rozrohunkova_mat

Варіант 17

1. Знайти всі можливі добутки таких матриць

5.При яких значеннях параметрів о та 6 система

ґ—4г/ + 7г = З,

( + Юу —13г = 15, 1 Зх + Ьу —8 г = Ь

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а = 17, Ь —0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х —Зу + г = 4 ,

2х —у + 2і = 9,

—Зх + 2 у %—і — 0 ,

—Ах —5у + 4г —5і — 1.

7. У паралелограмі АВСО сторона ВС точкою М поділена так, що В М : МС = 1 :2 , а сторона ОС точкою N відповідно поділена так, що Оі\г : МС = 1 : 2 . Розкласти вектори

АЙ, А&, Ш ЇЇ, В І) за векторами а = А м і Ь = А $ .

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Оу кути а, /5, а з віссю Ог - тупий кут, якщо А(3; - 4 ; -2 ), В (2; 5; -2 ), а = 60°, /3 = 120°.

52

9. Знайти кут між одиничними векторами р та ((. якщо відомо, що вектори а = р + ([, Ь = р —2д взаємно перпендикулярні.

10. Дано три точки А(2; 1), В (3; -1 ), С ( - 4; 0), які є вершинами земельної ділянки, що має форму рівнобічної трапеції А ВС Б з основами АВ та С В . Знайти координати вер­ шини Д кут між діагоналями та площу ділянки.

11. Бетонна опора об’єму V = 2 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(2; 1; 3), В (3; 3; 2), С( 1; 2; 1). Знайти координати її вершини О, якщо відомо, що вона лежить на осі Ог, а також висоту опори.

12. ГІри яксму значенні а вектори а = 2 і + і + 5 к , Ь = 3 і — ] + 5 к , ~ ї — і + а ] + к не будуть компланарними?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(—7; 4), 23(1; —3), С (5; 1). Написати:

а) рівняння сторони (АВ)', б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут <р між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.На рівнинній місцевості між пунктами А(-4; -1) і В (2; 6 ) проходить пряма шосейна

15. Знайти точку перетину прямої —-— = — — = —-— і площини Зі+ 4у + г —1 = 0.

Записати рівняння прямої, що проходить через цю точку і утворює з осями координат ку­

чаток координат побудувати площину.

16.Два будинки розташовані навпроти. Знайти відстань між ними, якщо рівняння площин їх фасадів: 2х - у + 9 = 0, Юх —5г/ —60 — 0.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи,

Xі у2

ЯКЩО її рівняння —----- 7— = — 1. Зробити рисунок.

436

18.Знайти довжину хорди еліпса х2+ 2у2 = 18, яка ділить кут між його осями навпіл.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

у= 225ж2 —16г2.

53

9.Знайти кут між одиничними векторами р та д, якщо відомо, що вектори а = р —2д,

Ь= 5р + 4д взаємно перпендикулярні.

10.Дано три точки А(0; 2), В(1; 0), С (—6 ; 1), які є вершинами земельної ділянки, що

має форму рівнобічної трапеції А В С В з основами АВ та СО. Знайти координати вершини О, кут між діагоналями та площу ділянки.

11. Бетонна опора об’єму V = 4 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках /1(1: 1; 3), В (2; 3; 2), С(0; 2; 1). Знайти координати її вершини О, якщо відомо, що вона лежить на осі Ог, а також висоту опори.

Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А: г) знайти кут </? між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14. На плані парку дві мітки А(3; 3) і В (5; 1). Скласти рівняння осі прямолінійної пішохідної алеї, яка проходить через мітку Р {4; 2) на однаковій віддалі від заданих міток.

15.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0 (3; —4; - 5 ) перпенди­ кулярно до площини 7і-3і/ —4г+1 = 0. Знайти точки перетину цієї прямої з координатними площинами та її напрямні косинуси. Через ці точки перетину побудувати площини, перпен­ дикулярні до вищеотриманої прямої. Записати рівняння площини, якій належать усі точки перетину.

