МАТЕМАТИКА(Lek_13-24_1_ivi)

22.3.Найбiльше та найменше значення функцi¨ двох змiнних

âзамкненiй областi

Щоб знайти найменше i найбiльше значення функцi¨ в замкненiй областi, потрiбно:

1)знайти критичнi точки функцi¨;

2)обчислити значення функцi¨ у критичних точках, якi потрапили в область;

3)знайти найбiльше i найменше значення на межi;

4)серед знайдених значень в 2) i 3) вибрати найменше i найбiльше.

Приклад 22.3. Знайти найбiльше i найменше значення функцi¨

z = x2 + y2 − xy + x + y

67

Ëåêöiÿ 23. Комплекснi числа та дi¨ над ними

23.1. Поняття комплексного числа

назива¹ться уявною одиницею. Вираз вигляду

x + iy (x, y R),

назива¹ться комплексним числом (алгебра¨чною формою запису комплексного числа). Множина всiх комплексних чисел познача¹ться C.

Якщо комплексне число z = x + iy, то дiйснi числа x òà y називаються вiдповiдно дiйсною òà уявною частинами комплексного числа z i позначаються

x = Rez, y = Imz.

Будь-яке дiйсне число можна розглядати як комплексне число, у якого уявна частина дорiвню¹ нулю

x = x + i 0.

Таким чином, множина дiйсних чисел R ¹ пiдмножиною множини комплексних чисел C.

Два комплексних числа, у яких дiйснi частини однаковi, а уявнi вiдрiзняються тiльки знаком, називаются комплексно спряженими

z = x + iy z¯ = x − iy.

Очевидно, що z¯ = z.

Два комплексних числа називаются рiвними, якщо вiдповiдно рiвнi ¨х дiйснi та уявнi частини.

Зауваження 23.1. Для комплексних чисел не iснують поняття бiльше , менше .

23.2. Дi¨ над комплексними числами

Операцi¨ додавання, вiднiмання, множення, дiлення i пiднесення до натурального степеня здiйснюються за правилами дiй над многочленами з врахуванням що i2 = −1.

Тобто, якщо z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, òî

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) ; z1 − z2 = (x1 − x2) + i (y1 − y2) .

z1 · z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 − y1y2 = (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + x2y1) .

Слiд враховувати, що

i2 = −1, i3 = i2 · i = −i, i4 = i3 · i = −i2 = 1, . . . , i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = −1, i4k+3 = −i .

При пiднесеннi комплексного числа до натурального степеня можна застосовувати вiдомi з елементарно¨ математики формули скороченого множення.

Сума i добуток двох комплексно спряжених чисел ¹ дiйсним числом. Справдi

z + z¯ = x + iy + x − iy = 2x,

z · z¯ = (x + iy)(x − iy) = x2 − i2y2 = x2 + y2.

68

Дiйсну i уявну частини комплексного числа можна виразити через саме число та йому

Щоб подiлити комплекснi числа одне на iнше, потрiбно чисельник i знаменник домножити на спряжене до знаменника, а саме

Приклад 23.1. Виконати дi¨ над комплексними числами

3 (2 − 3i) (2 − i) − (3 − i)3 + 5 · 43 −+ 45ii.

23.3. Модуль i аргумент комплексного числа

Мiж множиною точок площини Oxy i множиною комплексних чисел C можна встановити вза¹мно однозначну вiдповiднiсть: кожному комплексному числу z = x + iy вiдповiда¹ ¹дина точка M (x ; y) i навпаки (рис. 23.1). Дiйснi числа зображаються точками осi абсцис Ox, òîìó âiñü Ox назива¹ться дiйсною вiссю, à âiñü Oy назива¹ться уявною вiссю. Числу z = 0 вiдповiда¹ початок координат O (0 ; 0).

çèâà¹òüñÿ головним значенням аргументу i познача¹ться arg z. Тобто Arg z = arg z + 2πk , k = 0, ±1, ±2, ...

Головне значення аргументу визнача¹ться за формулою:

Зауваження 23.2. Для числа z = 0 модуль дорiвню¹ нулю, а аргумент не визначений.

69

23.4. Тригонометрична i показникова форми комплексного числа.

Нехай r = |z|, φ = arg z. З рисунка 23.1 видно, що

{

тобто в показниковiй формi.

Зауваження 23.3. З основно¨ формули Ейлера виплива¹, що

Приклад 23.2. Подати у показниковiй та тригонометричнiй формах наступнi комплекснi числа, що заданi в алгебра¨чнiй формi:

√

z1 = − 3 + i; z2 = 2 − 2i; z3 = 2i; z4 = −2; z5 = −2 − i.

