МАТЕМАТИКА(Lek_13-24_1_ivi)

стрибком функцi¨ f(x) ó òî÷öi x0 (äèâ. ðèñ. 16.2).

Оскiльки функцiя в x = 1 невизначена, то ма¹мо усувний розрив.

16.3. Властивостi неперервних функцiй

Теорема 16.3. ßêùî f(x) i g(x) неперервнi в точцi x0, то для довiльно¨ стало¨ Cf(x),

f(a) = A, f(b) = B i A < B, то для довiльного числа C (A; B) iñíó¹ c (a; b) òàêå, ùî f(c) = C.

Íàñëiäîê 16.1. ßêùî f(x) неперервна на [a, b] i на кiнцях прийма¹ значення рiзних знакiв, то обов'язково знайдеться точка c (a, b) òàêà, ùî f(c) = 0.

Íàñëiäîê 16.2. ßêùî f(x) неперервна в точцi x0 i f(x0) > 0, то iсну¹ деякий δ-îêië, äå f(x) > 0.

Теорема 16.7. ßêùî f(x) неперервна на [a, b] i строго монотонна, то iсну¹ обернена до не¨ функцiя x = f−1(y), яка також неперервна i монотонна.

47

Ëåêöiÿ 17. Ïîõiäíà

17.1. Визначення похiдно¨

Нехай y = f(x) визначена на промiжку (a; b). Вiзьмемо точку x (a; b) i надамо ¨й прирiст ∆x такий, що (x + ∆x) (a; b). Тодi функцiя отрима¹ прирiст ∆y = f(x+∆x)−f(x).

Означення 17.1. Якщо iсну¹ скiнченна границя вiдношення приросту функцi¨ f â òî÷öi x (a; b) до приросту аргументу, коли останнiй пряму¹ до нуля, то ¨¨ називають ïîõiäíîþ функцi¨ f â òî÷öi x i позначають f′(x) àáî y′(x)

Приклад 17.1. Використовуючи означення похiдно¨, знайти похiдну f(x) = x2+3x−1.

Означення 17.2. Функцiя y = f(x) назива¹ться диференцiйовною â òî÷öi x (a; b), якщо прирiст функцi¨ у цiй точцi можна зобразити у виглядi

Функцiя, диференцiйовна у всiх точках (a; b), назива¹ться диференцiйовною на цьому промiжку.

Теорема 17.1. Для того, щоб функцiя була диференцiйовною в точцi необхiдно i досить, щоб вона мала в цiй точцi похiдну.

Доведення. Якщо функцiя диференцiйовна в точцi, то

тобто функцiя ма¹ в цiй точцi похiдну i f′(x) = A. Якщо ж функцiя ма¹ в точцi похiдну, то

lim ∆y = f′(x),

∆x→0 ∆x

à, îòæå,

∆y = f′(x) + β(∆x), ∆x

äå β(∆x) → 0 ïðè x → 0. Òîäi

äå α(∆x) = β(∆x)∆x. Отже, функцiя диференцiйовна i A = f′(x). Теорема доведена.

48

Поняття диференцiйовностi функцi¨ ототожню¹ться з наявнiстю похiдно¨, а операцiю знаходження похiдно¨ називають диференцiюванням.

Приклад 17.2. Довести, що функцiя f(x) = |x| не ¹ диференцiйовною в точцi x = 0.Îñêiëüêè

Теорема 17.2. Якщо функцiя диференцiйовна в деякiй точцi, то вона в нiй неперервна.

Зауваження 17.1. Якщо функцiя неперервна в точцi x0, то вона не обов'язково ди-

ференцiйовна в цiй точцi. √

Наприклад, функцi¨ y = |x| òà y = 3 x2 ¹ неперервними, але не диференцiйовними в точцi x = 0.

17.2. Правила диференцiювання

1.C′ = 0.

2.(U ± V )′ = U′ ± V ′.

3.(UV )′ = U′V + UV ′.

4.(CU)′ = CV ′.

( )′

U

5. V = , ïðè V ≠ 0.

6.ßêùî y = φ(x) диференцiйовна в точцi x0, а функцiя g = f(y) диференцiйовна в точцi y0 = φ(x0), òî g(x) = f(φ(x)) також диференцiйовна в точцi x0 i

7.Якщо функцiя y = f(x) диференцiйовна в точцi x0, то обернена до не¨ функцiя x = f−1(y) (якщо вона iсну¹) диференцiйовна в точцi y0 = f(x0), i ïðè f′(x0) ≠ 0

49

17.4. Логарифмiчне диференцiювання.

√√

50

Ëåêöiÿ 18. Геометричний змiст похiдно¨. Диференцiал. Похiднi та диференцiали вищих порядкiв

18.1. Геометричний змiст похiдно¨

Розглянемо точки цi¹¨ криво¨: M0(x0; f(x0)) i M1(x0 + ∆x; f(x0 + ∆x)). Пряму, що проходить через точки M0 òà M1 називатимемо ñi÷íîþ.

Означення 18.1. Граничне положення сiчно¨ при ∆x → 0 назива¹ться дотичною до графiка функцi¨ y = f(x) â òî÷öi M0.

Дотична паралельна осi Oy назива¹ться вертикальною, решта похилими.

Теорема 18.1. Для того, щоб iснувала похила дотична до графiка функцi¨ y = f(x) â

òî÷öi M0(x0, y0), необхiдно i досить, щоб функцiя y = f(x) ìàëà ïîõiäíó â òî÷öi x0. Рiвняння дотично¨ ма¹ вигляд:

äå α кут нахилу дотично¨.

