rozrohunkova_mat

Варіант 7

1. Знайти добуток матриць (А +2ВТ)-В, якщо А =

3х - у - 2г = Ь,

! 2х - ау + 5г = -1 , ж + 7у —7г = 1

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а —7, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х - 2у + г = —1 , Зх + 5г/ —і = 0,

2 і + Зу + 5г - 2і = —9, 6 т + 5у — і = 4.

7. Точки Е і Р є серединами сторін АВ і СБ чотирикутника АВСО. Довести, що

—-------_Користуючись доведеним, вивести теорему про середню лінію трапеції.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Оу, Ог кути /3, 7 , а з віссю Ох - тупий кут, якщо А(3; 5; 4),

В (4; 6 ; - 3) , Д = 120°, 7 = 60°.

9. Визначити, при якому параметрі а вектори а + аЬ та а —аЬ будуть взаємно перпен­ дикулярними, якщо |а| = З, Ь = 5.

32

10.Відомі три послідовні вершини А, В , С земельної ділянки, що має форму пара­ лелограма. Знайти четверту вершину, кут між діагоналями та площу цієї ділянки, якщо А(5; 0), В (8;1), С(0; 2 ).

11.Бетонна опора об’єму V = 18 має форму трикутної піраміди, три вершини якої

б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину; в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А;

г) знайти кут <р між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Границі дорожньої смуги проходять вздовж ліній х + 2у~ 3 = Ота 2я:+4у+9 = 0. На відстані 5 метрів від країв дороги необхідно утворити захисну смугу із зелених насаджень. Записати рівняння ліній, вздовж яких будуть висаджені дерева.

15.Скласти рівняння площини, що проходить через точку М>(1; 3; 0) і має нормаль­ ний вектор а — (-3 ; 2; 6 ). Звести це рівняння до нормального рівняння та до рівняння у “відрізках”. Записати рівняння прямої, що проходить через початок координат і напрямним вектором якої є вектор а. Скласти рівняння площини, яка перпендикулярна до вектора а і відтинає на осі ОУ відрізок Ь = —3.

16. Знайти висоту горища, якщо відомі рівняння площин даху х + у —2 + 2 = 0, 4х - Зу —2г + 4 = 0 і перекриття 2х + у —12 = 0.

17. Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів­ няння 9х2 + 4у2 = 1, Зробити рисунок.

18. Парабола у2 = 2х відтинає від прямої, що проходить через початок координат,

З

хорду завдовжки - . Скласти рівняння цих прямих.

33

Варіант 8

4. Розв’язати матричне рівняння X ■А ■В = С, якщо

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

Зх —у —2г = Ь,

(ах —4у —2 = 4, у - 5г = - 4

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв'язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а = 8 ; Ь —0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х —5у + 2г + і = 4 , Зх + 7у —2 —і = 2,

—2х + Ьу - Зг + 21 = 19,

-З х - Юу + і = -5 .

7.На стороні АВ паралелограма АВС Б відкладено точку К , а на діагоналі АС точку

Мтак, що |аі?| = - |а6 і і АА? = - |аЙ|. Довести, що вектори К ьк і м Й ~ колінеарні і

знайти відношення |лГД^| : |м^|.

8 . Дано дві точки А і В , які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Оу, Ог кути /3, 7 , а з віссю Ох - тупий кут, якщо А(2; -\/2\ 1), В (9; 4л/2; -3 ), /3 = 45°, 7 = 60°.

9. Визначити, при якому параметрі а вектори а + аЬ та а —аЬ будуть взаємно перпен­ дикулярні, якщо |о| = 2 \/2 , Ш = 2 .

34

10.Відомі три послідовні вершини А, В , С земельної ділянки, що має форму пара­ лелограма. Знайти четверту вершину, кут між діагоналями та площу цієї ділянки, якщо А(3; 2), В (6 ; 3), С ( - 2; 4).

