Лекція № 3
Тема: “Енергетичні характеристики механічного руху матеріальної точки”.
1.Робота, потужність.
2.Кінетична енергія.
3.Потенціальна енергія.
1
1. Робота, потужність.
Розглянемо прямолінійний рух під дією сталої за величиною і напрямком сили F
|
Роботою ( А ), яка виконана |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
силою F наз. фізичну величину |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
що дорівнює скалярному добутку |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Fs |
|
|
|
|
||||
|
сили на переміщення: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Fs F cos . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A F,s FS cos Fs S , |
|
де |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Одиницями вимірювання є Дж |
|
||||||
|
Якщо сила змінюється як за величиною, так і за напрямком: |
F |
v |
||||||||
|
dr - елементарне переміщення на якому |
||||||||||
|
dr |
|
|||||||||
|
можна вважати F const, а рух точки її |
|
|||||||||
|
прикладання – прямолінійним. |
1 |
|
|
|
2 |
|||||
|
Елементарною роботою ( δА ) сили F |
|
|
|
|
|
|||||
|
на переміщенніdr наз. скалярну величину |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
А F,dr F,vdt F cos dS, |
|
|
|
|
|||||
де dS |
|
dr |
|
- елементарний шлях. |
2 |
|
|
||||
|
|
|
Робота сили на ділянці траєкторії від точки 1 до точки 2 дорівнює алгебраїчній сумі |
|||||
елементарних робіт на окремих нескінчено малих ділянках шляху: |
|||||
|
|
2 |
2 |
де Fs |
проекція сили F на напрям |
|
|
А FdScos FsdS, |
|||
|
|
переміщення. |
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
Нехай залежність сили Fs від шляху S зображена графічно: |
|||||
Fs |
1 |
δA |
2 |
Робота сили на ділянці траєкторії від точки 1 до |
|
|
|
|
|||
|
|
|
точки 2 вимірюється заштрихованою площею під |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
кривою Fs = f (S). |
|
|
|
А |
|
Сила, що діє на тіло не виконує роботу, якщо: |
|
|
|
dS |
S |
a) тіло перебуває у спокої ( dS=0); |
|
|
|
b) сила перпендикулярна до напрямку |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
переміщення тіла ( α=90о ). |
|
Якщо / 2, |
робота сили додатна і силу наз. рушійною. |
Якщо /2 |
то робота сили від'ємна і силу наз. силою опору. |
3
Сила F, що діє на матеріальну крапку (тіло) , яке рухається поступально, наз. консервативною або потенціальною, якщо робота А1-2, яка виконується цією силою
при переміщенні крапки (тіла) з одного довільного положення 1 в інше 2, не залежить від того, по якій траєкторії відбулось це переміщення:
а
2 |
А1-а-2 |
= A1-b-2 = A1-2. |
1
b
Зміна напрямку руху вздовж траєкторії на протилежний спричинює зміну знака роботи (кут α замінюється на π-α і cosα змінює свій знак). Тому при переміщенні матеріальної крапки вздовж замкненої траєкторії L (1-a-2-b-1), робота консервативної сили тотожно дорівнює нулю:
F,dr A1 a 2 A2 b 1 0.
L
Приклади консервативних сил
Сили тяжіння |
Гравітаційні сили |
Сили пружності |
|
|
4 |
Робота при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі.
Якщо результуючий момент сил Mz , які діють на тіло, не змінюється (M z= const), то робота при обертанні
A M z , |
де φ – кут повороту. |
Якщо результуючий момент Mz є змінною величиною, то весь кут повороту потрібно розбити на повороти φі, такі малі, що моменти сил Mzi на цих ділянках можна
вважати незмінними величинами. Тоді для кожної i-ї ділянки можна застосувати |
|||||||||||
попередню формулу, а повна робота буде дорівнювати: |
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
A Ai |
M zi i |
||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|||
Формула тим точніше визначає роботу, чим менші |
φi. Строгий знак рівності |
||||||||||
можна поставити тільки при Δφi →0. В результаті отримаємо: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A lim |
M |
|
|
|
2 |
M |
d , |
де φ1 і φ2 початковий і |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
zi |
|
i |
|
z |
|
|
кінцевий кути повороту. |
|
|
i |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5
Потужність. Це фізична величина, що характеризує виконану роботу за одиницю часу. Якщо за елементарний проміжок часу Δt виконується робота ΔА, то середня потужність
|
N |
А |
. |
|
Одиниці вимірювання – Вт. |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Миттєва потужність: |
|
|
|
N lim |
A |
dA . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
t 0 |
t |
dt |
|
|
||
|
|
|
|
то для миттєвої потужності отримуємо: |
|||||||
Оскільки dA (F,dr), |
|||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F,v Fvcos , |
|
||||||||
де в правій частині стоїть скалярний добуток вектора сили і вектора швидкості, а α – кут між ними.
