rozrohunkova_mat

Варіант З

5.При яких значеннях параметрів а та 6 система

х + у —г = 1 ,

{ах + у —Зг = 2 , 2х —у - 2 = Ь

а) ма£ єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а = З, Ь = 0 .

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

X + і/ - 2 —І = —1 , 2х + 5у + г —2і = 1,

—х + 4у + 2г —і —0,

5х —у + 9г + 2і = 10.

7. У трапеції АВСО відношення довжин основ дорівнює 2. Розкласти вектори А§, СУ і Ш за векторами а = АЙ, 6 = В І).

8 . Дано координати кінців балки А і В. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Оу, Ог кути /?, 7 , а з віссю Ох - гострий кут, якщо А(6 ; —6 ; 6 ),

В(1; 2; -3 ), Д = 120°, 7 = 60°.

9. Дано одиничні вектори т, п ір , такі, що т ±п, п±р, (т ,р) = 60°. Знайти скалярний добуток векторів а та 6 , якщо а = 4т —2п - Зр, 6 = т + п + р.

24

Варіант 4

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

Іах —у —2г = 2 , 4г —3;г -- 1Зж + у - 4г = Ь,

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а = 4, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

! Ьх + у —г —І = 2 ,

х —у + Зг + і —4,

—х + Ьу - 9г - і = 0, 2х + Зу —і = 1 .

78 .. УДаноправильномукоординатишестикутникінців балкиу АВСБЕРі. ЗнайтиА $ проекцію= . Ж?цієї= балкид. Розкластина вісь,векторищо утворює5 5 ,

з координатнимиЯ , Ж?,осямиАЙ, АЙОуза, Огвекторамикути /3, р,і ад.з віссю Ох - гострий кут, якщо А(3; —2; 5),

7

В(9; 2; 0), /3 = 90°, 7 = 150°.

9. Вектори о та 6 взаємно перпендикулярні, а вектор с утворює з ними рівні кути а.

Обчислити (а + 2Ь —3с)2, якщо а = |а[ = 3, |б|= 5, |с] = 8 .

26

10. Показати, що трикутна ділянка з вершинами в точках А, В , С е тупокутною. Знай­ ти косинус тупого кута та площу ділянки, якщо А(0; —1), В(1; -2 ), С (—1; 3).

11. Бетонна опора об’єму V = 9 має форму правильної трикутної піраміди, три верши­ ни якої знаходяться в точках А (-4; —1; 4), В ( - 2; -2 ; 3), С ( - 3; 0; 2). Знайти координати її вершини В, якщо відомо, що вона лежить на осі Ох, а також висоту опори.

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Ділянка має форму паралелограма, три з вершин якого знаходяться у точках (1; 2), (3; 5), (5; 2). Чи можна за цією інформацією однозначно відтворити координати четвертої вершини? Вибрати її так, щоб ділянка була розміщена якомога ближче до початку коорди­ нат. Зробити рисунок.

15.Скласти рівняння площин, що проходять:

а) через точку Мі (2; —4; —1) паралельно до площини хОу; б) через точки Мі та Мг паралельно до осі Ох.

Записати рівняння прямих (канонічні та параметричні), які утворюються при всіх можливих перетинах побудованих площин.

16. Рівняння площини покриття дорожнього гірського тунелю О:/; - 2-у - 'І7. - 9 — 0.

4

Рівняння площини перекриття тунелю —4х + - у + 2 г - 8 = 0 . Знайти висоту тунелю.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів­ няння 9х2 + у2 = 1. Зробити рисунок.

18.Через фокус параболи х2 = 6\/2у проведена хорда під кутом 45° до її осі. Обчислити відстань від середини цієї хорди до фокуса параболи.

19. Скласти рівняння проекцій ліній перетину сфери Xі + у2 + г2 = а2 з конусом Зж2 + у2 - г2 = 0 на координатну площину хОу і визначити координати фокусів отриманої проекції.

27

10.Відомі три послідовні вершини А, В, С земельної ділянки, що має форму пара­ лелограма. Знайти четверту вершину, кут між діагоналями та площу цієї ділянки, якщо А(2; 1), В (5; 2), С ( - 3; 3).

