Лекція № 5
Тема: “Елементи молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) ідеального газу.”
1.Основне рівняння МКТ.
2.Середня кінетична енергія молекул. Молекулярно- кінетичне трактування абсолютної температури.
3.Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями теплового руху та його елементарний аналіз.
4.Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності молекул.
Молекулярна фізика вивчає будову і властивості речовини, зважаючи на молеклярно-кінетичні уявлення про те, що всі тіла складаються з атомів і молекул, які перебувають у неперервному тепловому русі.
Підтвердження – дифузія, броунівський рух.
Статистичний метод дослідження ґрунтується на тому, що властивості макроскопічної системи визначаються властивостями частинок системи, особливостями їх руху і усередненими значеннями динамічних характеристик цих частинок (швидкості, енергії тощо).
У МКТ користуються моделлю ідеального газу, що задовольняє такі умови:
1)власний об'єм молекул газу нехтовно малий порівняно з об'ємом посудини;
2)між молекулами газу відсутні сили взаємодії;
3)зіткнення молекул газу між собою і зі стінками посудини абсолютно пружні.
Термодинаміка – розділ фізики, що вивчає загальні властивості макроскопічних систем, що знаходяться в стані термодинамічної рівноваги, і процеси переходу між цими станами.
Термодинамічний метод не досліджує мікроскопічну будову речовини, механізм явищ, а лише встановлює зв’язок між макроскопічними властивостями речовини.
Термодинамічними параметрами наз. сукупність фізичних величин, якими |
2 |
|
задається стан системи та характеризуються її властивості. |
||
|
Найважливіші параметри стану хімічно однорідної системи – об'єм V, тиск p і температура Т. Між цими трьома основними параметрами стану існує зв’язок , що наз. рівнянням стану: f(V,p,T)=0.
Стан наз. стаціонарним, якщо значення всіх термодинамічних параметрів систем не змінюються з часом.
Стаціонарний стан наз. рівноважним, якщо його незмінність у часі не зумовлена перебігом яких-небудь процесів у зовнішніх відносно системи тілах.
Термодинамічним процесом наз. будь-яка зміна в термодинамічній системі, яка зв'язана із зміною хоча б одного з його термодинамічних параметрів.
Рівноважним наз. процес, при якому система проходить неперервний ряд нескінчено близьких рівноважних термодинамічних станів.
1. Основне рівняння МКТ (для тиску).
Тиск газу у посудині є результатом зіткнення молекул газу із стінками посудини. Тиск газу є макроскопічним проявом руху молекул.
3
Розглянемо однорідний газ, який знаходиться в посудині кубічної форми.
Z |
|
|
v vx vy vz . |
vxΔt |
|
При кожному зіткненні молекула |
|
|
v |
|
передає площині імпульс 2m0vx, де |
vz |
|
mo – маса молекули. |
|
ΔS |
|
||
M |
|
За час Δt площини досягнуть лише ті |
|
vy |
vx |
|
|
|
молекули, які знаходяться в об'ємі |
||
|
|
|
циліндра з основою ΔS і висотою vxΔt. |
|
|
|
X Кількість цих молекул дорівнює nΔSvxΔt, де |
|
|
|
n –кількість молекул в одиниці об'єму газу. |
|
Y |
|
З них тільки половина потрапляє в площину ΔS. Решта через повну |
|||||||||
|
|
|
безладність молекулярних рухів рухається не до стінка, а від неї. |
|||||||||
|
За час Δt об площину ΔS ударяються Nx 1 n S tvx |
молекул газу. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Загальний імпульс, який переданий молекулами площині, |
|
|
|
|
||||||||
|
n1, n2, …nl – кількість |
|||||||||||
Px 2m0v1x N1x 2m0v2x N2x ... 2m0vlx Nlx |
|
|||||||||||
|
молекул, що мають |
|||||||||||
m |
S t(n v |
2 |
n v |
2 |
... n v |
2 |
). |
|
швидкість v |
, v ,…v |
||
|
2x |
|
|
1 |
2 |
4 l |
||||||
0 |
1 |
1x |
2 |
l lx |
|
|
відповідно. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
|
Px |
l |
|
Тиск газу на площину ΔS |
px |
|
m0 nivix2 . |
|||
S |
S t |
|||||
|
|
|
i 1 |
Зважаючи на цілковиту хаотичність руху молекул, тиск газу в будь-якому напрямку повинен бути однаковий, тобто px= py= pz= p.