Оскільки для обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі dA M z d ,
N d(M z d ) M z d M z , dt dt
6
2. Кінетична енергія. |
(Поступальний рух) |
Кінетичною енергією ( Ек ) механічної системи наз. енергію механічного руху цієї системи.
Сила F, яка діє на тіло у стані спокою і викликає його рух, виконує роботу, а енергія рухомого тіла зростає на величину виконаної роботи:
dEk A |
Одиниці вимірювання енергії - Дж |
Використовуючи скалярний запис другого закону Ньютона і помноживши обидві частини на елементарний шлях dS, отримаємо:
madS m dv dS FdS. |
Оскільки |
dS |
v, |
то |
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
||
|
|
|
v |
mv2 |
|
||
A FdS mvdv dEk |
|
|
|
Ek mvdv |
. |
||
і |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Повна кінетична енергія Ек системи дорівнює сумі кінетичних енергій Екі всіх тіл, що
входять до неї: |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ek Eki mivi . |
Відносність |
|
|
|
|
|
|
i |
i 2 |
Адитивність |
7
(Обертальний рух)
Кінетична енергія тіла, що рухається (в тому числі і обертальний рух) дорівнює сумі кінетичних енергій всіх n матеріальних крапок, на які це тіло можна умовно поділити:
n |
m v2 |
||
Ek |
i i |
. |
|
2 |
|||
i 1 |
|
||
Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю ω, то vi Ri , де Ri – відстань від цієї точки до осі обертання. Отже,
Ekîá |
2 |
n |
J z |
2 |
|
|
mi Ri2 |
|
. |
||
|
2 |
|
|||
2 |
i 1 |
|
|
||
Якщо тверде тіло рухається поступально з швидкістю v і одночасно обертається з кутовою швидкістю ω навколо осі, що проходить через його центр інерції, то його кінетична енергія:
Ek mv2 2 J z2 2 .
8
3. Потенціальна енергія.
Потенціальна енергія ( Еп ) – енергія взаємодії, що існує між тілами, які
складають систему, та із зовнішніми щодо цієї системи тілами, й зумовлена розташуванням тіл у просторі.
Разом із кінетичною енергіє , яка враховує не тільки положення тіл у просторі, а й рух, потенціальна енергія складає механічну енергію фізичної системи.
Робота А12 , що виконується консервативними силами при зміні
конфігурації системи, не залежить від того, як здійснюється процес переходу з початкової конфігурації системи (1) в кінцеву (2). Робота А12 повністю визначається початковою і кінцевою конфігураціями
системи.
Отже, роботу А12 можна подати у вигляді різниці значень деякої функції конфігурації системи Еп (x,y,z,), яка називається потенціальною енергією системи.
А12 = Еп1 - Еп2 = - (Еп2 - Еп1 ).
Робота потенціальних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи. 9
Елементарна робота консервативних сил при малій зміні конфігурації системи
A -dEп , або |
|
|
|
|
|
|
(F,dr) -dEп . Одиниці вимірювання - Дж |
||||||
Звідси потенціальна енергія |
|
Eп |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Fdr C, |
|
|
|||
де С – стала інтегрування, тобто потенціальна енергія визначається з точністю до деякої довільної сталої.
Якщо відомий вираз Еп (x, y, z), то можна знайти силу, що діє на матеріальну крапку.
|
Розглянемо переміщення точки паралельно осі ОX на dx |
|
|
|
Таке переміщення супроводжується |
|
|
виконанням над крапкою роботи δА=Fxdx. |
O |
|
X |
|
dx |
Та сама робота дорівнює зменшенню |
|
потенціальної енергії: δА=-dEп . |
|
|
|
|
Порівнявши обидва вирази для роботи, отримаємо:
Fxdx = -dEп. Звідси |
Fx |
Eп |
(y const, z const) |
|
|
x |
10 |
||
|
|
|