11.Бетонна опора об’єму V =12 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(6 ; 2; 3), В (8 ; 1; 2), С(7; 3; 1). Знайти координати її вершини О, якщо відомо, що вона лежить на осі Ох, а також висоту опори.

12.При якому значенні а вектори а = - 2 г + а і , 6 = і -Ь ? Н- А: , с = 3 г —^ + Аг утворюватимуть праву трійку векторів?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(2; —2), В (3; —5), С(5; 7). Написати:

а) рівняння сторони (АВ)\ б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Ділянка має форму паралелограма, три з вершин якого знаходяться у точках (2; 2), (4; 5), (6 ; 2). Чи можна за цією інформацією однозначно відтворити координати четвертої вершини? Вибрати її таж, щоб ділянка була максимально віддалена від початку координат.

Зробити рисунок.

15. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М (5; —1; 2) паралельно до площини х + лДу + г —2 = 0. Знайти кути, які утворює нормальний вектор цієї площини з осями координат, та відстань площини від початку координат. Через початок координат провести пряму, перпендикулярну до отриманої площини (написати її канонічне та параме­ тричне рівняння).

16. Рівняння площини даху башти Ах + 2у —г —17 = 0. Знайти координати точки, у

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів­ няння Xі + 4у2 = 4. Зробити рисунок.

18.Визначити кут між асимптотами гіперболи, якщо відстань між фокусами вдвічі більша за відстань між директрисами.

19. Скласти рівняння проекцій ліній перетину сфери х2 + у2 + г 2 = а2 з конусом х 2 - у2 + г2 = 0 на координатну площину хОг.

29

Варіант 6

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а = 6 , Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х —3у + г + і = 4,

6х —2 —і = 0 , 2х + у —2 + 2( = -9 , - і + 5у + і = 10.

7. У ромбі АВСО дано діагоналі АЙ = а, ВІ> = Ь. Розкласти за цими векторами вектори АВ, в б , СІ*) і 5 л .

8 . Дано дві точки А і 5, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Оу, Ог кут /?, 7 , а з віссю Ох - тупий кут, якщо А(1; 0; 1),

В (2; -х/2; 2), /3 = 45°, 7 = 120°.

9. Вектори а та Ь взаємно перпендикулярні, а вектор с утворює з ними рівні кути а.

2 тг і -*і

Обчислити (а + 2 Ь - Зс)2, якщо а = — , |а| = 5, |б|= 7 , |с| = 1.

ЗО

10.Відомі три послідовні вершини А, В, С земельної ділянки, що має форму пара­ лелограма. Знайти четверту вершину, кут між діагоналями та площу цієї ділянки, якщо А(1; -1 ), В (4 ;0 ),С (—4; 1 ).

11.Бетонна опора об’єму V = 15 має форму трикутної піраміди, три вершини якої

знаходяться в точках А(1; 0; 3), В(‘.і; —1; 2), С(2; 1; 1). Знайти координати її вершини Д, якщо відомо, що вона лежить на осі Ох, а також висоту опори.

утворюватимуть ліву трійку векторів?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(1; —1), В (—2; 1), С(3; 5). Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут цз між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Ділянка має форму паралелограма, три з вершин якого знаходяться у точках (—2; 2), (0; 5), (2; 2). Чи можна за дією інформацією однозначно відтворити координати четвертої вершини? Вибрати її так, щоб ділянка містила початок координат. Зробити ри­ сунок.

15.Скласти загальне рівняння площини, що проходить через точку М0 (2; - 3 ; 4) пара­ лельно до векторів а,і = (2; - 1 ; 2), о2 = (5; - 2 ; 5), та звести його до нормального вигляду. Знайти відрізки, що відтинає ця площина від координатних осей. Записати рівняння прямої, що проходить через точку Мі(2; -4 ; 5) перпендикулярно до отриманої площини.

16.Частина огорожі має форму двох щитів, які перетинаються. Рівняння їх площин

х+ 4у —Зг+ 8 = 0, х —у + 2г —1 = 0. Записати канонічні рівняння лінії перетину щитів.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса, якщо його рів­ няння 25а2 + 9у2 —1. Зробити рисунок.

18.Скласти рівняння гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом — + — - 1, за умови, що її ексцентриситет є —1,25.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

31