rozrohunkova_mat

*г

Варіант 22

б. При яких значеннях параметрів а та Ь система

І—6х —9у + аг = 8 ,

у- 9г = 8Зі + 4у — 7г = Ь,

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а = 22, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

5х —у + Зг -і 4і — в,

х + Зу —г —4( — —2,

—х + 2-у + г —6 < = 2 , 2х —7у + 2г + 144 = 4.

7.У трапеції А ВСИ довжини основ АГ) і В С відносяться як 3 : 2. Беручи за базисні

вектори АС —7? і В ід = !> знайти розклади векторів А §, ВЙ, С І), 'Л%.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, яка утворює з координатними осями Ох, Оу кути а, Д, а з віссю Ог - гострий кут, якщо А(4; 3; 7), В (2; 1; -4 ), а = 120°, /3 = 60°.

62

9. Вектори о, 6 , с утворюють між собою однакові кути, кожний з яких дорівнює 60°.

Знайти модуль вектора р —а + Ь+ с, якщо |а| = 9, |б| = 3, |с] = 5.

10.Знайти площу та координати вершин С і В квадратної земельної ділянки А ВС В ,

якщо А(6 ; - 1 ), В (8 ; —2).

11.Бетонна опора об’єму V = 12 має форму трикутної піраміди, три вершини якої

утворюватимуть праву трійку векторів?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(1; 2), В (3; 5), С(3; 1). Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СВ) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут (р між висотою (СВ) і медіаною (ВМ).

14.На плані парку дві алеї проходять вздовж двох прямих Зх+4у—2 —0 , 5х —12у —4=0.

Укуті, що містить точку (1;1), запроектувати клумбу так, щоб відстані від неї до прямих відповідно дорівнювали 3 і 1 .

15. Знайти точку А', яка симетрична до точки А(1 ; —2; 3) відносно площини 2х - 4у + 5г - 2 = 0. Записати рівняння площини, що проходить через точку А паралельно до цієї площини. Записати рівняння прямої, що проходить через точки О та А'.

16.Верхня частина естакади для огляду автомобілів є площиною, що проходить через точку М (4; -1 ; 2) паралельно до площини поверхні землі (площина хОу). Скласти рівняння площини верхньої частини естакади.

х2

17.Знайти величину параметра, фокус, директрису параболи, якщо її рівняння — = у.

5

Зробити рисунок.

18.На прямій х = —5 знайти точку, однаково віддалену від лівого фокуса і верхньої вершини еліпса х2 + 5у2 —2 0 .

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

х- 4у2 - (г - 2 ) 2 + 3.

63

Варіант 23

1. Знайти всі можливі добутки таких матриць

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а = 23, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Оу кути а , /3, а з віссю Ог - гострий кут, якщо А(ч/2; 0; 2), В (0 ; 1 ; 8 ); а -= 45", /3 = 120”.

64

С (4; 3), В(4; - 1 ) має форму прямокутника. Знайти тупий кут між діагоналями та площу цієї ділянки.

11. Бетонна опора об’єму V = 14 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(2; 1; 2), В (3; 3; 1), С(1; 2; 3). Знайти координатиїї вершини О, якщо відомо, що вона лежить на осі Ог, а також висоту опори.

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(0; 4), В (—2; —1), С( 1; 1). Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут <р між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Відновити координати місця встановлення світлофора, знаючи, що відхилення від нього до автодоріг 5х - 12у —13 = 0 і Зх —Ау - 19 = 0 відповідно дорівнюють -3 і -5.

15.Знайти точку А', симетричну до точки А(2; —4; 7) відносно прямої, яка проходить через точки Мі(3; —2; 5) та М2 (4; —3; 3). Знайти канонічні та параметричні рівняння пря­ мої, що проходить через точки А та А'. Записати рівняння площини, що проходить через точки А, М% та М2.

16.Край верху цегляної кладки стіни має вигляд прямої, що проходить через точки

Мі(—2; 4; 6)таЛГ2 (3; —5; 6 ). Стовп огорожі закопаний у точці М0 (5; 4; —3). Знайти відстань від основи стовпа (точка М0) до краю кладки.

18. На еліпсі ^ = 1 знайти точку, різниця фокальних радіусів якої дорівнює 6,4.

