового значення потенціальної енергії
y |
E p |
mgh1 |
|
|
|
|
|
||
|
h1 |
Ep 0 |
x |
|
0 |
|
h2 |
E p mgh2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Потенціальна яма |
|
13
Аналогія поступального та обертального рухів.
14
Приклад розв’язування задач.
Тіло ковзає під дією сили тяжіння по вгнутій сферичній поверхні з нанесеними градусними мітками. В початковий момент часу радіус сфери , проведений через центр маси тіла, утворює з вертикаллю кут α=800, а в кінцевий момент часу – кут β=200. Визначити коефіцієнт тертя, якщо сила нормального тиску значно більша від доцентрової сили.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’зання. |
|
|
|
|
|
α=800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β=200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Робота проти сил тертя |
дорівнює зменшенню |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потенціальної енергії тіла: |
|
|
|
|||||||||
|
μ=? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A mgh1 mgh2 |
, |
де |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
R( 1 cos ), h2 |
R( 1 cos ), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де R- радіус сфери. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді |
|
A mgR(cos - cos ) 2mgRsin sin |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
В даному випадку сила тертя змінна. Елементарна робота цієї сили на переміщенні dS дорівнює
15
dA FТ dS mg cos dS mgR cos d
оскільки dS Rd . |
Звідси |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A mgR cos d mgR(sin sin ) |
|||||
|
|
|
|
cos |
. |
|
|
|
|
2 mgR sin |
|||
Порівнюючи вирази для роботи, маємо |
2 |
2 |
||||
|
|
|||||
|
|
sin |
cos |
. |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
Звідси |
tg |
|
. |
|
|
|
|
|
Підставимо числові значення: |
||||
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
tg 800 200 tg300 0,577. 2
16