Додамо почленно рівняння для px, py i pz : |
l |
|
|
px py pz 3p m0 ni (vix2 viy2 viz2 ). |
|
|
i 1 |
|
l |
Через те, що vix2 viy2 viz2 vi2 , то |
3p m0 nivi2. |
i 1
l
Величина nivi2 - це сума квадратів швидкостей усіх молекул в одиниці об'єму газу.
i 1
Знайдемо середнє значення квадрата швидкості молекули газу. За визначенням
|
nivi2 |
|
l |
|
|
v2 |
|
nivi2 |
. |
||
i |
|
i 1 |
|||
ni |
n |
||||
|
|
|
i |
5 |
Середньою квадратичною швидкістю наз. величину
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
vср.кв. |
nivi2 |
. |
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результаті тиск газу дорівнюватиме: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p 1 m nv2 |
|
|
|
. |
||||
|
3 |
|
|
0 |
ср.кв. |
|
||||
Це рівняння наз. основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу для тиску.
Перепишемо знайдену формулу у вигляді: p |
2 |
n |
m0vср2 |
.кв. |
|
2 |
n к |
, |
3 |
2 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
де 
к 
- середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули газу.
Густина газу |
m |
|
Nm0 |
nm0. Тоді |
p |
1 |
v2 . |
|
V |
V |
3 |
||||||
|
|
|
|
ср.кв. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
6
Оскільки кінетична енергія поступального руху молекул газу Ек N 
к 
, то
p 2 |
N |
|
к |
|
|
|
і |
|
|
pV 2 Eк . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Це рівняння перепишемо таким чином: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
pV |
2 |
N |
m0vср2 |
.кв. |
|
|
1 |
mvср2 |
.кв. , |
|
де m =Nm0 – маса газу. |
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для одного моля газу m=μ і V=V . Тоді |
pV |
vср2 |
.кв.. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З іншого боку, за рівнянням Клапейрона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pV |
RT. |
Отже, |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
RT |
|
2 |
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
3RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
vср.кв. |
|
|
|
vср.кв. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оскільки m0 NA , R kNA , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
3kT . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
де k – стала Больцмана, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср.кв. |
|
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RT |
|
kNAT |
nkT. |
7 |
||||||||||||
З рівняння Клапейрона |
|
|
|
|
|
|
p V |
|
|
V |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Середня кінетична енергія молекул. Молекулярно-кінетичне трактування абсолютної температури.
Знайдемо вираз для середньої кінетичної енергії поступального руху молекули ідеального газу:
k ENk m20 vñð2 .êâ. .
|
|
|
|
. |
|
Оскільки: |
v |
|
3kT |
то |
|
ср.кв. |
|
m0 |
|||
|
|
|
|
||
k m0 3kT 3 kT .
2 m0 2
Отже, середня кінетична енергія поступального руху молекул ідеального газу залежить тільки від його абсолютної температури, k прямо пропорційна до Т.
8
k
Якщо Т=0, то k 0, тобто припиняється поступальний рух молекул газу, а отже, дорівнює нулю його тиск.
0 |
Т |
|
Отже, абсолютна температура є міра середньої кінетичної енергії поступального руху молекул.
Однак в області температур, близьких до абсолютного нуля, поведінка молекул описується не законами класичної механіки, а законами квантової механіки.
9
3.Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями теплового руху та його елементарний аналіз.
Швидкості окремих молекул змінюються внаслідок їх хаотичного руху, але властивості газу у стані термодинамічної рівноваги при цьому не змінюються: залишаються постійними параметри системи.
Розподіл молекул за швидкостями виявляється не випадковим, а підлягає певному законові.
Цей закон є однозначний і єдино можливий. |
|
Дж. Максвелл теоретично розв'язав задачу про |
1831 - 1879 |
розподіл молекул ідеального газу за швидкостями |
|
поступального руху. |
|
10