19. ГІри якому значенні т, площина х —2у —2г + т = 0 дотикається до еліпсоїда

-.2 „2 Л

65

Варіант 24

1. Знайти всі можливі добутки таких матриць

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а —24,6 = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х + Зу + 2 —6 ( = —2,

5х + у —г + 4і —2,

Зх + у + і = 0,

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Оу кути а, (3, а з віссю Ох - гострий кут, якщо А(1; 2 ; 3), В(5; 4; 2 ), а = 60°, /3 = 60°.

66

10. Показати, що земельна ділянка з вершинами у точках Л(4; 2), В (4; 7), С(7; 7), Б(7; 2) має форму прямокутника. Знайти тупий кут між діагоналями та площу цієї ділянки.

11. Бетонна опора об’єму V = 16 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(3; 2; 2), В (4; 4; 1), С(2; 3; 3). Знайти координати її вершини Ц якщо відомо, що вона лежить на осі Ог, а також висоту опори.

12. При якому значенні а вектори а — - 2 і + а ] , Ь — і + о + к , с —3 і —з + к будуть утворювати праву трійку векторів?

13. Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А (-2; 1), В (3; 5), С(1; -1 ). Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Вздовж прямолінійної дороги між населеними пунктами А(1; -3) і В (4; 3) потріб­ но побудувати два кемпінги так, щоб відрізок АВ ними поділився на три рівні частини. Визначити координати точок, в яких побудують ці кемпінги.

15.Знайти точку А', яка симетрична до точки А(2; - 5 ; 3) відносно площини, що про­ ходить через точки Мі( 1 ; 5; —2), М2(2 ; —3; 4) та М3 (—1; 0; 2). Перевірити, чи належать прямі, що проходять через точки А і А', Мі і М2, М2 і М3, площині —4х + у + 2г + 3 = 0. Записати рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно до площини, яка проходить через точки Мі, М2 і М3.

16.Виконроб з нівеліром знаходиться в точці Р (2; -3; -5) і досліджує будинок, фасад

якого є площиною 6 х —Зу + 2 = 0 . Записати канонічні та параметричні рівняння прямої, що проходить через точку Р перпендикулярно до площини фасаду.

17.Знайти величину параметра, фокус, директрису параболи, якщо її рівняння —Xі = у. Зробити рисунок.

18.В еліпс х2+4у2 —4 вписано правильний трикутник, одна з вершин якого збігається

зкінцем великої півосі. Визначити координати двох інших вершин трикутника.

67

9. Знайти довжину діагоналей паралелограма, побудованого на векторах а —р + 2<? та

6 = 2 р + д, якщо |рІ = 3, |д1 = л/3, (рд) =

б

10.Показати, що земельна ділянка з вершинами у точках А(0; -1), В (0; 2), С(3; 2), -0(3; -1 ) має форму прямокутника. Знайти тупий кут між діагоналями та площу цієї ді­ лянки.

11.Бетонна опора об’єму V = 19 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(1; 1 ; 4), В (2; 3; 3), С (0; 2; 5). Знайти координати її вершини О, якщо відомо, що вона лежить на осі Ог, а також висоту опори.

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(5; 4), В (-3 ; 2), С (3; —2). Написати:

а) рівняння сторони (АВ)\ б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Дві дороги проходять вздовж прямих Зх + у —5 = 0, х —2у + 10 = 0. Записати рівняння дороги, яка пройде через точку їх перетину на відстані сі = 5 від населеного пункту

С(—1: —2). Розв’язати задачу, не обчислюючи координат точки перетину доріг.

міст буде паралельним до площини дороги 2х —у + С г —2 = 0?

17.Знайти величину параметра, фокус, директрису параболи, якщо її рівняння 2у2 —8х. Зробити рисунок.

18.Знайти ексцентриситет гіперболи, асимптота якої утворює з дійсною віссю кут 60".

19.Скласти рівняння сфери, з центром у точці 5(5; 0; 0), яка дотикається до площини х —0 . Зобразити на рисунку.

69

Варіант 26

5. При яких значеннях параметрів о та 6 система

х + 2у + Зг = Ь,

(х + ау + 4г = 6 ,

2х —у — 2 = 1

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а —3, 6 = 5 .

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

Зх —2у —5г + і = З, 2х —Зу + г + 5* = —З,

х+ 2у —4( = —З,

х—у —4г + 9і = 22.

7.Нехай М - точка перетину медіан трикутника АВС , О - довільна точка простору.

70