7.Поповнення метричного простору

Будь-який метр.простір можна включити до деякого повного метр.простору.

Озн.Підпростором м.п. (Х,ρ) називається підмножина МХ (М,ρ)

Озн.Повний м.п.Х* назив поповненням м.п. Х, якщо: 1) Х-підпростір простору Х* . 2) =X* мн-на х скрізь щільна у цьому просторі.

Приклади:

1. - неповний

1.2.

-поповнення простору

2. - неповний

1.

2.

Повний простір є поповненням простору

Теорема: неповн м.п. існує поповнення, це поповнення є єдиним з точністю до ізометр.відображення, яке зберігає нерухомими точки множини Х.

Дов. I єдиність поповнення

Припустимо, що для неповного м.п. Х існують два поповнення Х*,Х**, такі що:

1. , тобто це відображення зберігає нерухомими точки множини Х.

2. х*,у*Х*тобто відображенняізопериметричне

- метрика I-го простору Х*

- метрика I I -го простору Х*

Візьмемо довільний елемент х* Х*

: з іншого боку

Таким чином, ми побудували відображення:Х*Х** це відображення є взаємооднозначнимза побудовою

:,

,

Х**

бо

бо

- ізометрія

II Існування поповнення

Дві фунд.послід.{x_n},{x_n’}X будемо наз.еквівалентними

{x_n}~{x_n ‘}, якщо =0.

Це відношення є рефлексивним, симетричним, транзитивним, тобто відношення дійсно еквівалентні.

Озн: Рефлексивне:{x_n}~{x_n’}.

Симетр.:{x_n}~{x_n’}{x_n’}~{x_n}

Транзитивне:{x_n}~{y_n },

{y_n}~{z_n }{x_n }~{z_n}

X^* - мн.класів еквівалентності

x^*, y^* X^*

{x_n} X^*, {y_n} Y^*

Треба показати

1) .

2) Показати, що ця границя не залежить від послідовностей.

3) Перевірити аксіоми метрики.

метр.простору Х, x, y, z, t X справ.нер.чотирикутника.

|-|

1), при n,m , бо {x_n} фунд., аналогічно при n,m , бо {y_n} фунд. Отже, весь вираз , з чого слідує, що числ.послід.{} фунд., а тому вона збіжна і .

2)

3) - метрика

1°.-один клас.

2°.

3°.

Таким чином, озн.ф-ції є коректним. - метрика. - метр.простір. Залишається довести такі пункти:

1)

2)

3) X* - повний м.п.

1)

таке, що - фунд.

Побудовано відображення

, - ізометрія.

X – ізометр.простір. Далі вважаємо

2)

- фундам.

, а x* - довільна точка з X*.

,,

Звідси справ.рівність

3)

для x₂*

…

для x_n*

Побудуємо послідовність

{x_n} – фунд.

{x_n*} збіжна, простір X* повний.

Теорема доведена.

3. Збіжність у метричних просторах

Нехай Х – метричний простір, . Кажемо, що послідовність (збігається), якщо числова послідовність

Зауваження

1. Якщо х₀ – гранична точка послідовності {х_n}

Так наприклад у просторі R дійсних чисел послідовність(1,1,1…) збігається до числа 1, але множина {1} не має граничних точок.

2. Нехай х₀ – гранична точка {х_n}

Звідси не обов’язково випливає, що

Так наприклад у просторі R дійсних чисел послідовність(1,1/2,1/3,…) має граничну точку х₀=0, але вона не збіжна.

Збіжність у конкретних метр. просторах.

1. точка х₀

Таким чином збіжність у просторах є поокординатна.

2. Х=С[a,b] {х_m}, х₀

х_m рівномірно збіжна на[a,b] до х₀

Таким чином збіжність у м.пр.C[a,b] це рівномірна збіжність функц. послідовності

6.Неперервні відображення метричних просторів

(X,ρ₁) (Y, ρ₂) f: X→Y

Означення: Відображення f називається неперервним у точці x₀єX, якщо

Якщо відображення f є неперервним в кожній точці простору Х, то його називають неперервним у Х.

Якщо відображення f: X→Y взаємно однозначне, то існує обернене відображення f^-1: Y→X.

Означення: Взаємно однозначне відображення f: X→Y таке, що f,f^-1 – неперервні, називається гомоморфним.

Якщо f: X→Y гомоморфне, то кажуть, що всі простори X,Y гомоморфні.

РИСУНОК

X=(-∞;+∞) ρ₁(x,y)=|x-y|

Y=(-π/2; π/2) ρ₂(x,y)=|x-y|

Якщо f: X→Y взаємно однозначне, f,f^-1 – неперервні, то (X,ρ₁) (Y, ρ₂) – гомоморфізм.

Важливим окремим випадком гомоморфізму є ізометричне відображення (ізометрія).

Означення. Взаємно однозначне відображення f: X→Yназивається ізометрією, якщо

ρ₁(x₁,x₂)=ρ₂(f(x₁),f(x₂))

Якщо f: X→Y ізометрія, то кажуть, що простори X,Y ізометричні. В них метричні зв’зки між точками однакові. Різною може бути природа елементів, але з точки зору теорії МП це неістотно.