16.Рекламний щит розміщений у площині 2х —у + Зг + 23 = 0. Він освітлюється прожектором, закріпленим у точці Р (5; 2; -1). Знайти відстань від точки закріплення про­ жектора до площини щита.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи,

у2

якщо її рівняння х2 - — — —1. Зробити рисунок.

18.На параболі у2 — 4,5а: взято точку М (х,у), яка розміщена від директриси на відстані і = 9,125. Обчислити відстань цієї точки від вершини параболи.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

4х2 + 9у2 —г2 = 36.

55

Варіант 19

1. Знайти всі можливі добутки таких матриць

4. Розв’язати матричне рівняння

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

Х + Зу —42 = 6 ,

!5ж + 6 у —аг — —9, х —4г = —З

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а = 19, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х —у + 2 —41 = —2,

ІЗж + у - 2г + 2£ = 6 , 2ж + Зу —г + Зі = 4,

7.У трикутнику А ВС пряма АМх4 + є2убісектрисоюЗг + 8 —кута—4. ВАС, причому точка М лежить

на стороні ВС. Виразити АЬІ через АЙ = Ь і А(І = .

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Оу кути а , /3, а з віссю Ог - тупий кут, якщо А(3; 0; 4),

В(1; 2л/2, -2 ); а = 60°, /3 = 45°.

56

9. Вектори а, Ь, с утворюють між собою однакові кути, кожний з яких дорівнює 60°.

Знайти модуль вектора р = о + Ь+ с, якщо \а\ —4, |?| = 2, |с|= 6 .

10. Дано три точки А(5; 4), В (6 ; 2), С (--1 ; 3), які є вершинами земельної ділянки, що має форму рівнобічної трапеції А ВС О з основами АВ та С£>. Знайти координати вершини

Дкут між діагоналями та площу ділянки.

11.Бетонна опора об’єму V = 6 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках Л(3; 2; 4), В(4; 4; 2), С (2; 3; 4). Знайти координати її вершини Д якщо відомо, що вона лежить на осі Ог, а також висоту опори.

=—3 ] + 7 к не будуть компланарними?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(3; 3), В ( 1; -2 ), С(0; 5). Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СП) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут <р між висотою (СБ) і медіаною (ВМ).

14.Дві дороги проходять вздовж прямих ж - З у + 10 = 0і2ж + г/ - 8 = 0, а населений пункт знаходиться в точці Р {0; 1). Записати рівняння лінії, вздовж якої пройде така дорога, щоб відстань від пункту до заданих доріг була однаковою.

15.Скласти рівняння площини, що проходить через точку Мі (2; —3; 4) перпендику-

щини. Через точку М2 провести площину, паралельну до вищеотриманої. Записати рівняння площини, що проходить через точки Му, М2 та Мд(6 ; 8 ; —1).

16. Лінія дорожньої горизонтальної розмітки проходить через точки М і(5; 4; 6 ) та М2 (—2 ; -17; —8 ). Електрична опора закопана в точці Р (2; -5; 7). Знайти координати точки розміщення опори, симетричної відносно лінії розмітки.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи, якщо її рівняння 25у2 —х2 — 1 . Зробити рисунок.

18.Через вершину параболи у2 — 4%/2х проведена пряма під кутом 45° до її осі. Обчислити довжину хорди, що відтинається параболою на цій прямій.

19.Написати рівняння проекції на площину хОг перерізу еліптичного параболоїда у2 + г2 = х площиною х + 2у —2 = 0 .

57

Варіант 20

!—4ж + ау + 9г = 26, ж + 1 2 г = 13

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при о = 2 0 , 6 = 0 .

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

ж —2 у + г + 4і ——1 ,

2х + у —г —£ = 1 , 5ж + у + 2г + ( = -2 , 9ж + 8 у —Зг —4і = 3.

58

9. Вектори а, Ь, с утворюють між собою однакові кути, кожний з яких дорівнює 60°. Знайти модуль вектора р = а + Ь+ с, якщо |о| = 3, |б| = 1, \с\ = 2.

10.Знайти площу та координати вершин <7 і В квадратної земельної ділянки А ВС В ,

якщо А(2; 1), В (4; 0).

