rozrohunkova_mat

Варіант 27

1. Знайти матрицю А В - ВА , якщо

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

( 2х + у = 5,

<х + ау + Зг = 16,

І5у - 2 = 6

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а = 0, Ь — 10.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

2х + у + Зг + 4і = 7,

7х + Зу + вг + 8і = 1,

Зх + 2у + 4г + 5£ = 9, х + у + Зг + 4і = 6 .

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Оу кути а, /3, а з віссю Ог - гострий кут, якщо А(2; 3; 4), В(б; 5; 3), а = 60", /3 = 60°.

72

,9. Відомо, що |а| = З, |Ь| = 5. При якому значенні а вектори а + аЬ, а - аЬ будуть взаємно перпендикулярні?

10. Дано точки А(1; 0; 2), £ ( —3; 3; —1), (7(-3; 2; -3 ), 0(5; —4; 3). Показати, що вони є вершинами трапеції та знайти її площу.

11. Бетонна опора об’єму V = 5 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(2; 1 ; -1), В(3; 0; 1), С (2; - 1 ; 3). Знайти координати її вершини Д якщо відомо, що вона лежить на осі Оу, а також висоту опори.

Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут <р між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14. Дві сторони квадратної земельної ділянки лежать на прямих Ьх + 12у —10 = 0 та Ьх + 12у —29 = 0. Скласти рівняння двох інших її сторін за умови, що мітка М і(—3; 5) лежить на стороні квадрата.

15. Знайти точку перетину прямої —І — = - і площини 5х — Зу + 2г —2 = 0.

Записати рівняння прямої, що проходить через цю точку і утворює з осями координат ку­

дувати площину, перпендикулярну до отриманої площини.

16.Рекламний щит розміщений у площині Зх —у + Ь г+ 1 = 0. Він освітлюється прожек­ тором, закріпленим у точці Р (4; 3; -2 ). Знайти відстань від точки закріплення прожектора до площини щита.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи, якщо її рівняння X2 — 4у2 = 16. Зробити рисунок.

'іР'

18. На еліпсі — + —- = 1 знайти точку, для якої добуток фокальних радіусів дорівнює

16 9

квадрату малої півосі.

19. Скласти рівняння сфери, якщо точки А(2; —3; 5) і В(4; 1; —3) є кінцями одного з діаметрів сфери.

73

Варіант 28

4.Розв’язати матричне рівняння

З2

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

х + у —2 г = 6 ,

!2 ж + 3у —аг = 16,5х + 2у + г = Ь

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а — —7, Ь = 16.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х + 2у + Зг + 4і = 0, 7х + 14у + 20г + 27і = 0,

5ж + ІОу + 16г + 19* = —2, Зх + Ьу + 6 г + ІЗі = 5.

АІ), В і с Р - медіани трикутника АВС . Довести рівність АІ) + В І + С $ = 0.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Оу, Ог кути а, 7 , а з віссю Оу - гострий кут, якщо А (-5; 5; 1), В { - 3; 3; -1 ), а = 90°, 7 = 150".

9. Вектори а, Ьутворюють кут (/?=—, |5| = л/З, |б| = 1. Обчислити кут між векторами

р = а + Ь ід = а —Ь.

74

10.Дано дві суміжні вершини паралелограма А (-2; 6 ), В (2; 8 ) і точку перетину його діагоналей М (2; 2). Знайти дві інші вершини та площу паралелограма.

11.Бетонна опора об’єму V = 2 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках Л(2; 1; 3), В (3; 3; 2), С (1 ; 2; 4). Знайти координати її вершини О, якщо відомо, що вона лежить на осі О/, а також висоту опори.

будуть компланарними ?

13. Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(—2; 3), В(2; 1), С (—4; 3). Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.На плані парку дві мітки А(2; 3) і В (5; 7). Скласти рівняння осі прямолінійної пішохідної алеї, яка проходить через мітку Р(5; -3 ) паралельно до алеї, що проходить через задані мітки.

15.Знайти кут між площинами іх + у —3г+13 = 0 і х —2у + г— 1 1 = 0. Записати канонічні та параметричні рівняння прямої як лінії перетину цих площин. Провести площину через перпендикуляри, що опущені з точки Р (—3; 2; 5) на задані площини.

