8.Принцип стискаючих відображень

Нехай Х – метричний простір. А: Х ―› Х. Відображення А називають стискаючим (оператором списку), якщо .

Твердження. Відображення списку є неперервним.

Доведення. Візьмемо довільні х,уєХ. Доведемо, що .

Означення. Точка х*єХ називається нерухомою точкою оператора А, якщо Ах*=х*.

Теорема Банаха(принцип стискаючих відображень).

Нехай метричний простір Х – повний, А: Х ―› Х – оператор списку, тоді існує єдина нерухома точка х*єХ: Ах*=х*.

Доведення.

Візьмемо довільну точку х₀єХ. Якщо Ах₀=х_0, то нерухома точка знайдена. Інакше Ах₀=х₁ . Якщо Ах₁=х₁ , то нерухома точка знайдена. Інакше Ах₁=х₂ і т.д.

Отже, або на деякому кроці ми знайдемо нерухому точку, або буде побудована послідовність точок {x_n}єХ.

ρ(x_n+p, x_n) = ρ(Ax_n+p-1, Ax_n-1) ≤ ρ(x_n+p-1, x_n-1) = ρ(Ax_n+p-2,Ax_n-2) ≤ ²ρ(x_n+p-2, x_n-2) ≤ … ≤ ρ(x_p, x₀) ≤ ⁿ(ρ(x_p, x₁) + ρ(x₁, x₀)) = ⁿ(ρ(Ax_p-1, Ax₀) + ρ(x₁, x₀)) ≤ ⁿ(ρ(x_p-1, x₀) + ρ(x₁, x₀)) ≤ ⁿ(ρ(x_p-1, x₁) + ρ(x₁, x₀) + ρ(x₁, x₀)) ≤ … ≤ ⁿ(^p-1ρ(x₁, x₀) + … + ρ(x₁, x₀) + ρ(x₁, x₀)) = ⁿρ(x₁, x₀)( ^p-1 + ^p-2 + … +  + 1) ≤ ⁿρ(x₁, x₀)(1+  + ² + …) =

Отримали, що {x_n}-ф., Х-повний => x_n—> x*єХ. А – неперервне відображення, отже

Якщо деяка послідовність в метричному просторі збігається, то її границя єдина.

ρ (x*,y*)≤ ρ (x*,x_n)+ ρ (x_n,y*)

ρ (x*,y*)=0 => x*=y*

Довели, що нерухома точка існує. Покажемо, що вона єдина. Припустимо супротивне.

Існує x*, y*єX: Ax*=x*, Ay*=y*

ρ (x*,y*)= ρ (Ax*, Ay*)≤ ρ(x*,y*)

(1-)ρ(x*,y*)≤0

ρ(x*,y*)≤0

ρ(x*,y*)=0

З аксіоми тотожності це означає, що x*=y*.

Теорему Банаха застосовують по-перше, для доведення існування та єдиності розв’язків рівняння Ax=x, по-друге, для побудови наближеного розв’язку такого рівняння(метод послідовних наближень).

Приклад.

f(x): [a,b]→[a,b]

Нехай ця функція задовольняє умову Ліпшица. Існує k>0: для кожних x,y є [a,b]

|f(x)-f(y)| ≤ k|x-y|

Якщо 0<k<1 та f – відображення списку, і тоді рівняння f(x)=x має на [a,b] єдиний розвязок. Нехай f(x) диф.

Нехай існує f`(x), | f`(x)|<1, тоді функція задовольняє умові Ліпшица.

а) 0< f`(x)<1

б) -1<f`(x)<0

9.Відносна компактність.

Озн. Множина К називається відносно компактною, якщо з будь-якої послідовності точок множини К можлива вилучити фундаментальну послідовність.

Приклади:

1) X=R K=N , тобто К не відносно компактна.

2)

тоді і тільки тоді, коли

З послідовності неможливо вилучити фундаментальну підпослідовність.

3)

За теоремою Больцано-Вейєрштраса з обмеженої числової послідовності можна вилучити збіжну підпослідовність, а збіжна послідовність є фундаментальною. Тобто К – відносно компактна.

4)

Беремо . Ця послідовність обмежена, тобто аналогічно попередньому прикладу.

Нехай Х – метричний простір. Множини .

Озн. Множина М називається для множини А, якщо

Приклади:

1)

М – це 1-сітка для множини А.

Перша теорема Хаусдорфа. Множина відносно компактна тоді і тільки тоді, коли

Доведення.

Необхідність. Нехай К – відносно компактна. Візьмемо і побудуємо для К скінченну-сітку. Візьмемо. Якщо відстань, то сітка побудована.--сітка. Інакше:. Тоді будемо розглядати. Якщоабо, то сіткапобудована. Інакше:та, тодіі т.д.

Через скінченну кількість кроків ми побудуємо скінченну -сітку.

Якщо припустити, що процес триватиме нескінченно, то маємо . З такої послідовностінеможливо вилучити фундаментальну підпослідовність. Це суперечить тому, що К – відносно компактна.

Достатність. Нехай К така, що для К існує скінченна-сітка. Покажемо, що К – відносно компактна. Візьмемо довільну послідовність. Будемо розглядати. Якщо Т – скінченна, то зможна вилучити стаціонарну підпослідовність (вона збіжна, фундаментальна). Нехай Т – нескінченна.. Беремо, для К існує скінченна-сітка – М₁. Тоді . Т – нескінченна, а куль скінченна кількість, тому серед усіх куль існує куля В₁[y_1,] яка містить нескінченну частину.

Беремо, для К існує скінченна-сітка – М₂. Тоді . Множина Т₁ – нескінченна, а куль скінченна кількість, тому серед усіх куль існує куля В₂[y_2,] яка містить нескінченну частинуі т.д.

Ми подували послідовність вкладених нескінченних множин.

. Точки

. А значить - фундаментальна. Тобто К – відносно компактна.