11.Бетонна опора об’єму У = 8 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А{\\ 3; 0 ), 0 (2 ; 5; —1 ), (7(0; 4; 1 ). Знайтикоординати її вершини Д якщо відомо, що вона лежить на осі Ог, а також висоту опори.

1? = 3 і —2 у + а к утворюватимуть праву трійку векторів?

13. Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(4; 1), В (-2 ; -3 ), С (—1; 2). Написати:

а) рівняння сторони (АВ):

б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину'; в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А;

г) знайти кут ір між висотою (СВ) і медіаною (ВМ).

14.Два населені пункти знаходяться в точках А(2; -3) і В(5; -1). Провести пряму дорогу так, щоб вона, пройшла на відстані 6 одиниць від пункту А і на відстані 4 одиниць від пункту В.

15.Побудувати пряму, що проходить через точки Мі (4; -2 ; 2) та М2 (1 ; - 3 ; 2 ). Знайти кут між нею та площиною Зж+ 2у —6 г + 4 = 0. Записати рівняння площини, що проходить через побудовану пряму перпендикулярно до площини х + 4 у —2г+5 = 0. Записати рівняння площини, що проходить через початок координат та точки Мі і М2.

18.Написати канонічне рівняння параболи, якщо вона симетрична відносно осі Оу і проходить через точки М (—4; 3) і <7(2; 3). Знайти точки перетину цієї параболи з осями координат.

19.Написати рівняння проекції на площину уОг перерізу еліптичного параболоїда у2 + г2 = х площиною х + 2у - г = 0 .

59

Варіант 21

1. Знайти всі можливі добутки таких матриць

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

4х + у — 5г = 6 , !ах —7у —11г = 4, х —6у + 7г = 2

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а = 21, Ь —0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

5х —у + г —Ш = - 6 , х + у + 2 г = 0 ,

2х — у —г —2і — -З ,

2х + 2у + Зг —і = 0 .

7. У паралелограмі АВСО точка Р - його центр, а точка ($ - середина сторони СО. Розкласти вектори ОІ>, 0<І>, С)Р, ОЇ1. О І , <3 А РС за векторами ОА — а, 0& = Ь, ОС = с, якщо О - довільна точка простору, яка не лежить в илощині паралелограма.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Оу кути а, /3, а з віссю Ог - гострий кут, якщо А(0; ЗУЗ; 2), В (5; л/3; -1 ), а = 90°, /3 = 30°.

60

9. Вектори а, 6 , с утворюють між собою однакові кути, кожний з яких дорівнює 60°.

Знайти модуль вектора р = а + Ь + с, якщо |а| = 7, |б|= 4 , |с] = 1.

10.Знайти площу та координати вершин <7 і О квадратної земельної ділянки АВСО ,

якщо А{5; 0 ), В (7; - 1 ).

11.Бетонна опора об’єму У = 10 має форму трикутної піраміди, три вершини якої

14.Відновити координати населених пунктів А і В, знаючи, що АЗС, яка знаходиться

вточці С(-5; 4), ділить відрізок АВ у відношенні 3 : 4, а СТО, що знаходиться в точці 0(6; -5), •у відношенні 2 : 3.

Записати рівняння площини “у відрізках”, що проходить через побудовані паралельні пря­ мі. Записати рівняння прямої, що проходить через початок координат і має напрямним вектором нормальний вектор вшцеотриманої площини.

16. Підвищений острівець безпеки знаходиться на лінії, яка проходить через точки з координатами М\(2; —3; 4) та М і(6 ; 4; 5). Записати канонічні та параметричні рівняння прямої, що проходить через точки Мі та М2.

17. Знайти величину параметра, фокус, директрису параболи, якщо її рівняння

•у2 = 6х. Зробити рисунок.

З

18. Відстань між кінцями малої та великої осей еліпса в - раза більша від його фо­ кальної відстані. Знайти ексцентриситет еліпса.

19. Знайти сім’ї твірних для поверхні:

2 = х 2 —4(у + І ) 2 - 1 .

61