16.Обчислити відстань між елементами будівельної конструкції, якщо рівняння цих елементів 11х —2у —10г 4- 15 = 0 і 11х —2у —10г —45 = 0.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет та рівняння директрис еліпса, якщо його рівняння 25ж2 + 9у2 = 1. Зробити рисунок.

75

Варіант 29

1. Знайти (А + В т) ■(А - В т), якщо

5. При яких значеннях параметрів а та 6 система

!Ах —Зг = 1

Зі + у - Аг — Ь,2 ,ах - у —2г =

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а —4, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х + у + 2г + і —7,

г - у + 2 + 2і = 6,

2 ж + у —Зг —і = 0 ,

2х —2у - Зг + і = 1 .

7. У трикутнику АВС медіани перетинаються в точці М. Розкласти вектори АЙ, В(?

і (7/ї за векторами АМ = о, М~Й = Ь.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь утворює з координатними осями Ох, Оу кути а , /3, а з віссю Ог - тупий кут, якщо А(2; 1; 4),

В(3; 5; 6 ), а = 60°, 0 = 60°.

76

9. Знайти довжини векторів а + Ь і а - Ь, якщо а = р + 2д, Ь = Зр - д, |р] = 1, |д| = 2,

10.Показати, що земельна ділянка з вершинами у точках А, В, (7, Г> має форму квад­ рата. Знайти площу цієї ділянки, якщо А (-3; 2), В (2; 2), <7(2; -3), У3(-3; -3 ).

11.Бетонна опора об’єму V =120 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(1; 2; 0), В (2; 3; 2), (7(1; 4; 5). Знайти координати її вершини Д якщо відомо, що вона лежить на осі Ох, а також висоту опори.

12. Чи вектори а — (1; 3; —4), 6 = (2; 0; —2), с = (1; 1; 1) компланарні ?

13. Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(2; 4), В (6 ; 2), С(4; —2). Написати:

а) рівняння сторони (АВ)-, б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14. Дві дороги проходять вздовж прямих 2х + Зу —5 = 0 і —Зі + 2у 4 1 = 0 . Під яким кутом і в якій точці вони перетинаються?

(

проходить через точку М (2 : 3; —2 ) паралельно до першої прямої. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М перпендикулярно до першої прямої.

16.Поверхня стола освітлюється світильником, закріпленим у точці Р(1; 2; 5). Знайти відстань від точки закріплення світильника до поверхні стола, якщо вона лежить у площині

2х + у + 4г —5 = 0.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи,

якщо її рівняння ^ - ^ = 1 .

18.Написати канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетри­ чно відносно початку координат, знаючи, що відстань між його директрисами дорівнює 32

іексцентриситет е = 0,5. Зробити рисунок.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

( і + І ) 2 - 4у2 - 16я + 32 = 0.

77

10. Показати, що земельна ділянка з вершинами у точках Л(3; 1), В (3; 5), С(9; 5), -0(9; 1 ) має форму прямокутника. Знайти кут між діагоналями та площу ділянки.

1 1 . Бетонна опора об’єму V =60 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(2; 1; 2), В (3; 2; 2 ), С (0; 1; 1). Знайти координати її вершини Ц якщо відомо, що вона лежить на осі Ох, а також висоту опори.

12. При якому а вектори а = (2; 0; 3), Ь = (4; 2; 0), с = (1; 1; а) будуть компланар­ ними?

13. Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(3; 4), В (7; 4), С (7; 2). Написати:

а) рівняння сторони (АВ)\ б) рівняння висоти (СВ) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СВ) і медіаною (ВМ).

14.Дві дороги проходять вздовж паралельних прямих 2х + у —4=0 і 2х + у - 10=0. На­ писати рівняння прямої, яка проходить паралельно до даних прямих на однаковій відстані від них.

15.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку Р(2; —3; 8 ) і має вектор нормалі п = (1 ; 3; 5). Звести це рівняння до нормального. Записати рівняння прямої, яка проходить через початок координат і має напрямний вектор п.

16.Верхня плита перекриття закріплена в точках А(2; 1 ; 0 ), В (1 : 2; 2), С(0; 0: 0). За­ писати рівняння площини, в якій лежить плита. Звести отримане рівняння до загального.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів-

гіР‘

няння — + — = 1. Зробити рисунок.

18. Написати канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі абсцис, симет-

79