11.Бетонна опора об’єму V = 24 має форму трикутної піраміди, три вершини якої

знаходяться в точках А(2; 3; 4), В (4; 2; 3), С {3; 4; 2). Знайти координати її вершини В, якщо відомо, що вона лежить на осі Ох, а також висоту опори.

а) зелений колір утворений “змішуванням” однакової кількості синього і жовтого кольорів;

б) освітленість точки кольором пропорційна квадрату відстані від точки до відповід­ ної гірлянди.

15. Точка Р (3; -1 ; 2) - основа перпендикуляра, опущеного з початку координат на площину. Записати рівняння цієї площини і знайти точки перетину з осями координат. Записати параметричні рівняння прямих, які проходять через ці точки перетину. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат паралельно до вищеотриманої площини.

16.Рівняння площини поверхні стіни спортзалу 4х —Зу —5 = 0. Знайти відстань від точки М (3; - 6 ; 7) закріплення прожектора до поверхні стіни.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів­ няння 49х2 + 35г/2 = 7. Зробити рисунок.

18.На гіперболі 9 і2 —16у2 = 144 знайти точку, відстань якої від лівого фокуса вдвічі менша ніж відстань від правого фокуса.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

35

Варіант 9

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

х + Зу - 4г = Ь,

І2х + 4у —аг = —4,

У + г = 2

а) має єдиний розв’язок; б) мав безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а = 9, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

4х + у —г - і =26,

2х + у - 2і = 16, х + у + 4г + І — 11,

-х + у —2г —74 = 1.

7.Нехай М - точка перетину медіан трикутника АВС, О - довільна точка площини. Розкласти вектор ОЛІ за векторами ОА, ОВ, СЮ.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Ог кути а, 7 , а з віссю Оу - гострий кут, якщо А(\/2; 2 ; 3), В (0 ; - 1 ; - 2 ), а = 45°, 7 = 60°.

9. Визначити, при якому параметрі а вектори а + аЬ та а —аЬ будуть взаємно перпендикулярні, якщо |о| = 16, Ь = 4 .

36

10. Показати, що земельна ділянка з вершинами в точках А, В, С, В має форму тра­ пеції. Знайти кут між діагоналями та площу цієї ділянки, якщо А(1; 1), В (6 ; 6 ), 0(5; 4),

0 (2 ; 1).

11. Бетонна опора об’єму V = 5 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках /1(2 ; 1 ; —1 ), В(3; 0; 1), С(2 ; - 1 ; 3). Знайти координати її вершини О, якщо відомо, що вона лежить на осі Оу, а також висоту опори.

12. При якому значенні а вектори а = і + '2 ) + 4 к , Ь = 2 і + а ] + 5Л,

=і + ] — к утворюватимуть ліву трійку векторів?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(—2; —3), В (—1; 2), С(4; 1). Написати:

а) рівняння сторони (АВ)\

б) рівняння висоти (СВ) і обчислити її довжину; в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А;

г) знайти кут </? між висотою (СВ) і медіаною (ВМ).

14.Ділянка площею 3 =12 має форму трикутника з двома сторонами, що збігаються

зкоординатними осями. Записати рівняння третьої сторони, якщо відомо, що дерево, яке росте у точці А(-2 ; 3), знаходиться на межі ділянки.

метричному вигляді. Знайти точки перетину прямої з координатними площинами. Скласти рівняння площини, що проходить:

а) через цю пряму і точку М і{2 ; —1 ; 3); б) через точку Мі перпендикулярно до площини хОу.

16.Знайти висоту підземного гаража, якщо рівняння площин перекриття та підлоги

6х - 18у —9г —3 = 0, 4ж —12у —6 г —24 = 0.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів-

„2

ИЯННЯ Xі + — = 1. Зробити рисунок.

х^

18. На гіперболі — — 1 знайти точки, для яких фокальні радіуси перпендикулярні

один до одного,

16 9

19. Знайти сім’ї твірних для поверхні:

37

Варіант 10

5. При яких значеннях параметрів а та 6 система

3х + 4у —аг = —4,

!х —Зу + 2г = Ь,

2х + 7у — 13г = —4

а) має єдиний розв’язок;

б) має безліч розв’язків; в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а —1 0 , 6 = 0 .