Скористаэмось формулами (??) òà (??). Òîäi

70

Ëåêöiÿ 24. Формула Муавра. Розклад многочленiв на множники 24.1. Формула Муавра

Нехай комплекснi числа заданi у тригонометричнiй формi, тодi

z1 · z2 = r1 (cos φ1 + i sin φ1) · r2 (cos φ2 + i sin φ2) =

=r1r2 (cos φ1 cos φ2 + i cos φ1 sin φ2 + i sin φ1 cos φ2 − sin φ1 sin φ2) =

=r1r2 (cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2) .

Отже, при множеннi комплексних чисел ¨х модулi перемножуються, а аргументи додаються. Дана властивiсть може випливати i з властивостей показникiв, зокрема

z1 · z2 = r1 eiφ1 · r2 eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2).

Для частки аналогiчно ма¹мо

Тобто, при дiленнi комплексних чисел ¨х модулi дiляться, а аргументи вiднiмаються. Натуральним степенем комплексного числа z назива¹ться комплексне число zn, îòðè-

мане множенням числа z самого на себе n раз. Iз правила множення комплексних чисел в тригонометричнiй формi виплива¹ перша формула Муавра:

71

äå k = 0, 1. Òîìó

√

ω1 = 6 2 (cos (11π/12) + i sin (11π/12)) ;

√

ω2 = 6 2 (cos (19π/12) + i sin (19π/12)) .

24.2. Розклад ногочленiв на множники

Функцiя комплексно¨ змiнно¨ вигляду

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0,

äå a0, a1, . . . , an ñòàëi (an ≠ 0), назива¹ться многочленом n-го порядку.

Теорема 24.1 (теорема Безу). При дiленнi многочлена Pn(z) на рiзницю z−a остача вiд дiлення дорiвню¹ Pn(a).

Доведення. Pn(z) = Qn−1(z) · (z − a) + R. Нехай z → a, òîäi Pn(a) = R.

Íàñëiäîê 24.1. ßêùî a корiнь многочлена Pn(z), то цей многочлен Pn(z) дiлиться без остачi на рiзницю z − a, тобто розклада¹ться на множники

Pn(z) = Qn−1(z) · (z − a),

де частка Qn−1(z) многочлен на одиницю меншого степеня.

Теорема 24.2. (основна теорема алгебри). Будь-який многочлен Pn(z) ненульового степеня n ≥ 1 ма¹ хоча б один корiнь (дiйсний чи комплексний).

Наслiдок 24.2. Будь-який многочлен Pn(z) ненульового степеня n ≥ 1 ì๠ðiâíî n коренiв, серед яких можуть бути однаковi.

Наслiдок 24.3. Якщо комплексне число z ¹ коренем многочлена, у якого всi коефiцi¹нти дiйснi числа, то z¯ ¹ також коренем цього многочленна.

Наслiдок24.4. Будь-який многочлен Pn(z) ненульового степеня n ≥ 1 розклада¹ться на множники у виглядi

Pn(z) = an(z − z1)k1 (z − z2)k2 ... (z − zm)km,

äå an старший коефiцi¹нт; z1, z2, ..., zm рiзнi (дiйснi чи комплекснi) коренi; k1, k2, ..., km вiдповiднi кратностi цих коренiв, причому k1 + k2 + ... + km = n.

Приклад 24.3. Розкласти на множники z4 − 16.

72

Оскiльки, коренями многочлена ¹ всi коренi четвертого порядку з 16, à öå ±2 i ±2i,

òî

z4 − 16 = (z − 2)(z + 2)(z − 2i)(z + 2i).

Коренi квадратного рiвняння

az2 + bz + c = 0 (a ≠ 0)

äå √D одне зi значень квадратного кореня з дискримiнанта D.

На множинi комплексних чисел для коренiв квадратного рiвняння залиша¹ться справедливою теорема Вi¹та:

Приклад 24.4. Розкласти на множники z4 + 5z2 − 36.Знайдемо коренi рiвняння

z4 + 5z2 − 36 = 0.

Для цього зробимо замiну z2 = w. Òîäi

w2 + 5w − 36 = 0

i w1,2 = 4; −9. Отже, коренями многочлена ¹: z1,2 = ±2, z3,4 = ±3i. Таким чином

z4 + 5z2 − 36 = (z − 2)(z + 2)(z − 3i)(z + 3i).

73