rozrohunkova_mat

х ~ і - 1 ,

а параметричне рівняння запишеться \ у ~ —41 — 1 ,

2 - —Зі.

Знайдемо синус кута між прямою Ь (її напрямний вектор з —(1; —4; - 3 )) та площиною х —2 —0 з нормальним вектором п — (1 ; 0 ; —1 ):

16

- компланарні, тому їх мішаний добуток дорівнює нулю:

І- 4

Звідси Зх — Зу + 5г — 0.

Завдання 16. Вершина баштового крана знаходиться в точці М (5; —4; 10). Вантаж розміщений на платформі, площина якої зада,ється рівнянням 2х —6у—3;г+38 — 0 . Гак крана закріплений до вантажу так, що трос проходить вздовж прямої, яка перпендикулярна до площини платформи. Знайти відстань від вершини крана (точки М) до площини платформи. Записати канонічне та параметричне рівняння прямої, вздовж якої натягнутий трос.

Р о з в ’язанн я, Знайдемо відстань від точки М з координатами (5; —4; 10) до площини 2ж —6у - Зл 4- 38 = 0 за формулою

2 - 5 - 6 - ( - 4 ) - 3 - 10 + 38

= 6.

у/22 + ( - 6)2 + ( - 3 ) 2

Напрямний вектор в прямої, вздовж якої натягнутий трос, колінеарний до вектора нормалі п площини платформи, тому можна вважати, що в = п — -- (2 ; —6 ; —3). Тоді канонічне рівняння прямої має вигляд:

17

т

ААР2В = 90°, ААР2В - прямокутний рівнобедрений трикутник, ОР2- його висота, медіана і бісектриса, тому

/,ОР2А = АОР2В = АР2В = 45°.

Звідси випливає, що трикутник А АОР2 - також прямокутний і рівнобе­ дрений. Отже, АО — ОР2 або Ь с. Враховуючи це, а2 — с2 + Ь2 —2Ь2, звідки

а = х/2 ■Ь.

18

у^ Завдання 19. Знайти прямолінійні твірні поверхні — + —------— = 1.

х2 у2 $

Р озв ’язанн я . Відомо, що рівняння — + —------— = 1 є канонічним рівня­ нням однопорожнинного гіперболоїда. Як відомо, у нього є дві сім’ї прямолі-

нійних твірних. Перепишемо рівняння у вигляді —----- — = 1 - — і розкладемо кожну з частин як різницю квадратів:

( т - І К М И Ч Ж ) -

Тоді повинна виконуватись пропорція:

сім я твірних.

т + Н ( 1 + і ) ^

Другу сім’ю твірних одержуємо із такої пропорції:

- друга сім’я прямолінійних твірних.

19

Варіант 1

5. При яких значеннях параметрів о та Ь система

—х + Зу —2г = Ь, (2х —ау + г = 1 ,

- х - у - 2 = - 1

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамєра та матричним способом при а — 1 , 6 = 0 .

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь:

х —Зу + 7г + і = —1,

Зх + у —9г —4£ = 1 1 ,

—х + Ьу —г + 2і = 7, 2х —у + Зг + Ш = —16.

7. У трикутнику АВС л й = с, В (5 = а і с к = Ь. Виразити вектори В ЛІ, ~ЛЇ\!, с Р , які збігаються з медіанами трикутника АВС, за векторами а, Ь, ьесс.

8 . Дано координати кінців балки А і В. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Оу, Ог кути /3, 7 , а з віссю Ох - гострий кут, якщо А(1: 2л/2; 2),

В (3; 0; 5), /3 = 45°, 7 = 90°.

20

9. Дано одиничні вектори т ,п ір , такі, що т ±п, п±.р, (т ,р) = 60°. Знайти скалярний добуток векторів а та Ь, якщо а= 3т —2п+р, 6 = —2 т + п —р.

10.Показати, що трикутна ділянка з вершинами в точках А ,В ,С є тупокутною. Зна­ йти косинус тупого кута та площу ділянки, якщо А(2; 1 ),В (3 ;0), С( 1;5).

11.Бетонна опора об’єму У= 3 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знахо­ дяться у точках А(1; 2; 3), В (3; 1; 2), С(2; 3; 1). Знайти координати її вершини Д якщо відомо, що вона лежить на осі Ох, а також висоту опори.

13. Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(1; 2 ),В(2; —2 ), С (6 ; —1 ).

Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СП) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14. Пряма ділянка ріки протікає вздовж прямої 2х —'іу + 7 = 0. Встановити, чи міста А(1; 4) та В ( 0; 0) розташовані по один бік ріки. Яке з них ближче до річки?

16.Валка перекриття закріплена у двох точках М ^І; 5; 4) та М2(—7; 6 ; 4). Записати канонічне та параметричне рівняння осі балки.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи, якщо її рівняння 4т2 —9у2 —36. Зробити рисунок.

18.Знайти ексцентриситет еліпса, якщо його малу вісь видно із фокусів під кутом

120°.

19. Знайти сім’ї твірних для поверхні:

21