Для довiльно¨ точки M(x, y) з дотично¨

y − y0 = tgα, x − x0

тобто

y − y0 = f′(x0) (x − x0)

i теорему доведено.

51

18.2. Диференцiал

Нехай y = f(x) диференцiйовна, тодi згiдно (??)

Означення 18.2. Лiнiйну частину приросту диференцiйовно¨ функцi¨ називають диференцiалом функцi¨ i позначають df.

Ç (??) виплива¹, що

df(x) = f′(x) x.

Враховуючи, що при f(x) ≡ x ìà¹ìî dx = x′∆x = ∆x, òî

Властивостi диференцiала

1.dC = 0;

2.d (U ± V ) = dU ± dV ;

3.d (UV ) = V dU + UdV ;

4.d(CU) = CdU;

6. d (f (U)) = f′ (U) dU.

Геометричний змiст диференцiала: диференцiал df(x0) ¹ приростом ординати дотично¨, проведено¨ до криво¨ в точцi (x0, f(x0)) , що вiдповiда¹ приросту аргументу ∆x.

18.3. Похiднi i диференцiали вищих порядкiв

Означення 18.3. Ïîõiäíîþ n-го порядку назива¹ться похiдна вiд похiдно¨ (n − 1)-ãî

i ò.ä.

Îòæå,

y(n) = (−1)n−1(n − 1)!. xn

52

Означення 18.4. Диференцiалом n-го порядку функцi¨ називають диференцiал вiд диференцiала (n − 1)-го порядку цi¹¨ функцi¨, тобто

dnf(x) = d(dn−1f(x)).

Îñêiëüêè dx = ∆x, òî

53

18.5. Похiдна неявно задано¨ функцi¨

Нехай функцiя задана неявно

F (x, y) = 0.

Щоб знайти похiдну y′, потрiбно продиференцiювати це рiвняння за незалежною змiнною x, вважаючи, що y ¹ функцi¹ю змiнно¨ x, а потiм з одержаного рiвняння знайти y′.

Приклад 18.3. Обчислити y′, ÿêùî x2y3 + sin y − x = 0.Продиференцiю¹мо дану рiвнiсть i виразимо y′:

(x2y3 + sin y − x)′ = 0

(x2y3)′ + (sin y)′ − x′ = 0

2xy3 + x23y2y′ + cos y y′ − 1 = 0. y′ (3x2y2 + cos y) = 1 − 2xy3

Îòæå,

y′ = 1 − 2xy3 .

3x2y2 + cos y

18.6. Механiчний змiст похiдно¨

Нехай S = S(t) залежнiсть шляху вiд часу. Тодi

S′(t) = lim S(t + ∆t) − S(t) = v(t)

∆t→0 ∆t

митт¹ва швидкiсть, а

S′′(t) = v′(t) = a(t)

прискорення в момент часу t.

54

Ëåêöiÿ 19. Властивостi диференцiйованих функцiй

19.1. Основнi теореми диференцiального числення

x0 назива¹ться точкою локального максимуму функцi¨ y = f(x), ÿêùî äëÿ âñiõ x з деякого околу точки x0 викону¹ться нерiвнiсть f(x) ≤ f( x0).

точкою локального мiнiмуму f(x), ÿêùî äëÿ âñiõ x з деякого

околу точки x0 викону¹ться нерiвнiсть f(x) ≥ f( x0).

Якщо данi нерiвнiстi виконуються для всiх x D(f), то точки називаються вiдповiдно точками глобального максимуму i ìiíiìóìó f(x).

Точки максимуму i мiнiмуму називаються точками екстремуму функцi¨. Значення функцi¨ в цих точках називаються вiдповiдно максимумом i мiнiмумом функцi¨.

Теорема 19.1 (теорема Ферма). Якщо функцiя y = f(x) диференцiйована в точцi x0 i x0 ¹ точкою екстремуму, то f′(x0) = 0.

Теорема 19.2 (теорема Ролля). Нехай функцiя f(x) неперервна на [a, b], диференцiйована на (a, b) i на кiнцях вiдрiзка ма¹ однаковi значення, тобто f(a) = f(b). Тодi iсну¹ принаймi одна така точка x0 (a, b), ùî f′(x0) = 0.

Теорема 19.3 (теорема Лагранжа). Нехай функцiя f(x) неперервна на [a, b] i диференцiйована на (a, b). Тодi iсну¹ принаймi одна така точка c (a, b), ùî

19.2. Правило Лопiталя.

Теорема 19.5. Границя вiдношення двох безмежно малих або безмежно великих величин дорiвню¹ границi вiдношення ¨х похiдних, якщо остання iсну¹.

55

sin x + x cos x

= − lim = 0. x→0 cos x + cos x − x sin x

Приклад 19.6. Знайти lim xsin x.

x→0

Оскiльки ма¹мо випадок {00}, то позначимо lim xsin x = A i прологарифму¹мо дану

Îòæå, lim xsin x = e0 = 1.

x→0

Приклад 19.7. Знайти lim (ctg x)1/ ln x .

x→0

Оскiльки ма¹мо випадок {∞0}, то позначимо lim (ctg x)1/ ln x = A i прологарифму¹мо

Òîìó lim (ctg x)1/ ln x = e.

x→0

19.3. Формула Тейлора.

Теорема 19.6. Якщо f(x) ì๠ïîõiäíi äî n-го порядку в x0 i (n+1)-øó ïîõiäíó â îêîëi ò. x0, то ма¹ мiсце формула Тейлора

56