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х - у + г + і = 4 ,

—2х + у —г + Зі = 5, 7х + 4у - Зг = 0,

Зх + 14?/- 12г + 144 = 2 1 .

7. Поза площиною паралелограма АВСО взято точку О. Розкласти за векторами оХ , ОЙ, 0(5 вектор О Й , де М - точка перетину діагоналей паралелограма.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Ог кути а, 7 , а з віссю Оу - гострий кут, якщо

А(\/3; 1; -2 ), В (0; 5; 4), а = 30°, 7 = 90°

9. Знайти кут між векторами а і Ь, якщо (а —Ь)2 + (2а —Ь)2 = 56, |а| = 2, Ь = 3.

38

10. Показати, що земельна ділянка з вершинами в точках А, В, С, В має форму трапе­ ції. Знайти кут між діагоналями та площу цієї ділянки, якщо А(0; 0), В (5; 5), С(4; 3), £>(1; 0).

11. Бетонна опора об’єму V = 10 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(1; 0; -2 ), В (2; —1; 0), С ( 1: -2 ; 2). Знайти координати її вершини О,якщо відомо, що вона лежить на осі Оу, а також висоту опори.

г) знайти кут ір між висотою (СВ) і медіаною (ВМ).

14. Пилорама знаходиться на рівнинній місцевості у точці А(3; -1) недалеко від авто­ шляхів, які проходять вздовж прямих 2ж —у + 3 = 0 т а т + Зу + 7 = 0. Встановити, до якого з цих автошляхів вигідніше транспортувати продукцію. ■

15. Скласти канонічні і параметричні рівняння прямої, що проходить:

17. Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів­ няння 36х2 + у2 = 1. Зробити рисунок.

18.Знайти відстань від фокуса гіперболи х2 —8 у2 = 8 до її асимптот.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

39

И Р Р 1"'

Варіант 11

• 4 1 з ) ’ Ч - з - з > 4 1 з)-

5. При яких значеннях параметрів а та 6 система

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а —1 1 , 6 = 0 .

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х + у —г + 4і = 0 , 2х + г —і = 2 ,

—х + 2 у —Зг + 1 1 * = —З, Зх —у + 7г + Ш = 4.

40

10. Показати, що земельна ділянка з вершинами в точках А, В , С, О має форму тра­ пеції. Знайти кут між діагоналями та площу цієї ділянки, якщо Л (4;-1 ), В(9;4),С (8; 2), 0 (5 ;-1 ).

11. Бетонна опора об’єму V = 15 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(3; 2; 0), В {4; 1; 2), С(3; 0; 4). Знайти координати її вершини О, якщо відомо, що вона лежить на осі Оу, а також висоту опори.

14. Пряма дорога сполучає пункти А(2; 1) та В (—6 ; 9). Посередині між пунктами не­ обхідно встановити рекламний щит під кутом 45° до дороги. Записати рівняння прямих, вздовж яких може бути розміщено щит.

15. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М і(—5; 2; —1):

б) паралельно до осі Ог\ в) утворює з осями Ох та Оу кути а —45° та /3 = 60°.

Записати рівняння площини, що проходить через точку Мі і має нормальний вектор а.

16.Рівняння площини стелі мансарди 2х —у + 2г + 3 = 0. Знайти висоту мансарди у точці підлоги А(-2; ^4; 6 ).

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів­ няння х2 + 5у2 —15. Зробити рисунок.

18.Обчислити площу трикутника, який утворений асимптотами гіперболи 9х2—16у2—1

іпрямою Зх —2у —12 = 0.

19.Побудувати тіло, обмежене поверхнями: у2 — х, г = 0, г — 4, х — 4. Написати рівняння діагоналей грані, що лежить у площині х = 4.

41